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P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
P(B2)＞P(B1)，故乙应选择 L2.
第五节 古典概型与几何概型
一、基础知识
1.古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等
可能性.
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为 A；
②分别计算基本事件的总数 n 和所求的事件 A 所包含的基本事件个数 m；
m
③利用古典概型的概率公式 P(A)＝ ，求出事件 A 的概率.
n
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
名称 不同点 相同点
频率计 频率计算中的 m，n 均随随机试验的变化而变化，但随着
算公式 试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值
m
都计算了一个比值
m n
古典概型的 是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n 都不
n
概率计算公式
会变化
2.几何概型
(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则
称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
(2)几何概型的基本特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等.
(3)计算公式：
构成事件A的区域长度(面积或体积)
P(A)＝ .
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
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几何概型应用中的关注点
(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.
(2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.
考点一 古典概型
[典例精析](1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界
领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30＝7＋23.
在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( )
1 1
A. B.
12 14
1 1
C. D.
15 18
(2)(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为 a 和 b，则方
程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解的概率是( )
7 1
A. B.
36 2
19 5
C. D.
36 18
[解析] (1)不超过 30 的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个，随机选取两个
不同的数，共有 C210＝45 种情况，而和为 30 的有 7＋23,11＋19,13＋17 这 3 种情况，所以所
3 1
求概率 P＝ ＝ .
45 15
1≤a≤6，a∈N
*，
(2)投掷骰子两次，所得的点数 a 和 b 满足的关系为 所以 a 和 b 的 1≤b≤6，b∈N*，
组合有 36 种.
若方程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解，
则 Δ＝b2－4a≥0，所以 b2≥4a.
当 b＝1 时，没有 a 符合条件；当 b＝2 时，a 可取 1；当 b＝3 时，a 可取 1,2；当 b＝4
时，a 可取 1,2,3,4；当 b＝5 时，a 可取 1,2,3,4,5,6；当 b＝6 时，a 可取 1,2,3,4,5,6.
19
满足条件的组合有 19 种，则方程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解的概率 P＝ .
36
[答案] (1)C (2)C
[题组训练]
1.(2019·益阳、湘潭调研)已知 a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为
减函数的概率是( )
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3 3
A. B.
10 5
2 1
C. D.
5 5
解析：选 C 若函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数，则 a2－2＜0，又 a∈{－2,0,1,2,3}，
故只有 a＝0，a＝1 满足题意，又 b∈{3,5}，所以函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数的概率是
2×2 2
＝ .
5×2 5
2.从分别标有 1,2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到
的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
5 4
A. B.
18 9
5 7
C. D.
9 9
5×4×2 5
解析：选 C 由题意得，所求概率 P＝ ＝ .
9×8 9
3.将 A，B，C，D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与 B 相邻且 A 与 C 之
间恰好有 1 名同学”的概率是( )
1 1
A. B.
2 4
1 1
C. D.
6 8
解析：选 B A，B，C，D 4 名同学排成一排有 A44＝24 种排法.当 A，C 之间是 B 时，
4＋2 1
有 2×2＝4 种排法，当 A，C 之间是 D 时，有 2 种排法，所以所求概率 P＝ ＝ .
24 4
考点二 几何概型
类型(一) 与长度有关的几何概型
[例 1] (2019·濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数 m，设 f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数 f(x)
的图象与 x 轴有公共点的概率等于( )
2 7
A. B.
15 15
3 11
C. D.
5 15
[解析] ∵f(x)＝－x2＋mx＋m 的图象与 x 轴有公共点，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4 或
m≥0，∴在 [－6,9]内取一个实数 m，函数 f(x)的图象与 x 轴有公共点的概率 P＝
[－4－(－6)]＋(9－0) 11
＝ ，故选 D.
9－(－6) 15
[答案] D
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类型(二) 与面积有关的几何概型
[例 2] (1)(2018·潍坊模拟)如图，六边形 ABCDEF 是一个正六边形，
若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )
1 1
A. B.
4 3
2 3
C. D.
3 4
(2)(2019·洛阳联考)如图，圆 O：x2＋y2＝π2 内的正弦曲线 y＝sin x 与
x 轴围成的区域记为 M(图中阴影部分)，随机往圆 O 内投一个点 A，则点
A 落在区域 M 内的概率是( )
4 4
A. 2 B. 3 π π
2 2
C. 2 D. π π3
[解析] (1)设正六边形的中心为点 O，BD 与 AC 交于点 G，BC＝1，则 BG＝CG，∠BGC
3
＝120°，在△BCG 中，由余弦定理得 1＝BG2＋BG2－2BG2cos 120°，得 BG＝ ，所以 S
3 △BCG
1 1 3 3 3 3 1
＝ ×BG×BG×sin 120°＝ × × × ＝ ，因为 S
2 2 3 3 2 12 六边形 ABCDEF
＝S△ BOC×6＝2
3 3 6S△BCG 2
×1×1×sin 60°×6＝ ，所以该点恰好在图中阴影部分的概率 P＝1－ ＝ .
