资源简介 《1.5.2 余弦函数图象与性质再认识》《专题课:余弦函数相关函数的值域求法》导学案 教师版聚焦知识目标1.能用余弦函数的图象求值域.2.能用换元法求复杂余弦函数相关函数的值域数学素养1.通过画余弦函数的图象,培养直观想象素养.2.通过余弦函数性质的应用,培养数学运算素养.环节一 y=acosx+b例1.函数 的最小值、最大值分别为() A.0.1 B.-1.1解析由 的图象(如图)可知,当 时 有最大值;当x=π时y=cosx有最小值-1.故选D例2.设M和m分别是函数y= cos x-1的最大值和最小值,则M+m= . 提示主体是余弦,结合不等运算得整体函数值域解析(1)因为cos x∈[-1,1], 所以M=×1-1=-,m=×(-1)-1=-,所以M+m=-练习:函数y=2+cos x取最大值时,x的取值的集合为答案:{x|x=2kπ,k∈Z}练习:使函数y=3-2cos x取得最小值时的x的集合为( )A.{x|x=2kπ+π,k∈Z}B.{x|x=2kπ,k∈Z}C.{x|x=2kπ+ ,k∈Z}D.{x|x=2kπ- ,k∈Z}【解析】选B.使函数y=3-2cos x取得最小值时的x的集合,就是使函数y=cos x取得最大值时的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z}.例3.y=acos x+b的最大值是3,最小值是-1,求a和b.提示a的符号不定,分类讨论【解析】①a>0时 a=2,b=1;②a<0时 a=-2,b=1.综合①②得a=2,b=1或a=-2,b=1.例4.求作函数y=-2cos x+3在一个周期内的图象,并求函数的最大值及取得最大值时x的值.描点、连线得出函数y=-2cos x+3在一个周期内的图象: 由图可得,当x=2kπ+π,k∈Z时函数取得最大值,ymax=5.环节二 y=ax+bcosx+c考向一 不限角例1.函数y=cos2x-4cos x+5的值域为 . 提示换元法,化为二次函数令t=cos x,则-1≤t≤1.所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,所以t=-1时,y取得最大值10,t=1时,y取得最小值2.所以y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].例2.求函数y=1-cos2x+4cos x的值域.y=1-cos 2x+4cos x=-(cos x-2)2+5,当cos x=-1,x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-4,当cos x=1,x=2kπ(k∈Z)时,ymax=4.所以函数的值域为[-4,4].环节二 y=ax+bcosx+c考向二 限角例3.设 求函数y=4x-12cosx-1的最大值与最小值.【解析】设t=cosx,由于所以t=1, 因为t∈[-],函数单调递减,所以当 即 时y有最大值6;当t=1即x=0时y有最小值-9.例4.已知函数 而且函数f(x)的最大值为1,最小值为-5,求a,b.提示换元为二次型 分类讨论解: 由 知,cosx∈[0,1].t=cosx∈[0,1]解后心得反思感悟 求余弦函数值域的常用方法(1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.(2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.环节二 y=例1..求函数y=的值域;提示换元 分离常数 数形结合t=cosx∈[-1,1)y=例2. 求函数 的值域.t=cosx∈[-1,1] y=[解后心得对于 的形式,采用分离常数法(配合换元法)或反解出cos x,再利用余弦函数的有界性求解.本课件重点推荐第一方案。(2)因为f(x)=,所以在图①基础上再作直线y=,如图②所示,则当-π≤x<0时,由图象知x=-,当0≤x≤π时,由图象知x=或x=.练习环节二 利用图象研究交点问题考点二 求交点个数例1.从函数y=cos x,x∈[0,2π)的图象来看,对于cos x=- 的x有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【提示】选C.画出函数y=cos x,x∈[0,2π)的简图,作直线y=- ,可得有两个交点.解设f(x)=,g(x)=cos x,在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象,如图所示.由图可知,f(x)与g(x)的图象有三个交点,故方程-cos x=0有三个根.例3.函数y=x2-cos x的零点个数为________. 【提示】在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos x的图象,如图所示,则两个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cos x的零点有两个.例4.