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11.4 串联电路和并联电路
考点1：对串、并联电路的理解
1．串联电路、并联电路总电阻的比较
串联电路的总电阻R总 并联电路的总电阻R总
不同点 n个相同电阻R串联，总电阻R总＝nR n个相同电阻R并联，总电阻R总＝
R总大于任一电阻阻值 R总小于任一电阻阻值
一个大电阻和一个小电阻串联时，总电阻接近大电阻 一个大电阻和一个小电阻并联时，总电阻接近小电阻
相同点 多个电阻无论串联还是并联，其中任一电阻增大或减小，总电阻也随之增大或减小
2.串、并联电路中，电压和电流的分配关系
（1）串联电路中各电阻两端的电压跟它的阻值成正比
推导：在串联电路中，由于U1＝I1R1，U2＝I2R2，U3＝I3R3…Un＝InRn，I＝I1＝I2＝…＝In，所以有
＝＝…＝＝＝I。
（2）并联电路中通过各支路电阻的电流跟它们的阻值成反比
推导：在并联电路中，U1＝I1R1，U2＝I2R2，U3＝I3R3…Un＝InRn，U1＝U2＝…＝Un，所以有I1R1＝I2R2＝…＝InRn＝I总R总＝U。
【例1】　由四个电阻连接成的电路如图所示。R1＝8 Ω，R2＝4 Ω，R3＝6 Ω，R4＝3 Ω。
(1)求a、d之间的总电阻；
(2)如果把42 V的电压加在a、d两端，则通过每个电阻的电流是多少？
【分析】(1)分清四个电阻的串、并联关系。
(2)流过R3和R4的电流与其电阻值成反比。
【解析】　(1)由题图可知Rcd＝＝ Ω＝2 Ω。
故Rad＝R1＋R2＋Rcd＝8 Ω＋4 Ω＋2 Ω＝14 Ω。
(2)由欧姆定律知I＝＝ A＝3 A，
即为通过R1、R2的电流。
设通过R3、R4的电流分别为I3、I4，
则由并联电路电压相等，得I3R3＝I4R4；
又I3＋I4＝3 A，解得I3＝1 A，I4＝2 A。
上例中，如果将1 A的电流通过a、d电路，则每个电阻两端的电压分别是多少？a、d之间的总电压是多少？
【解析】U1＝IR1＝8 V
U2＝IR2＝4 V
U3＝U4＝IRcd＝2 V
Uad＝U1＋U2＋U3＝14 V。
解决简单混联电路的方法
1 准确地判断出电路的连接方式，画出等效电路图。
2 准确地利用串、并联电路的基本规律、特点。
3 灵活地选用恰当的物理公式进行计算。
训练角度1：串联电路中电压分配关系
1．(多选)电阻R1、R2、R3串联在电路中。已知R1＝10 Ω、R3＝5 Ω，R1两端的电压为6 V，R2两端的电压为12 V，则(　　)
A．电路中的电流为0.6 A
B．电阻R2的阻值为20 Ω
C．三只电阻两端的总电压为21 V
D．电阻R3两端的电压为4 V
【解析】ABC　电路中电流I＝＝A＝0.6 A，A正确；R2阻值为R2＝＝ Ω＝20 Ω，B正确；三只电阻两端的总电压U＝I(R1＋R2＋R3)＝21 V，C正确；电阻R3两端的电压U3＝IR3＝0.6×5 V＝3 V，D错误。
训练角度2：并联电路中电流分配关系
2．如图所示电路，电压保持不变，当开关S断开时，电流表的示数为0.6 A，当S闭合时，电流表的示数为0.9 A，则两电阻阻值之比R1∶R2为(　　)
A．1∶2　　　 B．2∶1
C．2∶3 D．3∶2
【解析】A　由题意知，当S断开时，电流表示数I1＝0.6，则R1＝，当S闭合时，I总＝I1＋I2，I2＝I总－I1＝0.3 A，则R2＝，所以R1∶R2＝1∶2，A正确。
考点2：电压表和电流表的改装
1．两表改装对比
改装成电压表V 改装成电流表A
内部电路
扩大后的量程 U I
电阻R的作用 分压 分流
电阻R 的数值 R＝－Rg＝(n－1)Rg R＝＝
电表的 总电阻 RV＝Rg＋R＝ RA＝＝
