资源简介

2021-2022学年河南省驻马店市西平县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣4＝0，则这个方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
3．在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．AB∥x轴，已知点C的纵坐标是6，将△ABC绕点A旋转90°得到△ADE，使C恰好落在y轴的负半轴E点处，若点C和点D关于原点成中心对称，则点A的坐标（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣4，1） C．（﹣4，2） D．（﹣3，1）
5．某校早规划设计时，准备在教学楼与综合楼之间，设置一块面积为600平方米的矩形场地作为学校传统文化建设园地，并且长比宽多50米，设该场地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）
A．x（x﹣50）＝600 B．x（x+50）＝600
C．x（50﹣x）＝600 D．2[x+（x+50）]＝600
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
7．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，点P（m，1），点Q（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上．过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N．连接OP，OQ，PQ．若四边形OMPN的面积记作S1，△POQ的面积记作S2，则（　　）
A．S1：S2＝2：3 B．S1：S2＝1：1 C．S1：S2＝4：3 D．S1：S2＝5：3
9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
10．如图①，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C，图②是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（　　）
A．2cm B．cm C．1cm D．3cm
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知反比例函数y＝图象位于一、三象限，则m的取值范围是　 　．
12．抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴方程为 　 　．
13．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是　 　．
14．如图，P是半圆外一点，PC，PD是⊙O的切线，C、D为切点，过C，D分别作直径AB的垂线，垂足为E，F，若＝＝，直径AB＝10cm，则图中阴影部分的面积是　 　cm2．
15．如图，在4×5的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，C，B三点都在格点上，线段AC与交于D，则图中的长度为 　 　．（结果保留π）
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1．使它与△ABC位似，且相似比为2：1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．
17．学校决定每班选取4名同学参加12.2全国交通安全日“细节关乎生命安全文明出行”主题活动启动仪式，班主任决定从4名同学（小明、小山、小月、小玉）中通过抽签的方式确定2名同学去参加该活动．
抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．
（1）“小刚被抽中”是　 　事件，“小明被抽中”是　 　事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中是小玉的概率是　 　；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率．
18．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：△AEF∽△ABD；
（2）填空：
①若BC＝8，AC＝5，则EF＝　 　；
②若四边形BDFE的面积为6，则△ABD的面积为　 　．
19．如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y＝（0＜k＜15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）直接写出阴影部分面积之和．
20．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；
信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价；
（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各600件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售120件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1200元？
21．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN长度的最大值．
22．如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．
（1）求证：直线BG与⊙O相切；
（2）若＝，求的值．
23．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＝ON），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；
（2）若将△MON绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2＝2ON2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，请直接写出线段BN的长．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣4＝0，则这个方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣4＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝1+16＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
【分析】由题目中二次函数的解析式可直接求得顶点坐标．
解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（3，﹣5），
故选：C．
