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2021年山东省青岛市黄岛区中考数学模拟试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
已知与互为相反数，计算的结果是
A. B. C. D.
有四张形状相同的卡片，正面分别印着矩形、菱形、等边三角形、等腰梯形四个图案，卡片背面完全一样，随机抽出一张，刚好抽到正面的图案是中心对称图形的概率是
A. B. C. D.
年月日，为期天的第四届中国湖南国际矿物宝石博览会在郴州圆满落下帷幕，参观人数约万人次，交易总额达亿元人民币，用科学记数法表示为
A. B. C. D.
如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的的值为 ．
A. B. C. D.
下表记录了甲、乙、丙、丁四名立定跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
根据表中数据，要从中选择一名成绩好发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则的度数为
A. B. C. D.
如图，在矩形中，点的坐标是，则、两点间的距离是
A. B. C. D.
如图是二次函数是常数，图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是对于下列说法：；；；为实数；当时，，其中正确的是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
计算的结果等于______．
点的坐标为，现将线段绕着点逆时针旋转得到线段，则坐标为______．
关于的方程有实数根，则的取值范围是______．
如图，是的直径，弦，，则图中阴影部分的面积是________．
如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点若，则______．
平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，直线的解析式为，将直线绕点顺时针旋转，与反比例函数图象交与点，直线的解析式为，若的面积为，则的值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6分）
某中学依山而建，校门处有一坡度：的斜坡，长度为米，在坡顶处看教学楼的楼顶的仰角，离点米远的处有一个花台，在处仰望的仰角是，的延长线交校门处的水平面于点，求的长．
四、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，已知中，，
画出的高和；
若，求的长．
解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．
用因式分解法和公式法求解下列方程：．
阅读材料，回答问题．
材料：题：假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果枚鸟卵全部孵化成功后，求只雏鸟中恰有只雄鸟的概率，
我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题：在口袋中放两种不同颜色的小球，红球表示雌鸟，黄球表示雄鸟，只雏鸟孵化小鸟．相当于从三个这样的口装中各随机换出一球．恰好有个黄球．
题：一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两套只有颜色不同的有盖茶杯．突然停电了．小伟只好把杯等和茶杯随机地搭配在一起：求颜色搭配正确的概率．
设计一个“袋中模球”的试验模拟题，请筒要说明你的方案；
请直接写出题的概率的结果．
某中学为了调查本校籍学生的跳绳水平，随机抽取了籍部分学生的跳绳成绩满分为分，分数均为自然数，绘制如下两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息，回答下列问题：
在扇形统计图中，的值是______，求出成绩为分所在扇形的圆心角的度数．
补全条形统计图；
若该校籍学生共有人，估计籍学生成绩不低于分的学生有多少人？
某服装店用元购进了一批衬衣，又用元购进了一批裇，已知衬衣的数量是裇数量的倍，衬衣单价比裇单价贵元．
该商家购进衬衣和裇各多少件？
商家决定把衬衣和裇的标价和定为元，要使衬衣和裇卖完后的总利润率不低于，则衬衣最低标价多少元？利润率利润成本
如图，等腰直角三角形，过点在左侧作，并构造正方形，点是上一点，且，过点作平分，，分别交于点，，连接．
若，求的长．
求证：．
如图，在等腰直角三角形中，若过点在右侧作，，连接，直接写出的值．
课本中有一道作业题：有一块三角形余斜，它的边，高要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．
加工成的正方形零件的边长是多少？
【探索发现】】
如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，问这个矩形的最大面积是多少？如果，高，则矩形面积的最大值为______用含，的代数式表示
【实际应用】
现有一块四边形的木板余料，经测量，，，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点、在边上且面积最大的矩形，求该矩形的面积．
已知，，均为实数，且，求关于的方程的根．
如图，在正方形中，，点、分别在、上，，试探究尽面积的最小值．
下面是小丽的探究过程
延长至使；连接，可以证明，请完成她的证明．
设，，．
结合中的结论，通过计算得到与的部分对应值．请写出表格中的值；写出解答过程
利用上表和中的结论通过描点、连线可以分别画出函数、的图象．请在图中完善她的画图；
根据以上探究，估计面积的最小值约为______结果怙计到．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：与互为相反数，
．
．
故选：．
根据相反数、绝对值、有理数的乘方、有理数的加减运算解决此题．
本题主要考查相反数、绝对值、有理数的乘方、有理数的加减运算，熟练掌握相反数、绝对值、有理数的乘方、有理数的加减运算法则是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
