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高三周练1
1．（2021·浙江·模拟预测）已知是虚数单位，若复数，则（ ）
A．-0.5 B． C．0.5 D．
【答案】D【解析】由题意可知，，，
故，，
所以，
2．（2022·浙江·模拟预测）设，若二项式的展开式中第二项的系数是1，则二项式的展开式中第三项的系数是（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】C【解析】由二项式的展开式中第二项，
所以，
二项式的展开式中第三项，
所以.
3．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知随机变量X的分布列是：
若，则（ ）A． B． C． D．
【答案】C【解析】由已知可得，解得，
因此，.
4．（2022·浙江·高三专题练习）设X为随机变量，，若随机变量X的期望为4，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题知，解得，所以，
5．（2017·浙江·模拟预测）已知平面，直线、，若，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D【解析】若，且，则或，即“”“”；
若，且，则或、异面，则“”“”.
因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.
6．（2021·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知（为虚数单位），则复数的模为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】C【解析】，所以，故，.
7．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C【解析】是纯虚数，则，解得，
8．（2022·浙江·镇海中学高二期末）的展开式中的系数是（ ）
A．1792 B． C．448 D．
【答案】D的展开式中，含的项为.
所以的系数是.
9．（2022·浙江·模拟预测）已知，（为虚数单位）是纯虚数，则a，b应满足（ ）
A．b=-2a B．b=a C．ab=1 D．ab=0
【答案】A【解析】，
因为（为虚数单位）是纯虚数，所以，且b-2a≠0，解得：b=-2a.
10．（2021·浙江·模拟预测）已知复数满足（是虚数单位）,则复数的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】由已知可得，因此，.
11．（2021·浙江·模拟预测）如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为______.
【答案】
【解析】由三视图易知该几何体是一个棱长为4的正方体左、右两侧分别放置一个底面半径为2，
母线长为2的圆柱，则此几何体的体积.
12．（2021·浙江·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．
【答案】【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体为一个长方体与一个三棱锥的组合体，
长方体的体积为：，
三棱锥的体积为：，故该几何体的体积为．
13．（2021·浙江·模拟预测）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．
【答案】解析如图，根据三视图绘出原图：
结合三视图易知，三棱锥的高为，底面是两直角边的长分别为、的直角三角形，
则该几何体的体积，
14．（2021·浙江·模拟预测）已知某几何体的三视图如图所示（单位：），其中正视图中含两段圆弧，则该几何体的体积是______．
【答案】1【解析】【详解】
由三视图可知该几何体是“放倒”了的柱体，如下图所示几何体，
即棱柱去掉左下、右上两部分形成的几何体，应用割补法，该几何体可组成一个棱长为1的正方体，故该几何体的体积（）．
15．（2022·浙江·模拟预测）已知，则___，___．
【答案】 ## ##0.8
【解析】
16．（2022·浙江上虞·高三期末）在的展开式中，若，则含项的系数是____________；若常数项是24，则____________．
【答案】 -80 4【详解】
时，的展开式的通项公式为：
，其中 ，
令 ，则 ，故 ，
即含项的系数是 ；
的展开式的通项公式为，
其中，
令，则 ，
由常数项为24可得： ，解得n=4，
17．（2022·浙江绍兴·高三期末）袋子中有3个白球，2个红球，现从中有放回地随机取2个球，每次取1个，且各次取球间相互独立.设此过程中取到的红球个数为，则__________，__________.
【答案】 【解析】有放回地取球，每次取一球，则每次取到红球的概率为
在此过程中取到的红球个数为，的取值为0,1,2.
则，则
18．（2022·浙江上虞·高三期末）已知随机变量的分布列如下：且，则实数____________，若随机变量，则____________．
2 3 4
【答案】 ##
【解析】由题意得，解得，
所以，
所以，
19．（2021·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，若角的终边在直线上，则=________，________．
【答案】 1 0【解析】可设角的终边上的点为，
则，
.
20．（2021·浙江·模拟预测）已知，且，则___________，____________.
【答案】
【解析】【详解】
，
又，，
.
21．（2022·浙江温州·高三开学考试）二项式的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则__________，含的项的系数是__________.
【答案】
【解析】【详解】二项式的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中共有项，
则，可得，
的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中含的项的系数是.
22．（2022·浙江·模拟预测）二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第___项，常数项是___．
【答案】
【解析】因为二项式的展开式共有项，所以二项式系数最大为，所以二项式系数最大的项是第项；二项式的展开式的通项公式为，令，所以常数项为.