3．在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题目中给出的图形，可以写出是否轴对称图形，然后根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率．
解：由题意可得，
线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，正六边形是轴对称图形，
设线段、等边三角形、平行四边形和正六边形分别用字母A、B、C、D表示，
树状图如下图所示：
由上可得，一共有12种可能性，其中抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的有6种，
∴抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率是＝，
故选：A．
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．AB∥x轴，已知点C的纵坐标是6，将△ABC绕点A旋转90°得到△ADE，使C恰好落在y轴的负半轴E点处，若点C和点D关于原点成中心对称，则点A的坐标（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣4，1） C．（﹣4，2） D．（﹣3，1）
【分析】根据旋转可得△ABC≌△ADE，设C点坐标为（a，6），根据点C和点D关于原点成中心对称，可得D点坐标为（﹣a，﹣6），得DE＝BC＝a，所以B点坐标为（a，6﹣a），A点坐标为（﹣a，6﹣a），根据AD＝AB列出方程即可求出a的值，进而可得结果．
解：∵△ABC绕点A旋转△ADE，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，BC＝DE，
∵AB∥x轴，
∴CB∥y轴，
设C点坐标为（a，6），
∵点C和点D关于原点成中心对称，
∴D点坐标为（﹣a，﹣6），
∴DE＝BC＝a，
∴B点坐标为（a，6﹣a），
A点坐标为（﹣a，6﹣a），
∴AD＝AB＝6﹣a﹣（﹣6）＝a﹣（﹣a），
∴12﹣a＝2a，
解得a＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，2）．
故选：C．
5．某校早规划设计时，准备在教学楼与综合楼之间，设置一块面积为600平方米的矩形场地作为学校传统文化建设园地，并且长比宽多50米，设该场地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）
A．x（x﹣50）＝600 B．x（x+50）＝600
C．x（50﹣x）＝600 D．2[x+（x+50）]＝600
【分析】首先用x表示出矩形的长，然后根据矩形面积＝长×宽列出方程即可．
解：设该场地的宽为x，则长为x+50；
根据长方形的面积公式可得：x（x+50）＝600．
故选：B．
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴＝，
∴DE＝，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
8．如图，点P（m，1），点Q（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上．过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N．连接OP，OQ，PQ．若四边形OMPN的面积记作S1，△POQ的面积记作S2，则（　　）
A．S1：S2＝2：3 B．S1：S2＝1：1 C．S1：S2＝4：3 D．S1：S2＝5：3
【分析】过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，根据图象上点的坐标特征得到P（4，1），Q（﹣2，﹣2），根据反比例函数系数k的几何意义求得S1＝4，然后根据S2＝S△PQK﹣S△PON﹣S梯形ONKQ求得S2＝3，即可求得S1：S2＝4：3．
解：点P（m，1），点Q（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上．
∴m×1＝﹣2n＝4，
∴m＝4，n＝﹣2，
∴P（4，1），Q（﹣2，﹣2），
∴S1＝4，
作QK⊥PN，交PN的延长线于K，
则PN＝4，ON＝1，PK＝6，KQ＝3，
∴S2＝S△PQK﹣S△PON﹣S梯形ONKQ＝﹣﹣（1+3）×2＝3，
∴S1：S2＝4：3，
故选：C．
9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【分析】首先根据系数判定函数的图象在二、四象限，再根据x1＜0＜x2，可比较出y1、y2的大小，进而得到答案．
解：由反比例函数y＝﹣可知函数的图象在二、四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A（x1，y1）在第二象限y1＞0，B（x2，y2）在第四象限，y2＜0，
∴y2＜0＜y1
故选：B．
10．如图①，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C，图②是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（　　）
A．2cm B．cm C．1cm D．3cm
【分析】如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G，证明△ACE为等边三角形，根据y的最大值求得△ACE的边长，再在直角三角形ABG中用三角函数求得AB的长即可．
解：如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G
由正六边形的对称性可得BE⊥AC，易证△ABC≌△CDE≌△AFE（SAS）
∴△ACE为等边三角形，GE为AC边上的高线
∵动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动
∴当点P运动到点E时△ACP的面积y取最大值
设AG＝CG＝a（cm），则AC＝AE＝CE＝2a（cm），GE＝a（cm）
∴2a×a÷2＝（cm）
∴a2＝3
∴a＝（cm）或a＝﹣（舍）
∵正六边形的每个内角均为120°
∴∠ABG＝×120°＝60°
∴在Rt△ABG中，＝sin60°
∴＝
∴AB＝2（cm）
∴正六边形的边长为2cm
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知反比例函数y＝图象位于一、三象限，则m的取值范围是　m＜6　．
【分析】由题意得，反比例函数经过一、三象限，则﹣m+6＞0，求出m的取值范围即可．
解：∵反比例函数y＝图象位于一、三象限，
∴﹣（m﹣6）＞0，
解得 m＜6．
故答案是：m＜6．
12．抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴方程为 　x＝2　．
【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解．
解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
故答案为：x＝2．
13．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是　　．
