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π×( 2)2
区域Ⅲ的面积 S3＝ －2＝π－2. 2
根据几何概型的概率计算公式，
2 π－2
得 p1＝p2＝ ，p3＝ ，
π＋2 π＋2
所以 p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选 A.
x2 y2
7.双曲线 C： 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)，其中 a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4}，且 a，b 取到其a b
中每个数都是等可能的，则直线 l：y＝x 与双曲线 C 的左、右支各有一个交点的概率为( )
1 3
A. B.
4 8
1 5
C. D.
2 8
b
解析：选 B 直线 l：y＝x 与双曲线 C 的左、右支各有一个交点，则 ＞1，总基本事件
a
数为 4×4＝16，满足条件的(a，b)的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 个，
3
故概率为 .
8
1
8.在区间[0,1]上随机取两个数 a，b，则函数 f(x)＝x2＋ax＋ b 有零点的概率是________.
4
1
解析：函数 f(x)＝x2＋ax＋ b 有零点，则 Δ＝a2－b ≥0，∴b≤a2，∴函数 f(x)＝x2＋ax
4
1 ∫10a2da 1
＋ b 有零点的概率 P＝ ＝ .
4 1×1 3
1
答案：
3
第六节 离散型随机变量及其分布列
一、基础知识
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X，Y，ξ，η，…表示 .
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个
值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X x1 x2 … xi … xn
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P p1 p2 … pi … pn
此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列.有时也用等式 P(X＝xi)
＝pi，i＝1，2，…，n 表示 X 的分布列.
(2)分布列的性质
n
①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；② pi＝1.
i＝1
3．常见的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布列
X 0 1
P 1－p p
若随机变量X的分布列具有左表的形式，则称X服从两点分布 ，并称p＝P(X＝1)为成功概率.
(2)超几何分布列
－
Ck Cn kM N－M
在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝
Cn
，
N
k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N* .
X 0 1 … m
C0 n
－0 1 n－1 m n－m
MCN－M CMCN－M CMCN－M
P
Cn
n …
N C
n
N CN
如果随机变量X的分布列具有左表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.
若 X 是随机变量，则 Y＝aX＋b(a，b 为常数)也是随机变量．
表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率．
两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为 1.
超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布
的特征是：
(1)考察对象分两类；
(2)已知各类对象的个数；
(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的概率分布．
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
m＝min{M，n}的理解
m 为 k 的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即 n≤M 时，k(抽取的
样本中次品的件数)的最大值为 m＝n；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即 n＞M 时，
k 的最大值为 m＝M.
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考点一 离散型随机变量的分布列的性质
1.设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
1
P 2－3q q2
3
则 q 的值为( )
3 33
A.1 B. ±
2 6
3 33 3 33
C. － D. ＋
2 6 2 6
解析：选 C 由分布列的性质知
2－3q≥0，
q2≥0， 3 33
解得 q＝ － . 2 6
1
＋2－3q＋q
2＝1，
3
a
2.离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X＝n)＝ (n＝1,2,3,4)，其中 a 是常数，
n(n＋1)
1 5则 P ＜X＜ 2 2 的值为( )
2 3
A. B.
3 4
4 5
C. D.
5 6
1 1 1 1 4 5
解析：选 D 由 ＋ ＋ ＋
1×2 2×3 3×4 4×5
×a＝1，知 a＝1，得 a＝ .
5 4
故 P
1 5
＜X＜
1 5 1 5 5
2 2 ＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ × ＋ × ＝ . 2 4 6 4 6
3.设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量 Y＝2X＋1 的分布列；
(2)求随机变量 η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2 的分布列.
解：(1)由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得 m＝0.3.
首先列表为：
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X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
从而 Y＝2X＋1 的分布列为
Y 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)列表为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.
故 η＝|X－1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(3)首先列表为
X 0 1 2 3 4
X2 0 1 4 9 16
从而ξ＝X2的分布列为
ξ 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
考点二 超几何分布
[典例精析]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具
体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种
心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有 6
名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人
接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的概率；
(2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列.
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C48
[解] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的事件为 M，则 P(M)＝C510
5
＝ .