2 S六边形ABCDEF 3
(2)由题意知圆 O 的面积为 π3，正弦曲线 y＝sin x，x∈[－π，π]与 x 轴围成的区域记为
M，根据图形的对称性得区域 M 的面积 S＝2∫π0 sin xdx＝－2cos x|π0 ＝4，由几何概型的概
4
率计算公式可得，随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率 P＝ .
π3
[答案] (1)C (2)B
类型(三) 与体积有关的几何概型
[例 3] 已知在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，PA＝AB＝
2
2，现在该四棱锥内部或表面任取一点 O，则四棱锥 O -ABCD 的体积不小于 的概率为
3
________.
2
[解析] 当四棱锥 O -ABCD 的体积为 时，设 O 到平面 ABCD 的距离为
3
1 2 2 1h，则 ×2 ×h＝ ，解得 h＝ .
3 3 2
如图所示，在四棱锥 P-ABCD 内作平面 EFGH 平行于底面 ABCD，且
1
平面 EFGH 与底面 ABCD 的距离为 .
2
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PH 3
因为 PA⊥底面 ABCD，且 PA＝2，所以 ＝ ，
PA 4
又四棱锥 P-ABCD 与四棱锥 P-EFGH 相似，
2 V四棱锥P-EFGH PH 3 27
所以四棱锥 O -ABCD 的体积不小于 的概率 P＝ ＝ 3 PA ＝
3
4 ＝ . 3 V四棱锥P-ABCD 64
27
[答案]
64
类型(四) 与角度有关的几何概型
[例 4] 如图，四边形 ABCD 为矩形，AB＝ 3，BC＝1，以 A 为
圆心，1 为半径作四分之一个圆弧 ，在∠DAB 内任作射线 AP，则
射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为________.
[解析] 连接 AC，如图，
BC 3
因为 tan∠CAB＝ ＝ ，
AB 3
π
所以∠CAB＝ ，满足条件的事件是直线 AP 在∠CAB 内，且 AP 与 AC 相交时，即直线
6
π
∠CAB 6 1
AP 与线段 BC 有公共点，所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率 P＝ ＝ ＝ .
∠DAB π 3
2
1
[答案]
3
[题组训练]
1.(2019·豫东名校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点 M 是
AB 的中点，一只蝴蝶在几何体 ADF-BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体
F-AMCD 内的概率为( )
3 2
A. B.
4 3
1 1
C. D.
3 2
1 1 1
解析：选 D 由题图可知 V 3F-AMCD＝ ×S 四边形 AMCD×DF＝ a ，V 3ADF-BCE＝ a ， 3 4 2
1
a3
4 1
所以它飞入几何体 F-AMCD 内的概率 P＝ ＝ .
1 2
a3
2
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2
2.在区间[0，π]上随机取一个数 x，则事件“sin x＋cos x≥ ”发生的概率为________.
2
2 sin x＋cos x≥ ，
解析：由题意可得 2
0≤x≤π，
sin
π
x＋
1
即 4
≥ ，
2 7π解得 0≤x≤ ，
12
0≤x≤π，
7π
12 7
故所求的概率为 ＝ .
π 12
7
答案：
12
3.(2018·唐山模拟)向圆(x－2)2＋(y－ 3)2＝4 内随机投掷一点，则该点落在 x 轴下方的概
率为________.
解析：如图，连接 CA，CB，依题意，圆心 C 到 x 轴的距离为 3，所
1 2 1
以弦 AB 的长为 2.又圆的半径为 2，所以弓形 ADB 的面积为 × π×2－
2 3 2
2
×2× 3＝ π－ 3，所以向圆(x－2)2＋(y－ 3)2＝4 内随机投掷一点，则该
3
1 3
点落在 x 轴下方的概率 P＝ － .
6 4π
1 3
答案： －
6 4π
[课时跟踪检测]
A 级
1.(2019·衡水联考)2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，
中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚 8 克
圆形金质纪念币，直径 22 mm，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面
积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据
此可估计军旗的面积大约是( )
363π 363π
A. mm2 B. mm2
10 5
726π 2 363πC. mm D. mm2
5 20
解析：选 A 向硬币内投掷 100 次，恰有 30 次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大
30 363π
约是 S＝ ×π×112＝ (mm2).
100 10
2.(2019·漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第 1
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名到第 5 名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，
但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，丙是第一
名的概率是( )
1 1
A. B.
5 3
1 1
C. D.
4 6
解析：选 B 由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊.又因为
所有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等可能事件，所以丙
1
是第一名的概率是 .