【分析】在网格中找点A、B、D（如图），作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心，故OA即为此圆的半径，根据勾股定理求出OA的长即可．
解：如图所示，如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．
连接OA、OB，
∵OC⊥AB，
∵AC＝1，OC＝2，
∴OA＝＝＝．
故答案为：．
14．如图，P是半圆外一点，PC，PD是⊙O的切线，C、D为切点，过C，D分别作直径AB的垂线，垂足为E，F，若＝＝，直径AB＝10cm，则图中阴影部分的面积是　12.5　cm2．
【分析】连接半径OD、OC，先根据＝＝，可知D、C将半圆4等分，可知对应扇形的圆心角，证明四边形PDOC是正方形，利用图中阴影部分的面积＝S正方形PDOC﹣S扇形ODC+2（S扇形ODA﹣S△ODF）代入可得结论．
解：连接OD、OC，
∵PC，PD是⊙O的切线，
∴∠PDO＝∠PCO＝90°，PC＝PD，
∵＝＝，P是半圆外一点，
∴∠DOC＝90°，∠DOF＝∠COE＝45°，
∴四边形PDOC是正方形，
∵DF⊥AB，CE⊥AB，
∴△DFO和△CEO是等腰直角三角形，
∵直径AB＝10，
∴OD＝OC＝5，
∴OE＝OF＝，
∴图中阴影部分的面积＝S正方形PDOC﹣S扇形ODC+2（S扇形ODA﹣S△ODF）＝5×5﹣+2（﹣）＝25﹣+﹣＝12.5cm2．
故答案为：12.5．
15．如图，在4×5的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，C，B三点都在格点上，线段AC与交于D，则图中的长度为 　π　．（结果保留π）
【分析】连接BD，由题意可得，∠ABC＝90°，AB＝BC＝＝，推出所对的圆心角的度数和圆的半径，根据弧长公式即可得到结论．
解：连接BD，
由题意可得，∠ABC＝90°，AB＝BC＝＝，
∴∠BAD＝45°，
∴所对的圆心角是90°，所在圆的半径是，
∴的长度为＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1．使它与△ABC位似，且相似比为2：1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．
【分析】（1）利用网格和位似的性质画出△A1B1C1，再写出点A1的坐标即可，
（2）利用网格和旋转的性质画出△A2B2C2，先利用勾股定理求出OA的长，再根据弧长公式即可求得答案．
解：（1）如图所示：点A1的坐标为（﹣2，﹣4）；
（2）如图所示：
由勾股定理得OA＝＝，
点A到点A2所经过的路径长为＝．
17．学校决定每班选取4名同学参加12.2全国交通安全日“细节关乎生命安全文明出行”主题活动启动仪式，班主任决定从4名同学（小明、小山、小月、小玉）中通过抽签的方式确定2名同学去参加该活动．
抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．
（1）“小刚被抽中”是　不可能　事件，“小明被抽中”是　随机　事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中是小玉的概率是　　；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率．
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
解：（1）该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小明被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小玉被抽中”的概率为，
故答案为：不可能、随机、
（2）根据题意可列表如下：（A表示小明，B表示小山，C表示小月，D表示小玉）
A B C D
A ﹣﹣﹣ （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） ﹣﹣﹣ （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） ﹣﹣﹣ （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） ﹣﹣﹣
由表可知，共有12种等可能结果，其中小月被抽中的有6种结果，
所以小月被选中的概率＝＝．
18．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：△AEF∽△ABD；
（2）填空：
①若BC＝8，AC＝5，则EF＝　1.5　；
②若四边形BDFE的面积为6，则△ABD的面积为　8　．
【分析】（1）首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到点F是AD的中点，然后得到EF是△ABD的中位线，进而可证明△AEF∽△ABD；
（2）①因为EF是△ABD的中位线，所以BD＝2EF，求出BD的长即可得到EF的长；②根据（1）证得的平行可以判定△AEF∽ABD，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求的△ABD的面积．
【解答】17．（1）证明：
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
又∵DC＝AC，
∴CF是△ACD的中线，
∴点F是AD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD；
（2）①∵EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD，
∵BC＝8，AC＝5，DC＝AC，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∴EF＝1.5，
故答案为1.5；
②∵△AEF∽△ABD，
∴S△AEF：S△ABD＝1：4，
∴S△AEF：S四边形BDFE＝1：3，
∵四边形BDFE的面积为6，
∴S△AEF＝2，
∴S△ABD＝S△AEF+S四边形BDFE＝2+6＝8，
故答案为：8．
19．如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y＝（0＜k＜15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）直接写出阴影部分面积之和．
【分析】（1）根据点A和点E的坐标求得直线AE的解析式，然后设出点D的纵坐标，代入直线AE的解析式即可求得点D的坐标，从而求得k值；
（2）根据中心对称的性质得到阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积即可．
解：（1）∵A（3，5）、E（﹣2，0），
∴设直线AE的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线AE的解析式为y＝x+2，
∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，
∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），