18
(2)由题意知 X 可取的值为 0,1,2,3,4，则
C56 1 C
4
6C
1
4 5
P(X＝0)＝ 5 ＝ ，P(X＝1)＝ ＝ ， C10 42 C510 21
C3C26 4 10 C
2C36 4 5
P(X＝2)＝ ＝ ，P(X＝3)＝ ＝ ，
C5 510 21 C10 21
C1C46 4 1
P(X＝4)＝ 5 ＝ . C10 42
因此 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
1 5 10 5 1
P
42 21 21 21 42
[题组训练]
某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从 8
名学生会干部(其中男生 5 名，女生 3 名)中选 3 名参加志愿者服务活动.若所选 3 名学生中的
女生人数为 X，求 X 的分布列.
解：因为 8 名学生会干部中有 5 名男生，3 名女生，所以 X 的分布列服从参数 N＝8，
M＝3，n＝3 的超几何分布.
i －C3C
3 i C0C35 3 5 5
X 的所有可能取值为 0,1,2,3，其中 P(X＝i)＝ 3 (i＝0,1,2,3)，则 P(X＝0)＝ 3 ＝ ，C8 C8 28
C1 2 2 1 33C5 15 C3C5 15 C3C
0
5 1
P(X＝1)＝ 3 ＝ ，P(X＝2)＝ 3 ＝ ，P(X＝3)＝ ＝ . C8 28 C 38 56 C8 56
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
5 15 15 1
P
28 28 56 56
考点三 求离散型随机变量的分布列
[典例精析]已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机
检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3
件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列.
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[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A，则 P(A)＝
A12A
1
3 3
＝ .
A25 10
(2)X 的可能取值为 200,300,400，
A2 1 A3＋C1 1 22 3 2C3A2 3
则 P(X＝200)＝ 2＝ ，P(X＝300)＝ 3 ＝ ， A5 10 A5 10
1 3 3
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－ － ＝ .
10 10 5
故 X 的分布列为
X 200 300 400
1 3 3
P
10 10 5
[题组训练]
有编号为 1,2,3，…，n 的 n 个学生，入座编号为 1,2,3，…，n 的 n 个座位，每个学生
规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X，已知 X＝2 时，
共有 6 种坐法.
(1)求 n 的值；
(2)求随机变量 X 的分布列.
解：(1)因为当 X＝2 时，有 C2n种坐法，
n(n－1)
所以 C2n＝6，即 ＝6， 2
n2－n－12＝0，解得 n＝4 或 n＝－3(舍去)，所以 n＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X，
由题意知 X 的可能取值是 0,2,3,4，
1 1
所以 P(X＝0)＝ 4＝ ， A4 24
C24×1 6 1
P(X＝2)＝ 4 ＝ ＝ ， A4 24 4
C34×2 8 1
P(X＝3)＝ 4 ＝ ＝ ， A4 24 3
9 3
P(X＝4)＝ 4＝ ， A4 8
所以随机变量 X 的分布列为
X 0 2 3 4
1 1 1 3
P
24 4 3 8
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[课时跟踪检测]
A 级
1.若随机变量 X 的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当 P(X＜a)＝0.8 时，实数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.[1,2]
C.(1,2] D.(1,2)
解析：选 C 由随机变量 X 的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，
P(X＜2)＝0.8，
则当 P(X＜a)＝0.8 时，实数 a 的取值范围是(1,2].
1
2.设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝a k 3 (其中 k＝1,2,3)，则 a 的值为( )
9
A.1 B.
13
11 27
C. D.
13 13
解析：选 D 因为随机变量 X 的分布列为
1
P(X＝k)＝a k 3 (k＝1,2,3)，
1 1 1
所以根据分布列的性质有 a× ＋a 2 3
3 3 ＋a 3 ＝1，
所以 a
1 1 1 13＋ ＋
3 9 27 ＝a× ＝1， 27
27
所以 a＝ .
13
3.(2019·赣州模拟)一袋中装有 5 个球，编号为 1,2,3,4,5，在袋中同时取出 3 个，以ξ表
示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
A. B.
C. D.
C2 3 C24 3 3
解析：选 C 随机变量ξ的可能取值为 1,2,3，P(ξ＝1)＝ 3＝ ，P(ξ＝2)＝ ＝ ，C5 5 C35 10
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C22 1
P(ξ＝3)＝
C3
＝ ，故选 C.
