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《§1.5.2正弦函数的图象与性质再认识》
导学案 （学生版）
聚焦知识目标
1.能正确使用“五点法”、“图象变换法”画出余弦函数的简图．(重点)．
2．掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期，单调区间和最值．(难点)
数学素养
1.通过画余弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．通过余弦函数的性质的应用，培养数学运算素养.
引入新课
. 某港口的水深y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,根据有关数据描出曲线,经拟合,该曲线可近似地看作函数y=cos t的图象.你能类比正弦函数的性质,总结出余弦函数的相关性质吗
余弦函数的图像
在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0，，，…，2π列表
利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y=cosx性质的了解，用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到区间[0，2π]上y=cosx的图象
由周期性可知，函数y=cosx在区间[2kπ，2(k+1)π]，k∈Z，k=0上与在区间[0，2π]上的函数图象形状完全相同，只是位置不同.将函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y=cosx，x∈R的图象.余弦函数y=cosx，x∈R的图象称作 .
思考：1.如何由y＝sin x，x∈R的图象得到y＝cos x，x∈R的图象？
解：
思考2．函数y＝cos x，x∈R的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x) 的图象，则g(x)的解析式为(　　 )
A．－sin x　　　　　 B．sin x C．－cos x D．cos x
解：
例1.画出函数y=cos(x-π)在一个周期上的图象.
解：
例2画出函数y＝1－cos x，x∈[0,2π]的图象．
解：
解后心得
1．画余弦函数的图象，与画正弦函数图象的方法一样，关键要确定五个关键点．这五个点的坐标是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．形如y＝acos x＋b，x∈的函数，也可由五点法画图象．
练习：用“五点法”画出y＝3＋2cos x，x∈[0，2π]的图象．
解：
余弦函数性质的再认识
类比对正弦函数性质再认识的学习方式，通过观察图得到余弦函数y=cos x在x∈R上的主要性质.
定义域
余弦函数的定义域是 .
周期性
由于余弦函数y=cosx的图象是由正弦曲线y=sinx向左平移个单位长度得到的.可以证明，余弦函数是周期函数，它的最小正周期是 .
因此，为了研究问题方便，通常选取区间 讨论其性质，然后延拓到它的定义域R上.
单调性
当x由一π增大到0时，cosx的值由―1增大到1；当x由0增大到π时，cosx的值由1减小到-1.因此，余弦函数在区间[一π，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减.由余弦函数的周期性可知，余弦函数在区间 上都单调递增，在区间 上都单调递减.
练习：使y=sin x和y=cos x均为减函数的一个区间是(　　)
解：
最值
当x= 时，余弦函数取得最大值1；当 时，余弦函数取得最小值，余弦函数的值域是 .
解：
奇偶性
余弦函数的图象关于 对称。
由诱导公式cos(一x)=cosx可知，余弦函数是 函数.
例3.画出函数y=cosx-1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质。
解：
由函数y=cosx-1的图象得到它的主要性质
解：
学习与反思
1.观察余弦曲线，写出满足cos x<0的x的取值范围
解：
2.画出下列函数的图象，并根据图象讨论函数的性质：
(1)y=2cosx,x∈R;(2)y=-cos.
解：
3.函数y=1+cosx在区间_______上单调递增，在区间____上单调递减；当x=__时，y取最大值__；当x=_时，y取最小值__.
4.函数y=3cos-1，x∈[一π，π]，在区间___单调递增.在区间____上单调递减；当x=______时，y取最大值_；当x=_时，y取最小值_.《§1.5.2正弦函数的图象与性质再认识》
导学案 （教师版）
聚焦知识目标
1.能正确使用“五点法”、“图象变换法”画出余弦函数的简图．(重点)．
2．掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期，单调区间和最值．(难点)
数学素养
1.通过画余弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．通过余弦函数的性质的应用，培养数学运算素养.