方程2x=cos x的解的个数为画出y=2x和y=cos x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点个数例5.方程cos x=lgx的实根的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.无数个【提示】在同一坐标系中作函数y=cos x与y=lgx的图象,如图显然两图象.环节二 利用图象研究交点问题考点三 由交点个数求参利用图象的对称性※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※《1.5.2 余弦函数图象与性质再认识》《专题课:余弦函数相关函数的值域求法》导学案 学生版聚焦知识目标1.能用余弦函数的图象求值域.2.能用换元法求复杂余弦函数相关函数的值域数学素养1.通过画余弦函数的图象,培养直观想象素养.2.通过余弦函数性质的应用,培养数学运算素养.环节一 y=acosx+b例1.函数 的最小值、最大值分别为() A.0.1 B.-1.1解:例2.设M和m分别是函数y= cos x-1的最大值和最小值,则M+m= . 提示主体是余弦,结合不等运算得整体函数值域解:练习:函数y=2+cos x取最大值时,x的取值的集合为解:练习:使函数y=3-2cos x取得最小值时的x的集合为( )A.{x|x=2kπ+π,k∈Z}B.{x|x=2kπ,k∈Z}C.{x|x=2kπ+ ,k∈Z}D.{x|x=2kπ- ,k∈Z}解:例3.y=acos x+b的最大值是3,最小值是-1,求a和b.提示a的符号不定,分类讨论解:例4.求作函数y=-2cos x+3在一个周期内的图象,并求函数的最大值及取得最大值时x的值.解:环节二 y=ax+bcosx+c考向一 不限角例1.函数y=cos2x-4cos x+5的值域为 . 提示换元法,化为二次函数解:例2.求函数y=1-cos2x+4cos x的值域.解:环节二 y=ax+bcosx+c考向二 限角例3.设 求函数y=4x-12cosx-1的最大值与最小值.解:例4.已知函数 而且函数f(x)的最大值为1,最小值为-5,求a,b.提示换元为二次型 分类讨论解:解后心得反思感悟 求余弦函数值域的常用方法(1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.(2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.环节三 y=例1..求函数y=的值域;提示换元 分离常数 数形结合解:例2. 求函数 的值域.解:解后心得对于 的形式,采用分离常数法(配合换元法)或反解出cos x,再利用余弦函数的有界性求解.本课件重点推荐第一方案。(2)因为f(x)=,所以在图①基础上再作直线y=,如图②所示,则当-π≤x<0时,由图象知x=-,当0≤x≤π时,由图象知x=或x=.练习环节二 利用图象研究交点问题考点二 求交点个数例1.从函数y=cos x,x∈[0,2π)的图象来看,对于cos x=- 的x有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【提示】选C.画出函数y=cos x,x∈[0,2π)的简图,作直线y=- ,可得有两个交点.解设f(x)=,g(x)=cos x,在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象,如图所示.由图可知,f(x)与g(x)的图象有三个交点,故方程-cos x=0有三个根.例3.函数y=x2-cos x的零点个数为________. 【提示】在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos x的图象,如图所示,则两个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cos x的零点有两个.例4.方程2x=cos x的解的个数为画出y=2x和y=cos x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点个数例5.方程cos x=lgx的实根的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.无数个【提示】在同一坐标系中作函数y=cos x与y=lgx的图象,如图显然两图象.环节二 利用图象研究交点问题考点三 由交点个数求参利用图象的对称性※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 《1.5.2余弦函数图象与性质再认识 (专题课:余弦函数相关函数的值域求法)学生版导学案-2021-2022学年高一下学期数学 北师大版(2019)必修第二册》.docx 《1.5.2余弦函数图象与性质再认识 (专题课:余弦函数相关函数的值域求法)教师版导学案-2021-2022学年高一下学期数学 北师大版(2019)必修第二册》.docx