5 10
4.一只袋内装有 m 个白球，n－m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为
(n－m)A2m
止，设此时取出了 X 个白球，下列概率等于 3 的是( ) An
A.P(X＝3) B.P(X≥2)
C.P(X≤3) D.P(X＝2)
(n－m)A2m
解析：选 D 依题意知， 3 是取了 3 次，所以取出白球应为 2 个. An
5.已知在 10 件产品中可能存在次品，从中抽取 2 件检查，其中次品数为ξ，已知 P(ξ
16
＝1)＝ ，且该产品的次品率不超过 40%，则这 10 件产品的次品率为( )
45
A.10% B.20%
C.30% D.40%
C1 1x·C10－x x(10－x) 16
解析：选 B 设 10 件产品中有 x 件次品，则 P(ξ＝1)＝ 2 ＝ ＝ ，∴xC10 45 45
＝2 或 8.
2
∵次品率不超过 40%，∴x＝2，∴次品率为 ＝20%.
10
6.某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于 9 环为优秀，其射击一次的优秀率为________.
解析：由分布列的性质得 a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为 40%.
答案：40%
7.已知随机变量 X 的概率分别为 p1，p2，p3，且依次成等差数列，则公差 d 的取值范围
是________.
1
解析：由分布列的性质及等差数列的性质得 p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝ ， 3
1
－d≥0，
p1≥0， 3 1 1又 即 得－ ≤d≤ . p ≥0， 1 3 33 ＋d≥0，3
1 1
答案： － ， 3 3
8.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女生人数不超过 1 人
的概率是________.
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解析：设所选女生人数为 X，则 X 服从超几何分布，
其中 N＝6，M＝2，n＝3，
C0C3 1 22 4 C2C4 4
则 P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝ 3 ＋ 3 ＝ . C6 C6 5
4
答案：
5
9.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲
协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名.从这 8
名运动员中随机选择 4 人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的 4人中恰有 2名种子选手，且这 2名种子选手来自同一个协会”，
求事件 A 发生的概率；
(2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列.
C2C22 3＋C2 23C3 6
解：(1)由已知，得 P(A)＝ 4 ＝ . C8 35
6
所以事件 A 发生的概率为 .
35
(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4，
CkC4
－k
5 3
其中 P(X＝k)＝ (k＝1,2,3,4).
C48
C1C35 3 1
故 P(X＝1)＝ 4 ＝ ， C8 14
C2 25C3 3
P(X＝2)＝ ＝ ，
C48 7
C35C
1
3 3
P(X＝3)＝ 4 ＝ ， C8 7
C45C
0
3 1
P(X＝4)＝ ＝ ，
C48 14
所以随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4
1 3 3 1
P
14 7 7 14
10.(2019·长春质检)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度
赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出 36 节云课，为了更好地将课程内容
呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量 [0,1 000] (1 000,3 000] (3 000，＋∞)
节数 6 18 12
(1)现从 36 节云课中采用分层抽样的方式选出 6 节，求选出的点击量超过 3 000 的节数；
第 882页/共1004页
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要
花费 40 分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费 20 分钟进行剪辑，点
击量超过 3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的 6 节课中随机取出 2 节课进行剪辑，求剪
辑时间 X 的分布列.
12
解：(1)根据分层抽样可知，选出的 6 节课中点击量超过 3 000 的节数为 ×6＝2.
36
(2)由分层抽样可知，(1)中选出的 6 节课中点击量在区间[0,1 000]内的有 1 节，点击量在
区间(1 000,3 000]内的有 3 节，故 X 的可能取值为 0,20,40,60.
1 1 C1 13C2 6 2
P(X＝0)＝ 2＝ ，P(X＝20)＝ 2 ＝ ＝ ， C6 15 C6 15 5
C1 22＋C3 5 1
P(X＝40)＝ 2 ＝ ＝ ， C6 15 3
C13 3 1
P(X＝60)＝ 2＝ ＝ ， C6 15 5
则 X 的分布列为
X 0 20 40 60
1 2 1 1
P
15 5 3 5
11.(2018·郑州第一次质量预测)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于 12 月 4 日
到 12 月 31 日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳
出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个
单位各 200名员工 12月 5日到 12月 14日共 10天的低碳出行的人数，
画出茎叶图如图所示，
(1)若甲单位数据的平均数是 122，求 x；
(2)现从图中的数据中任取 4 天的数据(甲、乙两个单位中各取 2 天)，记抽取的 4 天中甲、
乙两个单位员工低碳出行的人数不低于 130 的天数分别为ξ1，ξ2，令 η＝ξ1＋ξ2，求 η
的分布列.
1
解：(1)由题意知 [105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x)＋132＋134＋141]＝122，
10
解得 x＝8.
