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“求函数的值域与最值”学案
基础知识梳理：
1.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
2.求函数最值（或值域）的方法：
（1）图像法：若函数的图象有最高（最低）点，则最高（最低）点的纵坐标为函数的最大（最小）值；
（2）单调性法：若函数在某个闭区间上是单调函数,则该函数在此闭区间上的最值在区间端点处取得；
(3) 配方法: 适用于二次函数；（4）换元法：主要用于根式类的函数，如：；
(5)分离常数法：适用于分式，且分子、分母中有相似的项，如：； INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\题型分类深度剖析.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\题型分类深度剖析.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\题型分类深度剖析.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\题型分类深度剖析.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\题型分类深度剖析.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\题型分类深度剖析.TIF" \* MERGEFORMATINET
方法一：单调性法
1.函数y＝在[2，3]上的最大值是______
2.函数y＝x＋的最小值为______
3.函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________
4.函数f(x)＝的最大值为______
5.若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝______，b＝________
方法二：配方法
6.求函数y=x2-6x+2的值域为_________
7.求函数y=sin2x－6sinx+2的值域为__________
8.【2017新课标II理14】函数（）的最大值是
9.函数y=5sinx+cos2x的最大值是
10.函数的最小值为（ ）
A.2 B.0 C. D.6
方法三：换元法
11.函数y＝2x－的值域为________
12.函数的值域为________
13.函数y＝x＋的最大值为________
14.函数y＝(x>1)的值域为________
15.已知函数，，求该函数的值域.
16.已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为________
方法四：分离常数法
18.函数y＝的值域为________
20.函数y＝的值域为________
方法五：数形结合法
21.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________
方法六：不等式法
实战演练：
23.函数y＝1＋x－的值域为(　　)
A. B.
C. D.
24.已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
25.已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B.
C. D.
26(多选)下列函数中值域为R的有( )
A.f(x)＝3x－1 B.f(x)＝lg(x2－2)
C.f(x)＝ D.f(x)＝x3－1
27.(多选)已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[－1，2]，则值域也为[－1，2]的函数是(　　)
A.y＝2f(x)＋1 B.y＝f(2x＋1)
C.y＝－f(x)＋1 D.y＝|f(x)|
28.(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能为(　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
29.求函数的值域的值域为________
30.函数y＝log0.3(x2＋4x＋5)的值域为________
31.(2020·河北示范性高中联考)函数f(x)＝的值域为________
32.已知函数f(x)＝2＋log3x，x∈[1，9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为________
33.已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1)若函数f(x)值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．
34.函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0，2]上有最小值3，求a的值．
参考答案及详细解析：
方法一：单调性法
1.答案：2
2.答案：1
解析：易知函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，∴x＝1时，ymin＝1.
3. 答案：3
解析：∵y＝在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，∴f(x)在[－1，1]上递减，
∴f(x)在[－1，1]上最大值为f(－1)＝3
4. 答案：2
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，∴f(x)在x＝1处取得最大值为f(1)＝1；
当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
5. 答案：a＝1，b＝
解析：∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2. 即解得a＝1，b＝.
方法二：配方法
6.答案：［－7，＋∞）
解析：∵y=x2-6x+2＝(x-3)2－7≥－7 ∴函数的值域是［－7，＋∞）
7.答案：［－3，9］
解析：y=sin2x-6sinx+2＝(sinx-3)2 -7， ∵sinx∈[－1, 1]，∴函数的值域是［－3，9］
8.答案：1
解析：
∵，∴， ∴当时，函数取得最大值1。
9.答案：4
解析：
,∴
10.答案： B
方法三：换元法
11. 答案：
解析：设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝22＋，
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为.
12. 答案：
解析：令，原函数化为，其开口向下，并且对称轴是，
故当时取得最大值为，没有最小值，故值域为.
13. 答案：
解析：由1－x2≥0，得－1≤x≤1.令x＝cosθ，θ∈[0，π]，则y＝cosθ＋sinθ＝sin，θ∈，∴－1≤y≤，故原函数最大值为
14. 答案：[2＋1，＋∞)
解析：令t＝x－1，∴t>0，x＝t＋1，∴y＝＝＝t＋＋1≥2＋1，
当且仅当t＝即t＝时取等号，∴函数的值域为[2＋1，＋∞)．
15.答案：{y|5≤y≤65}.
解析：因为，所以 ，令,则 ，二次函数在上为增函数，
时， ； 时， .函数的值域为{y|5≤y≤65}.