23．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知，.若，则_________；_________.
【答案】 2 40
【解析】【详解】∵
令，得，
，
∴，
所以含项系数为.
24．（2022·浙江·模拟预测）在二项式的展开式中，常数项是___，系数最大的项是___．
【答案】 【解析】，
因此，展开式中的常数项是，系数最大的项为.
25．（2022·浙江·高三期末）已知二项式的展开式中，第4项的系数为-32，则n=___________，常数项为___________.
【答案】 4； 24.【详解】
由二项式展开式的通项公式，
得二项式的通项公式为，
所以，
则，得，
即，
所以的常数项为.
26．（2022·浙江绍兴·高三期末）在的展开式中，常数项为__________，的系数是__________.
【答案】 【详解】
∵，
∴展开式中的常数项为，的系数是.
27．（2021·浙江·高三开学考试）从装有除颜色外完全相同的个白球和4个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为，若，则___________，___________.
【答案】 2
【解析】【详解】由题意，，
因为，所以，解得，
所以.
28．（2022·浙江·高三专题练习）袋中装有大小相同的个红球和个黄球，小明无放回地连续摸取次，每次从中摸取个．记摸到红球的个数为，则______，______
【答案】
【解析】【详解】随机变量的可能取值有、，则，，
所以，.
29．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球，袋内有大小相同的1个红球和2个白球.现从 两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为___________.记取出的4个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为___________.
【答案】
【解析】【详解】恰好有1个红球的概率，
取出的4个球中红球的个数的可能取值为：，
，
，
，
分布列如下表：
期望，
故答案为：，.
30．（2021·浙江·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1)若1+2cosAcosB＝2sinAsinB，求角C；
(2)若，求角C．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)若1+2cosAcosB＝2sinAsinB，
则cosAcosB﹣sinAsinB＝，即故，
即,
所以，由 ，故
(2)若，显然，
所以，
又由tanA≠0得到tanC＝﹣1，，故．
31．（2021·浙江·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】【小问1详解】解：，，
或，
又是锐角三角形 ，；
【小问2详解】解：由（1）可知，
，
是锐角三角形，，
，
，即.
32．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）设，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，
由，解得，
因此，函数的单调递增区间为；
（2），可得，
因为，则，所以，，
因此，.
33．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数的部分图象如图所示，图象与轴交于点．
(1)求函数的最小正周期及，的值；
(2)已知，，求的值，
【答案】(1)最小正周期， ，
(2)
【解析】(1)的最小正周期，
∵为最大值，则，，
而，故取，
∵函数图象过，∴，
(2)，
∵，∴，∴，∴，
∴.
34．（2022·浙江·高三期末）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)已知，若函数在区间[0，]上恰好有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
由可得，
即函数的单调递增区间为
(2)，，令
函数在区间[0，]上恰好有两个零点
函数与只有两个交点
由图象可知，
35．（2022·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形．其中，且．
(1)证明：；(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)由题设，，即△为等边三角形，若为中点，连接，
所以，又且底面ABCD是菱形，即，
则，故，即，
又，可得面，又面，则，
由，则.
(2)若，由知：，
由（1）结论知：，而，
所以，在面上过作，又面，面，则，，构建如下图示的空间直角坐标系，
则，故，，，
若是面的法向量，则，令，则，
若是面的法向量，则，令，则，
所以，故钝二面角的余弦值为.
36．（2021·浙江·海亮高级中学模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形.平面，，当分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若且，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：，为中点，，
四边形为矩形，，
又平面平面，，
又平面，
平面，平面，，
分别的中点，，
又平面，
平面；
(2)显然两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示坐标系，
，，
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
则，，
由题意得，，解得，
，
设直线与平面所成的角为，
则.
37．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）设函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：函数，
所以．
故函数的最小正周期；
(2)解：由于，所以，
所以
即；
由于，所以，所以，
故，
当，即时，函数取得最小值为．
38．（2022·浙江·模拟预测）已知函数.
(1)求f（x）的最小正周期和在的单调递增区间；
(2)已知，先化简后计算求值：
【答案】(1)(2)1
【解(1)
，即，
所以最小正周期为,
当，时，函数单调递增，
即函数单调递增区间为，
所以f（x）在的单调递增区间.
(2)
已知，，即，
，所以，解得：.
所以
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