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个性化辅导学历案
第三节 万有引力定律的应用
教学目标
利用万用引力定律与测地球的形状
利用万用引力定律预测未知天体
利用万有引力定律计算中心天体的质量和密度
教学重点
重点掌握万有引力定律的应用，利用万有引力定律计算天体的质量和密度
三．知识点精讲
知识点一：重力与万有引力的区别和联系（掌握）
物体与地球的万有引力：，方向指向地心。
由于地球上的物体随地球自转在做匀速圆周运动，需要向心力，向心力由万有引力的分力提供，方向指向轨道的圆心（即地轴纬度平面与地轴的交点），而万有引力的另一个分力便是物体受到的重力mg，方向竖直向下。
【说明】
考虑自转，则在赤道处：，重力指向球心；在两极处：，重力指向球心。其他位置重力不指向球心。
如果不考虑自转，则。
如果没有特别说明，一般不考虑自转。
重力随地理位置的变化：纬度越小，重力越小；纬度越大，重力越大。
重力随离地面的高度变化而变化的关系：海拔增加，重力减小。
知识点二：预言彗星回归、预言未知星体。
在牛顿之前，彗星的出现被看做一种神秘的现象，牛顿却断言，行星的运动规律同样适用于彗星，哈雷根据牛顿的引力理论，对1682年出现的大彗星轨道进行了计算，预言了它将于1758年出现。1743年，克雷洛计算了土星和木星对彗星运动的影响，指出它会推迟到1759年出现，后来这颗彗星被命名为哈雷彗星。
1781年，人们通过望远镜发现了天王星，科学家通过天王星实际轨道计算结果的偏差预言了海王星。后来科学家又根据海王星自身运动的不规则性发现了冥王星。
知识点三：计算中心天体的质量
1.基本方法：①利用万有引力等于重力；②利用万有引力等于向心力。
求天体质量的常见情况：
【注意】
要分清中心天体和环绕天体，根据万有引力知识，只能求出中心天体的质量。
在列方程时，一定要注意万有引力公式中的r和向心力公式中r的含义。
a、v、ω、T、r中，任意知道两个，就可以求中心天体质量，但这两个数据必须匹配。
注意题中的隐含条件：地球公转一周365天，自转一周24h，月球绕地球一周约27天
知识点四：计算中心天体的的密度
基本方法：根据上面的方法计算出天体质量后，代入密度公式，则可以求出中心天体质量。
需要用到的公式有：；
求天体密度的几种常见情况
特别说明：对于近地卫星来说，只需要知道其运行周期，就可以求出中心天体的密度。
知识点五：双星问题、黑洞问题
双星问题
在天体运动中，将两个彼此距离较近的行星称为双星，两星绕连线上某一点共同做匀速圆周运动（即轨道为同心圆），且距离不变。
特点：
【说明】
∵，ω相同，∴。即质量越大，轨道半径越小。也即O点恰好应是m1、m2系统等效重心的位置。（若为三星问题，O点也是系统的等效重心）
∵ω相同∴，即线速度不相等，轨道半径越大，线速度越大。
由公式可知，双星问题中双星的动能与各自半径成正比，质量越大，半径越小，动能越小。
思考题：请根据上面大括号中所列出的公式，推导双星问题的周期表达式。
四．典型例题练习
典型例题一：重力与万有引力的区别和联系，利用万有引力计算天体表面的和某一位置的加速度
1.2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲，这是时隔8年之后，中国航天员再次在太空授课。若已知地球质量为M，半径为R，引力常量为G，在距地面高度为h的空间站内有一质量为m水球，其引力加速度大小为（　　）
A．0 B． C． D．
2.地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，若不考虑地球自转，则离地球表面高处的重力加速度为（　　）
A． B． C． D．
3．2019年1月3日，我国“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面预选着陆区，月球车“玉兔二号”到达月面开始巡视探测，对研究月球和太阳系早期历史具有重要价值。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，月球半径是地球的，质量是地球的，着陆前探测器在距月面高度为h的环月轨道上做圆周运动。求：
（1）月球表面处重力加速度的大小；
（2）探测器在环月轨道上做圆周运动的周期T。
4.用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体m所受的重力，称量结果随地理位置的变化可能会有所不同．已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G．将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体．
（1）求在地球北极地面称量时弹簧秤的读数F0，及在北极上空高出地面0.1R处称量时弹簧秤的读数F1；
（2）求在赤道地面称量时弹簧秤的读数F2；
（3）事实上地球更接近一个椭球体，如图所示．如果把小物体放在北纬40°的地球表面上，请定性画出小物体的受力分析图，并画出合力．
典型例题二：利用万有引力定律计算天体质量和密度
1．假设某星球的半径与地球半径相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球的质量是地球质量的（　　）
A． B．2倍 C．4倍 D．8倍
2．利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出月球质量的是（　　）
A．月球绕地球做匀速圆周运动的半径和周期
B．人造卫星在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的速度和周期
C．人造卫星绕月球做匀速圆周运动的半径和周期
D．月球的半径及月球表面的重力加速度（不考虑月球自转和地球对月球的影响）