先判断出矩形、菱形、等边三角形、等腰梯形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可．此题考查了概率公式和中心对称图形的定义，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
【解答】
解：在矩形、菱形、等边三角形、等腰梯形中，中心对称图形有矩形和菱形，共个；
则中心对称图形；
故选B．

3.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】本题考查了正六棱柱的三视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象能力由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的边长为，求的值可结合俯视图来解答．
由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的最长的对角线长是，则边长为，
如图，作于，
在中，，，
在直角中，，，
，
，
即．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：由表可知，甲、丙的平均成绩大，且甲的方差比丙的方差小，
所以甲的立定跳远成绩好且发挥稳定，
故选：．
根据方差的意义求解可得．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，，
则．
故选：．
根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案．
本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容．
7.【答案】
【解析】解：在矩形中，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质即可求出答案．
本题考查矩形，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理，本题属于基础题型．
8.【答案】
【解析】解：对称轴在轴右侧，
、异号，
，故正确；
对称轴，
；故正确；
，
，
当时，，
，故错误；
根据图示知，当时，有最大值；
当时，有，
所以为实数．
故正确．
如图，当时，不只是大于．
故错误．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判定与的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
9.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为．
利用完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴
，
由勾股定理可知
将逆时针旋转后，与轴重合
通过点坐标构造直角三角形，可以获得与轴的夹角为，将旋转后，点会落到轴上，，所以
本题考查了特殊直角三角形的三边比例关系以及旋转的性质，是一道很好的基础问题．
11.【答案】
【解析】解：当时，原方程为，
解得：，
符合题意；
当时，有，
解得：且．
综上：的取值范围是．
故答案为：．
分及两种情况考虑：当时，通过解一元一次方程可得出原方程有解，即符合题意；等时，由即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．综上此题得解．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分及两种情况考虑是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了扇形面积的计算、圆周角定理．求图中阴影部分的面积时，采用了“分割法”，即把不规则阴影图形转化为规则图形，然后来计算其面积．如图，连接图中阴影部分的面积扇形的面积的面积．
【解答】
解：如图，连接．
，
．
又是直径，
，
在中，，，则，．
是斜边上的中线，
．
．
故答案是 ．

13.【答案】
【解析】解：过点，分别作，的平行线交于点，则四边形为矩形，
过点作交于点，过点作交的延长线于点，
过点作的平行线分别交，的延长线于点，，
则四边形为矩形，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
又，
≌，
，，
为的中点，，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
，
故答案为：．
过点，分别作，的平行线交于点，则四边形为矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，过点作的平行线分别交，的延长线于点，，则四边形为矩形，证明≌，得出，，证明∽，可求出的长．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设点
和点关于原点对称，
点的坐标为，
点在的图象上，
点的坐标为．
，
．
点的横坐标为，
点或，
，即
由得：，．
过点作轴，交于点，则点，
．
，
，
，
．
故答案为：
设点，根据对称性以及直线上点的坐标特点分别用含有的代数式表示出点、的坐标，然后根据三角形的面积公式解答即可．
本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．
15.【答案】解：过点作，过点作，
：，
，
米，米，米，
米，
设为米，则米，
，
米，
，
，
解得，
米，
米，
答：的长度为米．
【解析】过点作，过点作，由的坡度和长即可求，再由，根据、、米解三角形求出，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角和俯角问题，解直角三角形的应用坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．
16.【答案】解：如图：
，
，
．
【解析】利用钝角三角形边上的高线作法，延长各边作出即可；
利用三角形的面积公式可得，代入数据可得答案．
此题主要考查了基本作图以及三角形的面积，关键是掌握三角形的面积公式．
17.【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
不等式组的最大整数解是；
，