2.电表改装问题的四点提醒
(1)电表改装的问题实际上是串、并联电路中电流、电压的计算问题，只要把表头看成一个电阻Rg即可。
(2)无论表头改装成电压表还是电流表，它的三个参量Ug、Ig、Rg是不变的，即通过表头的最大电流并不改变。
(3)由改装后电压表的内阻RV＝R串＋Rg＝nRg可知，电压表量程越大，其分压电阻R越大，电压表内阻RV越大。
(4)由改装后电流表的内阻RA＝＝(其中n＝)可知，电流表的量程越大，其分流电阻R并越小，电流表的内阻RA越小。
【例2】　有一电流表G，内阻Rg＝100 Ω，满偏电流Ig＝1 mA。
(1)要把它改装成量程为0～3 V的电压表，应串联一个多大的电阻？改装后电压表的内阻是多大？
(2)要把它改装成量程为0～0.6 A的电流表，需要并联一个多大的电阻？改装后电流表的内阻是多大？
【解析】　(1)由题意知电流表G的满偏电压
Ug＝IgRg＝0.1 V
改装成量程为0～3 V的电压表，当达到满偏时，分压电阻R的分压
UR＝U－Ug＝2.9 V
所以分压电阻R＝＝ Ω＝2 900 Ω
改装后电压表的内阻RV＝Rg＋R＝3 000 Ω。
(2)改装成量程为0～0.6 A的电流表，当达到满偏时，分流电阻R的分流
IR＝I－Ig＝0.599 A
所以分流电阻R＝≈0.167 Ω
改装后电流表的内阻RA＝≈0.167 Ω。
电表改装问题的三点提醒
1 无论表头G改装成电压表还是电流表，它的三个特征量Ug、Ig、Rg是不变的，即通过表头的最大电流Ig并不改变。
2 电表改装的问题实际上是串、并联电路中电流、电压的计算问题，只要把表头G看成一个电阻Rg即可。
3 改装后的电压表的表盘上显示的是表头和分压电阻两端的总电压，改装后的电流表表盘上显示的是通过表头和分流电阻的总电流。
3.一量程为0.6 A的电流表，其刻度盘如图所示，若此电流表的两端并联一个电阻，其阻值等于该电流表内阻的一半，使其成为一个新的电流表，则图示的刻度盘上的一个小格表示多少安培？
【解析】　设该表内阻为Rg，并联电阻值为的分流电阻后，分流电阻承担的电流为
IR＝＝ A＝1.2 A
所以改装后的电流表的量程为
I＝IR＋Ig＝(1.2＋0.6) A＝1.8 A
所以每一个小格表示I0＝ A＝0.06 A。
1．下列说法错误的是(　　)
A．一个电阻R和一根电阻为零的理想导线并联，总电阻为零
B．并联电路的总电阻一定小于并联支路中最小的电阻
C．在并联电路中，任意支路电阻增大或减小时，总电阻将随之增大或减小
D．电阻R和阻值无限大的电阻并联，总电阻为无限大
【解析】D　并联电路的总电阻的倒数等于各支路电阻的倒数之和，如果电阻R与电阻为零的导线并联，则电阻R被短路，总电阻为零，A正确；由＝＋＋…＋，设Rk为R1～Rn中的任一电阻，则有＞，故Rk＞R总，所以总电阻小于支路中的任一电阻，即小于其中最小的电阻，B正确，D错误；当Rk减小时，增大，增大，故R总减小，同理，当Rk增大时，R总增大，C正确。D符合题意。
2．在如图所示的电路中，通过电阻R1的电流I1是(　　)
A．　　 B．
C． D．
【解析】C　电阻R1与R2串联，电流相等，由欧姆定律可知，I1＝＝＝，故C正确。
3．电阻R1与R2并联在电路中通过R1与R2的电流之比为1∶2，则当R1与R2串联后接入电路中时，R1与R2两端电压之比为U1∶U2为(　　)
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
【解析】B　设电阻R1和R2并联在电路时，电压为U，由题意可知，∶＝1∶2，可得R1∶R2＝2∶1，当电阻R1和R2串联在电路中时，由闭合电路的欧姆定律可知，其两端的电压之比就等于电阻之比，所以U1∶U2＝2∶1，故B正确。