3
3.(2019·郑州模拟)现有 5 人参加抽奖活动，每人依次从装有 5 张奖票(其中 3 张为中奖
票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到 3 张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在
第 4 人抽完结束的概率为( )
1 1
A. B.
10 5
3 2
C. D.
10 5
解析：选 C 将 5 张奖票不放回地依次取出共有 A55＝120(种)不同的取法，若活动恰好
在第四次抽奖结束，则前三次共抽到 2 张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有 C2C1A33 2 3
36 3
＝36(种)取法，所以 P＝ ＝ .
120 10
4.(2019·长沙模拟)如图是一个边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色
大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的
半径是黑色小圆半径的 2 倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自
黑色区域的概率为( )
π π
A. B.
8 16
π π
C.1－ D.1－
8 16
解析：选 C 正方形的面积为 82，正方形的内切圆半径为 4，中间黑色大圆的半径为 2，黑
色小圆的半径为 1，所以白色区域的面积为 π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积
82－8π π
为 82－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为 P＝
82
＝1－ .
8
5.(2019·郑州模拟)已知圆 C：x2＋y2＝1，直线 l：y＝k(x＋2)，在[－1,1]上随机选取一个
数 k，则事件“直线 l 与圆 C 相离”发生的概率为( )
1 2－ 2
A. B.
2 2
第 869页/共1004页
3－ 3 2－ 3
C. D.
3 2
解析：选 C 圆 C：x2＋y2＝1 的圆心 C(0,0)，半径 r＝1，圆心到直线 l：y＝k(x＋2)的
|0×k－0＋2k| 2|k| 2|k| 3
距离 d＝ ＝ ，直线 l 与圆 C 相离时 d＞r，即 ＞1，解得 k＜－ 或
k2＋(－1)2 k2＋1 k2＋1 3
3
2× 1－
3 3 3－ 3
k＞ ，故所求的概率 P＝ ＝ .
3 1－(－1) 3
6.从 1～9 这 9 个自然数中任取 7 个不同的数，则这 7 个数的平均数是 5 的概率为
________.
解析：从 1～9 这 9 个自然数中任取 7 个不同的数的取法共有 C79＝36 种，从(1,9)，(2,8)，
4 1
(3,7)，(4,6)中任选 3 组，有 C34＝4 种选法，故这 7 个数的平均数是 5 的概率 P＝ ＝ . 36 9
1
答案：
9
7.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当有两个数字的和
等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如 213,134)，若 a，b，c∈{1,2,3,4}，且 a，b，
c 互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是________.
解析：从 1,2,3,4 中任选 3 个互不相同的数并进行全排列，共组成 A34＝24 个三位数，而
“好数”的三个位置上的数字为 1,2,3 或 1,3,4，所以共组成 2A33＝12 个“好数”，故所求概
12 1
率 P＝ ＝ .
24 2
1
答案：
2
8.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转
化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角
π
坐标系中，圆 O 被函数 y＝3sin x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其
6
中小圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概
率为________.
π 2π
解析：根据题意，大圆的直径为函数 y＝3sin x 的最小正周期 T，又 T＝ ＝12，所以
6 π
6
12
大圆的面积 S＝π· 2 2 ＝36π，一个小圆的面积 S′＝π·1
2＝π，故在大圆内随机取一点，此
2S′ 2π 1
点取自阴影部分的概率 P＝ ＝ ＝ .
S 36π 18
1
答案：
18
第 870页/共1004页
9.(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240,160,160.
现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学
承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率.
解：(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3∶2∶2，由于采用分层抽样
的方法从中抽取 7 名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2
人，2 人.
(2)①从抽取的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，
D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，
{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共
21 种.
②由①，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E，
来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可
能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共 5 种.
5
所以事件 M 发生的概率 P(M)＝ .
21
10.在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位
服务，每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率.
A33 1
解：(1)记“甲、乙两人同时参加 A 岗位服务”为事件 EA，那么 P(EA)＝ 2 ＝ ， C5A44 40
1
即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 .
40
A44 1
(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件 E，那么 P(E)＝
C2 4
＝ ，所以甲、
5A4 10
9
乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E )＝1－P(E)＝ .
10
C2A35 3 1
(3)因为有两人同时参加 A 岗位服务的概率 P2＝ ＝ ，所以仅有一人参加 A 岗位服C25A44 4
3
务的概率 P1＝1－P2＝ . 4
B 级
第 871页/共1004页
1.(2019·太原联考)甲、乙二人约定 7：10 在某处会面，甲在 7：00～7：20 内某一时刻
随机到达，乙在 7：05～7：20 内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙 5 分钟的概率是( )
1 1
A. B.
8 4
3 5
C. D.
8 8
解析：选 C 建立平面直角坐标系如图，x，y 分别表示甲、乙二人
到达的时刻，则坐标系中每个点(x，y)可对应甲、乙二人到达时刻的可能
y－x≥5，

性，则甲至少等待乙 5 分钟应满足的条件是 0≤x≤20， 其构成的区域 5≤y≤20，
1
×15×15
2 3
为如图阴影部分，则所求的概率 P＝ ＝ .