3．在中国航天领域迅猛发展的当下，发射卫星进一步探测火星及其周边的小行星带，能为我国深空探测打下基础。若测得某小行星表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度大小的，小行星的半径为地球半径的，地球和小行星均视为质量分布均匀的球体，则地球的密度与该小行星的密度之比为（　　）
A． B． C． D．
典型例题三：双星系统问题
1.如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则（　　）
A．A的质量一定大于B的质量
B．A的线速度一定大于B的线速度
C．L一定，M越大，T越大
D．M一定，L越大，T越小
2．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统中的A、B两星球绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示，现测得两星球球心之间的距离为L，运动周期为T，已知引力常量为G，若AO>OB，则（　　）
A．两星球的总质量等于
B．星球A的向心力大于星球B的向心力
C．星球A的线速度一定小于星球B的线速度
D．双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期减小
3.宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，受到彼此的万有引力作用而互相绕转，称为双星系统。双星以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，不会因万有引力作用而吸在一起（不考虑其他天体对它们的影响）。已知双星的质量分别为m1和m2，相距L，求它们运转的角速度ω。
基础知识过关检测
一．单选题
1．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射。飞船入轨后，在完成与空间站高难度的径向交会对接后，航天员将进驻天和核心舱，开启为期6个月的在轨驻留。若已知空间站在距地球表面高约400km的近地轨道上做匀速圆周运动，把地球看成是质量分布均匀的球体，测得天和核心舱绕地飞行的周期为T，已知引力常量为G，由此可以估算地球的（　　）
A．平均密度 B．半径 C．质量 D．表面的重力加速度
2．2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动。引力常量已知，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　）
A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期 D．核心舱的绕地线速度和绕地周期
3．2021年6月17日，神舟12号载人飞船与天和核心舱完成自主快速交会对接，某同学查找资料得到天和核心舱的轨道半径（视为圆轨道）、绕行周期，另已知万有引力常量。则该同学根据这些数据可以估算出（　　）
A．核心舱的质量 B．地球的质量
C．核心舱所受的万有引力 D．地球表面的重力加速度
4．“祝融号”火星车的高度有185公分，重量达到240公斤。设计寿命为3个火星月，相当于约92个地球日。“祝融号”火星车将在火星上开展地表成分、物质类型分布、地质结构以及火星气象环境等探测工作。已知火星直径约为地球的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，则“祝融号”在火星上受到的重力大小最接近（　　）
A．240N B．960N C．1200N D．2400N
5．太阳光自太阳表面到达地球的时间为500s，已知万有引力常量为，则太阳的质量最接近（　　）
A．kg B．kg C．kg D．kg
6．2020年6月23日，我国北斗二号系统最后一颗全球组网卫星发射成功。卫星入轨后绕地球做匀速圆周运动，线速度大小为v，轨道半径为r，引力常量为G，则地球的质量为（　　）
A． B． C． D．
7．某颗中子星的质量约为地球质量的倍，半径约为，每秒钟可沿自己的轴线自转600圈。已知地球的半径为，地球表面的重力加速度取，则该中子星赤道的重力加速度大小与地球表面的重力加速度大小之比约为（　　）
A． B． C． D．
8．地球的半径为R，地球表面处物体所受的重力为mg，近似等于物体所受的万有引力。关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法正确的是（　　 ）
A．离地面高度R处为
B．离地面高度R处为
C．离地面高度R处为
D．以上说法都不正确
9．已知月球中心到地球中心的距离是地球半径的60倍。则下列说法正确的是（　　）
A．月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小等于地面附近重力加速度大小的
B．月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小等于地面附近重力加速度大小的
C．地面附近重力加速度大小等于月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小的
D．地面附近重力加速度大小等于月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小的
10．假设火星和地球都是球体，火星的质量与地球质量之比；火星的半径与地球的半径之比，那么火星表面的引力加速度与地球表面处的重力加速度之比正确的是（　　）
A． B． C． D．
二．解答题
11．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，月球绕地球作匀速圆周运动的周期为T．试求：
(1)地球的质量；
(2)月球距地面的高度h.