4．如图所示，图线1表示的导体的电阻为R1，图线2表示的导体的电阻为R2，则下列说法正确的是(　　)
A．R1∶R2＝1∶3
B．R1∶R2＝2∶3
C．将R1与R2串联后接于电源上，则电流之比I1∶I2＝1∶3
D．将R1与R2并联后接于电源上，则电流之比I1∶I2＝1∶3
【解析】A　根据I U图像知，图线的斜率表示电阻的倒数，所以R1∶R2＝1∶3，故A正确，B错误；串联电路电流相等，所以将R1与R2串联后接于电源上，电流之比I1∶I2＝1∶1，故C错误；并联电路中各支路电压相等，电流之比等于电阻之反比，所以将R1与R2并联后接于电源上，电流之比I1∶I2＝3∶1，故D错误。
5．已知R1＝6 Ω，R2＝3 Ω，R3＝4 Ω，AB端的总电压为6 V，把它们接成图示电路，求通过它们的电流I1∶I2∶I3为(　　)
A．1∶1∶2 B．3∶2∶1
C．1∶2∶3 D．2∶1∶3
【解析】C　R1与R2并联，则电流I1∶I2＝R2∶R1＝3∶6＝1∶2；设R1中电流为I，则R2中电流为2I，而流过R3的电流I3＝I＋2I＝3I；故电流之比I1∶I2∶I3＝I∶2I∶3I＝1∶2∶3。故C正确。
6.(多选)一电流表的量程为100 μA，内阻为100 Ω。现串联一个9 900 Ω的电阻将它改装成电压表(原电流表的表盘未改动)。如果用改装后的电压表测量某一电路，电压表示数如图所示，则(　　)
A．该电压表的量程是0.1 V
B．该电压表的量程是1 V
C．此时的电压是0.08 V
D．此时的电压是0.8 V
【解析】BD　根据串联电路的电压特点有U＝IgR＋IgRg＝Ig(R＋Rg)＝10－4×(100＋9 900) V＝1 V，此时指针所表示的电压为0.8 V，选项B、D正确。
7．如图所示的甲、乙两个电路，都是由一个灵敏电流计G和一个变阻器R组成，它们中一个是测电压的电压表，另一个是测电流的电流表，那么以下结论中正确的是(　　)
甲　　　　　　乙
A．甲表是电流表，R增大时量程增大
B．甲表是电流表，R增大时量程减小
C．乙表是电压表，R增大时量程减小
D．上述说法都不对
【解析】B　电压表中的串联电阻起分压作用；电流表中的并联电阻起分流作用，所以甲表为电流表，乙表为电压表。并联电路电阻大时分流少，所以R增大时量程减小；串联电路电阻大时分压多，所以R增大时量程增大。故B正确。
8.(多选)如图所示的电路，将两个相同的表头分别改装成A1(0～3 A)和A2(0～0.6 A)的电流表，把两个电流表并联接入电路中测量电流，则下列说法正确的是(　　)
A．A1的指针半偏时，A2的指针也半偏
B．A1的指针还没半偏时，A2的指针已经半偏
C．A1的读数为1 A时，A2的读数为0.6 A
D．A1的读数为1 A时，干路的电流为1.2 A
【解析】AD　A1和A2是由两个相同的表头改装而成的，只是它们并联的电阻不同。当两个电流表并联时，加在两电流表上的电压相等，所以，通过两表头的电流也相等，A正确，B错误；两电流表量程之比为5∶1，两电流表内阻之比为1∶5，则通过电流表电流之比为5∶1，A1读数为1时，A2读数为0.2，所以干路电流为1.2 A，C错误，D正确。
9．一个满偏电流Ig＝1 mA、线圈电阻Rg＝100 Ω的小电流表。(1)把它改装成满偏电压U＝10 V的电压表，请画出电路图，并算出应接入的电阻的阻值；(2)把它改装成满偏电流I＝0.6 A的电流表，请画出电路图，并算出应接入的电阻的阻值。
【解析】　(1)小量程电流表的满偏电压Ug＝IgRg＝0.1 V＜U，因此需要串联一个适当的分压电阻，可将其改装成电压表，改装的电路如图甲所示，
由欧姆定律有U＝Ig(Rg＋Rx)，
解得Rx＝－Rg＝9 900 Ω。
甲　　　　　　乙