20×15 8
2.(2019·开封模拟)如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个
2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至 B 处，则其
最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )
1 2
A. B.
7 7
3 4
C. D.
7 7
解析：选 B 根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，∴一共要走 3
次向上，2 次向右，2 次向前，共 7 次，∴最近的行走路线共有 A77＝5 040(种).∵不能连续向
上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是 2 次向右和 2 次向前全排列为 A44.接下来，就是
把 3 次向上插到 4 次不向上之间的空当中，5 个位置排 3 个元素，也就是 A35，则最近的行
走路线中不连续向上攀登的路线共有 A4 34A5＝1 440(种)，∴其最近的行走路线中不连续向上
1 440 2
攀登的概率 P＝ ＝ .故选 B.
5 040 7
3.已知等腰直角△ABC 中，∠C＝90°，在∠CAB 内作射线 AM，则使∠CAM＜30°的概
率为________.
解析：如图，在∠CAB 内作射线 AM0，使∠CAM0＝30°，于是有 P(∠CAM
∠CAM0 30 2
＜30°)＝ ＝ ＝ .
∠CAB 45 3
2
答案：
3
―→ ―→ ―→
4.已知 P 是△ABC 所在平面内一点，且 PB ＋ PC ＋2 PA ＝0，现将一粒黄豆随机撒在
△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )
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1 1
A. B.
4 3
1 2
C. D.
2 3
―→ ―→ ―→
解析：选 C 以 PB，PC 为邻边作平行四边形 PBDC，连接 PD 交 BC 于点 O，则 PB ＋ PC ＝ PD .
―→ ―→ ―→
∵ PB ＋ PC ＋2 PA ＝0，
―→ ―→ ―→ ―→ ―→
∴ PB ＋ PC ＝－2 PA ，即 PD ＝－2 PA ，
由此可得，P 是 BC 边上的中线 AO 的中点，点 P 到 BC 的距离等于点 A 到 BC 的距离
1 1 S△PBC
的 ，∴S△PBC＝ S2 2 △ABC，∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率 P＝S△ABC
1
＝ .
2
5.点集 Ω＝{(x，y)|0≤x≤e，0≤y≤e}，A＝{(x，y)|y≥ex，(x，y)∈Ω}，在点集 Ω 中任
取一个元素 a，则 a∈A 的概率为( )
1 1
A. B.
e e2
e－1 e2－1
C. D.
e e2
解析：选 B 如图，根据题意可知 Ω 表示的平面区域为正方形
BCDO，面积为 e2，A 表示的区域为图中阴影部分，面积为∫1 x0 (e－e )dx
1
＝(ex－ex)|10＝(e－e)－(－1)＝1，根据几何概型可知 a∈A 的概率 P＝ 2.e
故选 B.
6.如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三
个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角
边 AB，AC.△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余
部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则
( )
A.p1＝p2 B.p1＝p3
C.p2＝p3 D.p1＝p2＋p3
解析：选 A 不妨设△ABC 为等腰直角三角形，
AB＝AC＝2，则 BC＝2 2，
所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，
1
为 S1＝ ×2×2＝2， 2
π×( 2)2
区域Ⅱ的面积 S 22＝π×1 － －2 ＝2，
2
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π×( 2)2
区域Ⅲ的面积 S3＝ －2＝π－2. 2
根据几何概型的概率计算公式，
2 π－2
得 p1＝p2＝ ，p3＝ ，
π＋2 π＋2
所以 p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选 A.
x2 y2
7.双曲线 C： 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)，其中 a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4}，且 a，b 取到其a b
中每个数都是等可能的，则直线 l：y＝x 与双曲线 C 的左、右支各有一个交点的概率为( )
1 3
A. B.
4 8
1 5
C. D.
2 8
b
解析：选 B 直线 l：y＝x 与双曲线 C 的左、右支各有一个交点，则 ＞1，总基本事件
a
数为 4×4＝16，满足条件的(a，b)的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 个，
3
故概率为 .
8
1
8.在区间[0,1]上随机取两个数 a，b，则函数 f(x)＝x2＋ax＋ b 有零点的概率是________.
4
1
解析：函数 f(x)＝x2＋ax＋ b 有零点，则 Δ＝a2－b ≥0，∴b≤a2，∴函数 f(x)＝x2＋ax
4
1 ∫10a2da 1
＋ b 有零点的概率 P＝ ＝ .
4 1×1 3
1
答案：
3
第六节 离散型随机变量及其分布列
一、基础知识
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X，Y，ξ，η，…表示 .
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个
值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X x1 x2 … xi … xn
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