∵CD∥y轴，
∴设点D的坐标为（﹣3，a），
∴a＝﹣3+2＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），
∵反比例函数y＝（0＜k＜15）的图象经过点D，
∴k＝﹣3×（﹣1）＝3；
（2）如图：
∵点A和点C关于原点对称，
∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，
∴S阴影＝4×3＝12．
20．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；
信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价；
（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各600件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售120件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1200元？
【分析】（1）设甲商品的零售单价为x元，乙商品的零售单价为y元，由“甲、乙两种商品的进货单价之和是3元，按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元”列出方程组，可求解；
（2）由“商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1200元”列出方程可求解．
解：（1）设甲商品的零售单价为x元，乙商品的零售单价为y元，
由题意可得：，
解得：，
答：甲商品的零售单价为2元，乙商品的零售单价为3元，
（2）由题意可得：甲的进货单价＝2﹣1＝1（元），乙商品进货单价＝＝2（元），
则（2﹣1﹣m）（600+×120）+（3﹣2）×600＝1200，
解得：m＝0（不合题意舍去），m＝0.5，
答：当m为0.5时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1200元．
21．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN长度的最大值．
【分析】（1）根据二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），可以求得该函数的函数解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C的坐标，从而可以求得直线AC的解析式，再根据点P的坐标，即可写出点M和点N的坐标，然后即可表示出线段MN，再根据二次函数的性质，即可得到段MN长度的最大值．
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），
∴，
解得，
即这个二次函数的表达式是y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
即点C的坐标为（0，﹣3），
设直线AC的函数表达式为y＝kx+a，
，
解得，
即直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，
∵点P的坐标为（m，0），
∴点M的坐标为（m，﹣m﹣3），点N的坐标为（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，MN取得最大值，此时MN＝，
即线段MN长度的最大值是．
22．如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．
（1）求证：直线BG与⊙O相切；
（2）若＝，求的值．
【分析】（1）连接OB，由直径所对的圆周角是直角得∠CBD＝90°，进而证明∠D+∠CBO＝90°，再由已知∠A＝∠CBG，根据圆周勾股定理得∠OBG＝90°，便可得结论；
（2）证明△BEF∽△COH，由相似三角形的性质便可求得结果．
解：（1）连接OB，如图，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠D+∠BCD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠D+∠OBC＝90°，
∵∠D＝∠BAC，∠BAC＝∠CBG，
∴∠CBG+∠OBC＝90°，
即∠OBG＝90°，
∴直线BG与⊙O相切；
（2）∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴∠COH＝∠COA，CH＝，
∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠EBF＝∠COH，
∵EF⊥BC，OH⊥AC，
∴∠BEF＝∠OHC＝90°，
∴△BEF∽△COH，
∴，
∵＝，OC＝OD，
∴，
∵CH＝AC，
∴，
23．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＝ON），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；
（2）若将△MON绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2＝2ON2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，请直接写出线段BN的长．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可．
（2）②连接AM，证明AM＝BN，∠MAN＝90°，利用勾股定理解决问题即可．
②分两种情形分别画出图形求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∵AO＝BO，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS）．
（2）①证明：如图2中，连接AM．
同法可证△AOM≌△BON，
∴AM＝BN，∠OAM＝∠B＝45°，
∵∠OAB＝∠B＝45°，
∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°，
∴MN2＝AN2+AM2，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2，
∴NB2+AN2＝2ON2．
②如图3﹣1中，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H．
∵△AOM≌△BON，
∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN，
∵∠AJN＝∠BJO，
∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，
∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，
∴MN＝3，MH＝HN＝OH＝，
∴AH＝＝＝，
∴BN＝AM＝MH+AH＝．
如图3﹣2中，同法可证AM＝BN＝．

展开更多......

收起↑