引入新课
. 某港口的水深y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,根据有关数据描出曲线,经拟合,该曲线可近似地看作函数y=cos t的图象.你能类比正弦函数的性质,总结出余弦函数的相关性质吗
余弦函数的图像
在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0，，，…，2π列表
利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y=cosx性质的了解，用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到区间[0，2π]上y=cosx的图象
由周期性可知，函数y=cosx在区间[2kπ，2(k+1)π]，k∈Z，k=0上与在区间[0，2π]上的函数图象形状完全相同，只是位置不同.将函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y=cosx，x∈R的图象.余弦函数y=cosx，x∈R的图象称作余弦曲线.
思考：1.如何由y＝sin x，x∈R的图象得到y＝cos x，x∈R的图象？
只需将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位即可得到y＝cos x，x∈R的图象。
为了得到y=sinx和 之间的平移量，通常只需理清函数y=sinx上的点(0，0)平移到什么位置.因此，令 得到 即点(0，0)平移到点 这就说明正弦函数y=sinx图象上的所有点向左平移y个单位长度，即可得到余弦函数y=cos x的图象.
思考2．函数y＝cos x，x∈R的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x) 的图象，则g(x)的解析式为(　　 )
A．－sin x　　　　　 B．sin x C．－cos x D．cos x
A　[依题意知，g＝cos＝－sin x，故选A．]
例1.画出函数y=cos(x-π)在一个周期上的图象.
解:按五个关键点列表
于是得到函数y=cos(x-π)在区间[π，3π]上的五个关键点为
描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y=cos(x-π)在一个周期图象
例2画出函数y＝1－cos x，x∈[0,2π]的图象．
解后心得
1．画余弦函数的图象，与画正弦函数图象的方法一样，关键要确定五个关键点．这五个点的坐标是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．形如y＝acos x＋b，x∈的函数，也可由五点法画图象．
练习：用“五点法”画出y＝3＋2cos x，x∈[0，2π]的图象．
余弦函数性质的再认识
类比对正弦函数性质再认识的学习方式，通过观察图得到余弦函数y=cos x在x∈R上的主要性质.
定义域
余弦函数的定义域是R.
周期性
由于余弦函数y=cosx的图象是由正弦曲线y=sinx向左平移个单位长度得到的.可以证明，余弦函数是周期函数，它的最小正周期是2π.
因此，为了研究问题方便，通常选取区间[0，2π]讨论其性质，然后延拓到它的定义域R上.
单调性
当x由一π增大到0时，cosx的值由―1增大到1；当x由0增大到π时，cosx的值由1减小到-1.因此，余弦函数在区间[一π，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减.由余弦函数的周期性可知，余弦函数在区间[(2k-1)π，2kπ]，k∈Z上都单调递增，在区间[2kπ，(2k+1)π]，k∈Z上都单调递减.
练习：使y=sin x和y=cos x均为减函数的一个区间是(　　)
最值
当x=2kx，k∈Z时，余弦函数取得最大值1；当x=(2k+1)π，k∈Z时，余弦函数取得最小值，余弦函数的值域是[-1，1].
奇偶性
余弦函数的图象关于y轴对称。
由诱导公式cos(一x)=cosx可知，余弦函数是偶函数.
例3.画出函数y=cosx-1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质。
解：函数y=cosx的最小正周期是2π，按五个关键点列表
于是得到函数y=cosx-1在区间[0，2π]上的五个关键点为
描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数 在区间[0，2π]上的图象
由函数y=cosx-1的图象得到它的主要性质
学习与反思
1.观察余弦曲线，写出满足cos x<0的x的取值范围
2.画出下列函数的图象，并根据图象讨论函数的性质：
(1)y=2cosx,x∈R;(2)y=-cos.
3.函数y=1+cosx在区间_______上单调递增，在区间____上单调递减；当x=__时，y取最大值__；当x=_时，y取最小值__.
4.函数y=3cos-1，x∈[一π，π]，在区间___单调递增.在区间____上单调递减；当x=______时，y取最大值_；当x=_时，y取最小值_.

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