12．卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G的数值，因为由G的数值及其它已知量，就可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个“称量”地球的人。
（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、m2相距为r的两个小球之间引力的大小为F，求万有引力常量G；
（2）若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量M。
13．北京时间 2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片面世，黑洞无法直接观测，但可以由间接方式得知其存在与质量，假设a、b两颗星绕某一黑洞做匀速圆周运动，测得a、b两颗星的周期分别为、，a星离黑洞中心的距离为R，已知万有引力常量为G。求：
（1）黑洞的质量M
（2）b星体离黑洞中心的距离。
14．已知万有引力常量为G，地球半径为R，同步卫星距地面的高度为h，地球的自转周期T0 ，地球表面的重力加速度g，某同学根据以上条件，提出一种估算地球赤道表面的物体随地球自转的线速度大小的方法：地球赤道表面的物体随地球作圆周运动，由牛顿运动定律有，又因为地球上的物体的重力约等于万有引力，有，由以上两式得：问：
（1）上面的结果是否正确？如果正确，请说明理由；如不正确，请给出正确的解法和结果。
（2）由题目给出的条件还可以估算的物理量有哪些？（写一个，不需要写估算过程）
基础知识过关检测——【答案解析】
1．A
【解析】
已知空间站在距地球表面高约400km的近地轨道上做匀速圆周运动，设地球半径为，空间站的轨道半径为，则
A．根据万有引力提供向心力有
把地球看成是质量分布均匀的球体，则地球的体积为
又有
联立解得，地球的平均密度为
已知引力常量为G，测得天和核心舱绕地飞行的周期为T，则可求地球的平均密度，故A正确；
BC．根据万有引力提供向心力有
联立解得
，
已知引力常量为G，测得天和核心舱绕地飞行的周期为T，不可求地球的质量和地球的半径，故BC错误；
D．根据万有引力等于星球表面的重力
联立解得
已知引力常量为G，测得天和核心舱绕地飞行的周期为T，不可求地球表面的重力加速度，故D错误。
故选A。
2．D
【解析】
AB．根据
得
要计算出地球的质量M，需要知道核心舱的轨道半径和周期，故AB错误；
C．根据
得
由于轨道半径不知，所以无法计算出地球的质量，故C错误；
D．根据
得
由此可知知道核心舱的绕地线速度和绕地周期，可以计算出地球的质量M，故D正确。
故选D。
3．B
【解析】
ABC．由引力作为向心力可得
可解得地球质量为
核心舱的质量m会被消去，无法算出，导致核心舱所受的万有引力F无法算出，AC错误，B正确；
D．地球表面的重力加速度可表示为
地球半径R未知，故g无法算出，D错误。
故选B。
4．B
【解析】
物体在星球表面所受万有引力和重力近似相等，则
解得星球表面的重力加速度
所以火星与地球表面重力加速度之比为
即
“祝融号”火星车在火星上与地球上的质量相等，“祝融号”火星车在火星上受到的重力大小约为
故B正确。
故选B。
5．C
【解析】
日地距离为
地球绕太阳公转的周期为
太阳对地球的万有引力提供了地球围绕太阳做圆周运动的向心力，即
带入数据可知
M=2.0×1030kg
故选C。
6．A
【解析】
根据牛顿第二定律
解得
故选A。
7．D
【解析】
地球表面物体受到的万有引力近似等于物体的重力
中子星的自转角速度
假设在中子星赤道上有一质量为m的物体
联立以上各式得
该中子星赤道的重力加速度大小与地球表面的重力加速度大小之比约为
故选D。
8．C
【解析】
由于地球表面处物体所受的重力近似等于物体所受的万有引力，得
离地面高度时的万有引力
故选C。
9．A
【解析】
根据
可得月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度
地面附近重力加速度大小
则
选项A正确，BCD错误；
故选A。
10．A
【解析】
星球表面的物体受到重力等于万有引力，有
解得
可得
BCD错误，A正确。
故选A。
11．(1) (2)
【解析】
(1)根据万有引力定律，对地球表面的物体有：
地球质量为：
(2)对月球有：
联立解得：
【点睛】
解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力两个理论，并能灵活运用，注意飞船的高度和飞船的轨道半径是两个不同的概念．
12．（1）；（2）
【解析】
（1）由可得
（2）忽略地球自转，则对地球表面任一物体有
解得
13．（1）；（2）
【解析】
（1）对于a星，由万有引力提供向心力
解得
（2）对于b星，由万有引力提供向心力
联立解得
14．（1）不正确，正确解法见解析；（2）可估算地球质量。