16.答案：
解析：∵ ≤f(x)≤， ∴≤≤.
令t＝，则f(x)＝(1－t2)，令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，即y＝－(t－1)2＋1.
∴当t＝时，y有最小值；当t＝时，y有最大值.∴g(x)值域为
方法四：分离常数法
17.答案：{y|y≠1}
18. 答案：{y|y∈R且y≠3}
解析：y＝＝＝3＋， ∵≠0，∴3＋≠3，∴函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
19. 答案：[－1,1)
解法2：由y＝，可得x2＝. 由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1， 故所求函数的值域为[－1,1)．
20.答案：(－1，1)
解：(1)方法一　y＝＝1－，
∵2x>0，∴2x＋1>1，∴0<<2，∴－1<1－<1，∴函数的值域为(－1,1)．
方法二：由y＝得2x＝，又∵2x>0，∴>0，即(y＋1)(y－1)<0，即－1方法五：数形结合法
21. 答案：[3，＋∞)
解析：y＝如图作出函数的图象．由图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|值域为[3，＋∞)　
方法六：不等式法
实战演练：
23.答案：B　
解析：设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2，
因为t≥0，所以y≤.所以函数y＝1＋x－的值域为，故选B.
24.答案： C
解析：因函数对称轴为,且时,,当时,,因此当时, .故
25.答案： C
解析：∵x≥1时，f(x)＝ln x≥ln 1＝0，
又f(x)的值域为R，故当x<1时，f(x)的值域包含(－∞，0)．故解得－1≤a<.
26.答案：ABD
解析：A项，f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件；B项，由x2－2>0得x>或x<－，此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件；C项，f(x)＝当x>2时，f(x)＝2x>4，当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0,4]，所以f(x)≥0，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；D项，f(x)＝x3－1是增函数，函数的值域为R，满足条件．
27.答案：BC　
A.y＝2f(x)＋1 B.y＝f(2x＋1) C.y＝－f(x)＋1 D.y＝|f(x)|
解析：y＝f(x)，x∈R，f(x)的值域为[－1,2]，对于A，f(x)∈[－1,2]，∴2f(x)＋1∈[－1,5]，故A不满足；
对于B，当x∈R时，2x＋1∈R，∴f(2x＋1)∈[－1,2]，故B满足；
对于C，∵f(x)∈[－1,2]，∴－f(x)∈[－2,1]，∴－f(x)＋1∈[－1,2]，故C满足；
对于D，f(x)∈[－1,2]，∴|f(x)|∈[0,2]，故D不满足．
28.答案：ABC　
解析：函数y＝x2－4x－4的对称轴方程为x＝2，当0当x＝0时，取最大值－4，当x＝m时，有最小值m2－4m－4＝－8，解得m＝2.则当m>2时，最小值为－8，
而f(0)＝－4，由对称性可知，229. 答案：
解析：∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤＜．故函数的值域是.
30. 答案：(－∞，0]
解析：令t＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1，∴t≥1，而y＝log0.3t在[1，＋∞)上单调递减，∴y≤log0.31＝0，
故原函数的值域为(－∞，0]．
31.答案：(－5,3]
解析：当x≤2时，f(x)＝2x－5单调递增，则－5当x>2时，sin x∈[－1,1]，∴f(x)＝3sin x∈[－3,3]．故f(x)的值域是(－5,3]．
32.答案：[6，13]
解析：f(x)的定义域为[1,9]，∴即1≤x≤3，故y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]，
∵y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x)2＋6log3x＋6，
令t＝log3x，t∈[0,1]，∴y＝t2＋6t＋6＝(t＋3)2－3，t∈[0,1]，t＝0时，y＝6，t＝1时，y＝13，故6≤y≤13.
33.解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0即2a2－a－3＝0 a＝－1或a＝.
(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0 －1≤a≤.
∴a＋3＞0.∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2＝－＋.
∵二次函数g(a)在上单调递减，∴g≤g(a)≤g(－1)，即－≤g(a)≤4.∴g(a)的值域为.
34.解：f(x)＝4(x－)2－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上递增．∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.∵a≤0，∴a＝1－
②当0<<2，即0③当≥2，即a≥4时，f(x)在[0,2]上递减，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.∵a≥4，∴a＝5＋.
综上所述，a＝1－或a＝5＋.
求函数的值域与最值 第3页（共8页）

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