方法一：，
开方得：，，
解得：；
方法二：整理得：，
，
，
．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；
先因式分解，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；整理后求出的值，再代入公式求出即可．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解一元二次方程的应用，解的此题的关键是能求出不等式组的解集，解的关键是能正确运用各个方法解一元二次方程，此题属于中档题目，难度适中．
18.【答案】解：口袋中放两种不同颜色的小球，红球表示某种颜色的杯或盖，黄球表示另一种颜色的杯或盖，颜色搭配正确，相当于从两个这样的口袋中各随机取出一球，颜色相同．
画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中颜色搭配正确的有种结果，
颜色搭配正确的概率为．
【解析】口袋中放两种不同颜色的小球，红球表示某种颜色的杯或盖，黄球表示另一种颜色的杯或盖，据此可得；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】
【解析】解：被调查的学生总人数为人，
，即，
成绩为分所在扇形的圆心角是；
故答案为：；
分及以下的人数为人，分的人数为人，
分及以下中女生人数为人，分中女生人数为人，
补全图形如下：
估计籍学生成绩不低于分的学生有人．
根据样本容量，再根据百分比的概念可求出的值，用乘以对应百分比可得答案；
求出分以下和分中女生人数即可补全图形；
用总人数乘以不低于分的学生人数所占比例即可得．
此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】解：设商家购进衬衣和裇各和件，可得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：该商家购进衬衣和裇各和件；
，，
设衬衣最低标价是元，可得：，
解得：，
答：衬衣最低标价元．
【解析】设商家购进衬衣和裇各和件，根据关键语句“每双进价多了元”可得等量关系：某服装店用元购进了一批衬衣，又用元购进了一批裇，已知衬衣的数量是裇数量的倍，衬衣单价比裇单价贵元，根据等量关系列出方程，求出方程的解，再进行检验即可得出答案；
设衬衣最低标价是元，根据数量关系：总售价总进价总进价，列出不等式，解出不等式的解即可．
本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键．用到的公式是：利润率．
21.【答案】解：等腰直角三角形中，，
，
；
证明：如图，过点作于点，
则，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，，
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
；
解：如图，以为直径作圆，延长到，使得，连接．
，为等腰直角三角形，
，，
点、在圆上，
．
，，
为等腰直角三角形，
．
又，，
，
∽，
．
，
．
【解析】根据勾股定理得出的长度，再根据边与边之间的关系即可得出结论；
过点作于点，利用相等的边角关系证出≌，由此即可得出，，再通过角的计算找出、均为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边与直角边的关系即可证出；
以为直径作圆，延长到，使得，连接，根据，可得出点、在圆上，根据圆周角定理即可得出，由，可得出为等腰直角三角形，进而得出，再通过角的计算得出，由此即可得出∽，根据相似三角形的性质即可得出．
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：根据勾股定理算出的长度；根据等腰直角三角形的性质找出；根据相似三角形的性质找出比例关系式．本题属于难题，考到较多的知识点，解决该题型题目时，构建等腰直角三角形以及圆，利用等腰直角三角形的性质找出边与边的关系以及利用圆周角定理找出相等的角是关键．
22.【答案】
【解析】解：如图，设正方形的边长为，则，
，
，
∽，
，即，
解得．
加工成的正方形零件的边长是；
设，矩形的面积为，
由条件可得∽，
，
即，
解得：
则，
故的最大值为；
故答案为：；
如图，延长、交于点，过点作于点，
，
，
，且，
，
，
，
在中，，
，
，
的中点在线段上，
，
，
的中点在线段上，
中位线的两端点在线段、上，
由知，矩形的最大面积为，
答：该矩形的面积为．
设正方形的边长为，则，，通过证明∽，利用相似比可得到，然后根据比例性质求出即可；
设，用表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用表示出，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答；
延长、交于点，过点作于点，由已知条件得到、，，继而求得，可判断中位线的两端点在线段、上，利用结论解答可得．
本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键．
23.【答案】解：，
，，，
，，．
方程即为，
解得，．
【解析】先根据算术平方根、绝对值、偶次方都大于等于，三个非负数相加和为，则这三个数的值必都为，由此可解出、、的值，再代入方程中可解此题．
本题考查了一元二次方程的解法和非负数的性质．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．
24.【答案】答案不唯一
【解析】解：，，，
，
，，≌，
；
，设，，
，
由勾股定理得：，
解得：；
由得：，
描点画图如下：
从图象可以看出：的最小值约为：，
面积的最小值面积的最小值答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
，，则，，，，则≌，即可求解；
，设，，，由勾股定理即可求解；由得：，描点画图即可；
从图象可以看出：的最小值约为：，即可求解．
本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、函数作图，此类题目通常在作图的基础上，从图表查阅符合条件的数据点，进而求解．

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