【解析】
(1)以上结果是不正确的。因为地球赤道表面的物体随地球作圆周运动的向心力并不是物体所受的万有引力，而是万有引力与地面对物体支持力的合力。
正确解答如下：地球赤道表面的物体随地球自转的周期为T0，轨道半径为R，所以线速度大小为
(2)可估算地球的质量M；设同步卫星的质量为m，轨道半径为
同步卫星周期等于地球自转的周期为T0，由万有引力提供向心力有
可得
能力提升检测练习
一．单选题
1．设地球表面的重力加速度为，物体在距离地球表面是地球的半径处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为　　
A．1 B． C． D．
2．2021年9月20日北京时间15时10分，搭载天舟三号货运飞船的长征七号遥四运载火箭在我国文昌航天发射场点火发射。当天22时08分，天舟三号成功对接于空间站天和核心舱后向端口。我国自主研发的空间站“天和”核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　）
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
3．中国绕月卫星“龙江二号”是全球首个独立完成地月转移、近月制动、环月飞行的微卫星，2019年2月4日，“龙江二号”成功拍下月球背面和地球的完整合照。已知“龙江二号”距离月球表面h处环月做圆周运动的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，据此不可求的物理量是（　　）
A．“龙江二号”的质量 B．“龙江二号”的线速度大小
C．月球的质量 D．月球表面的重力加速度大小
4．如图所示，由于地球的自转，地球表面上P、O两物体均绕地球的转轴做匀速圆周运动，对于P、O两物体的运动，下列说法正确的是（　　）
A．P、O两点的角速度大小不相等
B．P、O两点的线速度大小相等
C．同一物体在O点的向心加速度比在P点的向心加速度大
D．放在P、O两处的物体均只受重力和支持力
5．美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径为的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为，已知引力常量为，则下列关于土星质量和平均密度的表达式正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
二．多选题
6．月球是地球唯一的天然卫星，月球的质量为地球质量的（n>1），人们很早就发现了月球总是以同一面（即正面）朝向地球，月球的公转周期为T，公转半径为r，引力常量为G，下列判断正确的是 （　　）
A．月球对地球的万有引力为地球对月球的万有引力的
B．月球的自转周期与月球绕地球公转的周期相等
C．月球绕地球公转的周期是地球自转周期的
D．地球的质量为
7．一些星球由于某种原因而发生收缩，假设该星球的直径缩小到原来的．若收缩时质量不变，不考虑星球自转的影响，则与收缩前相比（　　）
A．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍
B．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的16倍
C．该星球的平均密度增大到原来的16倍
D．该星球的平均密度增大到原来的64倍
8．如图表格列出一些地点的重力加速度，表中数据的规律可表述为：随着地面上所在地点纬度的增大，该处的重力加速度增大。已知地面不是标准球面，纬度越大的地点半径越小，则形成表格所示规律的原因，以下说法正确的有（　　）
地点 纬度 重力加速度
赤道海平面 0° 9.780 m/s2
马尼拉 14°35’ 9.784 m/s2
广州 23°06’ 9.788 m/s2
上海 31°12’ 9.794 m/s2
东京 35°43’ 9.798 m/s2
北京 39°56’ 9.801 m/s2
莫斯科 55°45’ 9.816 m/s2
北极 90° 9.832 m/s2
A．地面物体的重力等于所受地球引力的大小与随地球自转所需向心力大小之差
B．地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大
C．地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而增大
D．地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大
9．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是( )
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0
C．地球的半径为