(2)小量程电流表的满偏电流Ig＜I，要将其改装成大量程的电流表，应给其并联一个适当的分流电阻，改装的电路如图乙所示，
由并联电压相等得
IgRg＝(I－Ig)Rx
解得Rx＝Rg≈0.17 Ω。
10．如图所示A、B间的电压为30 V，改变滑动变阻器触头(触头始终在中间电阻R上)的位置，可以改变C、D间的电压，UCD的变化范围是(　　)
A．0～10 V B．0～ 20 V
C．10～20 V D．20～30 V
【解析】C　当触头在最上端时，UCD＝UAB＝20 V，当触头在最下端时，UCD＝UAB＝10 V，故UCD的变化范围是10～20 V，选项C正确。
11．(多选)有一灵敏电流计，其表头内阻Rg＝1 000 Ω，满偏电流Ig＝100 μA，以下说法正确的是(　　)
A．把它改成量程为1.5 V的电压表，应串联一个15 kΩ的电阻
B．把它改成量程为1.0 A的电流表，应并联一个1 Ω的电阻
C．把它改成量程为1.0 A的电流表，测量某电流时读数为0.5 A，此时流过表头的电流为50 μA
D．把它改成量程为1.5 V的电压表，测量某电压时读数为1.5 V，此时流过表头的电流为100 μA
【解析】CD　改装成电压表要串联电阻分压，串联阻值为R＝－Rg＝Ω－1 000 Ω＝14 000 Ω，故A错误；改装成电流表要并联分流，并联阻值：R＝＝ Ω＝0.1 Ω，故B错误；把它改成量程为1.0 A的电流表，用它去测量某电流时，读数为0.5 A，则指针正好是满偏的一半，即为50 μA，故C正确；把它改成量程为1.5 V的电压表，测量某电压时读数为1.5 V，说明此时电流表达到满偏，此时流过表头的电流为100 μA，故D正确。
12．把一个电流计接成如图所示电路。三个端点a、b、c，一次使用a、b两个端点，一次使用a、c两个端点，已知改装之后的电流表有两个量程：0.1 A和1 A。已知电流计内阻Rg＝90 Ω，电流计满偏电流Ig＝10 mA。下列判断正确的是 (　　)
A．使用a、b两个端点，量程是1 A；使用a、c两个端点，量程是0.1 A；R1＝0.1 Ω，R2＝0.9 Ω
B．使用a、b两个端点，量程是1 A；使用a、c两个端点，量程是0.1 A；R1＝1 Ω，R2＝9 Ω
C．使用a、b两个端点，量程是0.1 A；使用a、c两个端点，量程是1 A；R1＝1 Ω，R2＝9 Ω
D．使用a、b两个端点，量程是0.1 A；使用a、c两个端点，量程是1 A；R1＝1 Ω，R2＝0.9 Ω
【解析】B 根据电流表的改装原理可知，接a、b时，R1起分流作用为一支路，G与R2串联为一支路，量程：Iab＝Ig，同理接a、c时，R1＋R2为一支路起分流作用，G为一支路，量程：Iac＝Ig，可知：Iab＞Iac，故使用a、b两个端点，量程是1 A；使用a、c两个端点，量程是0.1 A；联立解得R1＝1 Ω，R2＝9 Ω，故B正确，A、C、D错误。
13．如图所示，R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，三个电流表的内阻均可忽略不计，求它们的读数之比I1∶I2∶I3。
【解析】　可将原电路等效为如图所示的电路，电路为R1、R2、R3的并联电路，电流表A1测总电流，电流表A2测通过R2、R3两电阻的电流之和，电流表A3测通过R1、R2两电阻的电流之和。
由并联分流的关系可知，各支路电流与电阻成反比。
因为R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，所以各支路的电流之比IR1∶IR2∶IR3＝6∶3∶2，所以电流表的读数之比为I1∶I2∶I3＝11∶5∶9。

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