D．地球的密度为
三．解答题
10．人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：
（1）月球表面的重力加速度大小g月；
（2）月球的密度。
11．地球上一个昼夜的时间T1（地球自转周期）、一年的时间T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离r1，地球中心到太阳中心的距离r2，万有引力常量G，根据以上数据：
(1)你能算出哪个天体的质量？求其质量；
(2)若(1)中天体的半径为R，求其密度
能力提升检测练习——【答案解析】
1．D
【解析】
根据地球表面重力与万有引力近似相等
有地球表面处的重力加速度
离地球表面3R，即离地心距离4R处，根据牛顿第二定律
即
故ABC错误，D正确．
故选D。
2．D
【解析】
根据
解得
， ，，
所以已知核心舱的绕地线速度和绕地半径时，能计算出地球质量，或者是周期与半径，角速度与半径，向心加速度与半径，任何一组都能计算出地球质量，则D正确；ABC错误；
故选D。
3．A
【解析】
AC．根据万有引力提供向心力可知
“龙江二号”的质量不可求出，但月球质量可求出，故A错误，符合题意，C正确，不符合题意；
B．根据
可求出其运动的线速度，故B正确，不符合题意；
D．根据
且M也为已知量，可求出月球表面的重力加速度，故D正确，不符合题意；
故选A。
4．C
【解析】
A．因为P、O两点同围绕地轴转动，所以角速度相同，故A错误；
B．P、O两点的圆周运动半径分别为P、O两点到地轴的距离，故O点半径大于P点半径，由公式v=rω得，O处物体的线速度大，故B错误；
C．由向心加速度公式a=rω2，同一物体在O点的向心加速度比在P点的向心加速度大，故C正确；
D．P、O两物体均受万有引力和支持力两个力作用，重力只是物体所受万有引力的一个分力，故D错误。
故选C。
5．D
【解析】
由题意知“卡西尼”号探测器离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行得周期
由万有引力提供向心力
联立解得
由
又
联立得
故D正确，ABC错误。
故选D。
6．BD
【解析】
A．根据牛顿第三定律，两物体之间的万有引力是一对相互作用力，它们的大小相等，方向相反，故地球对月球的万有引力与月球对地球的万有引力的比值为1， A错误；
B．由月球总是以同一面（即正面）朝向地球，可知月球的自转周期与其绕地球公转的周期相等， B正确；
C．月球绕地球公转的周期是
地球自转周期是1天，则月球绕地球公转的周期是地球自转周期的T倍 ，C错误；
D．根据
解得
D正确。
故选BD。
7．BD
【解析】
AB、忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式=mg，该星球的直径缩小到原来的，若收缩时质量不变，所以同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的16倍．故A错误，B正确；
CD、该星球的直径缩小到原来的一半，则体积：，密度：ρ=
该星球的直径缩小到原来的一半，体积变成原来的，因收缩时质量不变，则密度变成原来的64倍．故C错误，D正确．
8．BD
【解析】
A．地面物体的重力等于所受地球引力的大小与随地球自转所需向心力矢量之差，故A错误；
B．有题图可知，地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大，故B正确；
C．由
可得地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而减小，故C错误；
D．如下图所示
可得出地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大，故D正确。
故选BD。
9．BCD
【解析】
A．因地球表面两极处的重力加速度大小为g0，则质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0，故A错误；
B．因在地球的两极，重力与万有引力
=mg0
则质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为
故B正确；
C．在赤道上，根据向心力公式
联立解得
故C正确；
D．地球的密度为
联立解得
故D正确。
故BCD。
10．（1）；（2）
【解析】
（1）月球表面附近的物体做自由落体运动，由
得月球表面的自由落体加速度大小
（2）若不考虑月球自转的影响，则
月球的质量
月球的密度
11．(1)太阳的质量；；(2)
【解析】
(1)地球绕太阳旋转，万有引力提供向心力，则
所以
所以可以计算出太阳的质量，质量为
(2)球体体积，则太阳的密度

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