(2)由题得ξ1 的所有可能取值为 0,1,2，ξ2 的所有可能取值为 0,1,2，因为 η＝ξ1＋ξ2，
所以随机变量 η的所有可能取值为 0,1,2,3,4.
因为甲单位低碳出行的人数不低于 130 的天数为 3，乙单位低碳出行的人数不低于 130
的天数为 4，
第 883页/共1004页
C27C
2
6 7
所以 P(η＝0)＝ 2 2 ＝ ， C10C10 45
C1 17C3C
2
6＋C2C1 17 4C6 91
P(η＝1)＝
C2
＝ ，
10C
2
10 225
C2C2＋C2 2 1 13 6 7C4＋C7C3C16C14 1
P(η＝2)＝ 2 2 ＝ ， C10C10 3
C2C1C1 1 1 23 6 4＋C7C3C4 22
P(η＝3)＝ 2 2 ＝ ， C10C10 225
C2C23 4 2
P(η＝4)＝ 2 2 ＝ . C10C10 225
所以 η的分布列为
η 0 1 2 3 4
7 91 1 22 2
P
45 225 3 225 225
B 级
1.若 P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中 x1＜x2，则 P(x1≤ξ≤x2)等于( )
A.(1－α)(1－β) B.1－(α＋β)
C.1－α(1－β) D.1－β(1－α)
解析：选 B 显然 P(ξ＞x2)＝β，P(ξ＜x1)＝α.由概率分布列的性质可知 P(x1≤ξ≤x2)
＝1－P(ξ＞x2)－P(ξ＜x1)＝1－α－β.
2.一个人有 n 把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥
匙放在一旁，试过的次数 X 为随机变量，则 P(X＝k)等于( )
k 1
A. B.
n n
k－1 k！
C. D.
n n！
n－1
解析：选 B {X＝k}表示“第 k 次恰好打开，前 k－1 次没有打开”，∴P(X＝k)＝
n
n－2 n－(k－1) 1 1
× ×…× × ＝ .
n－1 n－(k－2) n－(k－1) n
3.一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒子中任取 3 个球来用，用完即
为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X＝4)的值为________.
C1C29 3 27
解析：事件“X＝4”表示取出的 3 个球有 1 个新球，2 个旧球，故 P(X＝4)＝
C3
＝ .
12 220
27
答案： .
220
4.某班级 50 名学生的考试分数 x 分布在区间[50,100)内，设考试分数 x 的分布频率是 f(x)
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n
－0.4，10n≤x＜10(n＋1)，n＝5，6，7，10
且 f(x)＝ 考试成绩采用“5 分制”，规定：n － ＋b，10n≤x＜10(n＋1)，n＝8，9.5
考试分数在[50,60)内的成绩记为 1 分，考试分数在[60,70)内的成绩记为 2 分，考试分数在
[70,80)内的成绩记为 3 分，考试分数在[80,90)内的成绩记为 4 分，考试分数在[90,100)内的
成绩记为 5 分.在 50 名学生中用分层抽样的方法，从成绩为 1 分、2 分及 3 分的学生中随机
抽出 6 人，再从这 6 人中随机抽出 3 人，记这 3 人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).
(1)求 b 的值，并估计该班的考试平均分数；
(2)求 P(ξ＝7)；
(3)求ξ的分布列.
n
－0.4，10n≤x＜10(n＋1)，n＝5，6，7，10
解：(1)因为 f(x)＝ n
－ ＋b，10n≤x＜10(n＋1)，n＝8，9， 5
5 6 7 8 9所以 －0.4 10 ＋
－0.4 ＋ －0.4 ＋ － ＋b ＋ － ＋b 10 10 5 5 ＝1，所以 b＝1.9.
估计该班的考试平均分数为
5 6 7 8 9－0.4 －0.4
10 ×55＋ 10 ×65＋
－0.4
10 ×75＋
－ ＋1.9 － ＋1.9
5 ×85＋ 5 ×95＝
76.
(2)按分层抽样的方法分别从考试成绩记为 1 分，2 分，3 分的学生中抽出 1 人，2 人，3
C2C1 1 23 1＋C3C2 3
人，再从这 6 人中抽出 3 人，所以 P(ξ＝7)＝
C3
＝ .
6 10
(3)因为ξ的可能取值为 5,6,7,8,9，
C1C2 1 1 1 2 11 2 1 C1C2C3 3 3 C3C2 3
所以 P(ξ＝5)＝ 3 ＝ ，P(ξ＝6)＝ 3 ＝ ，P(ξ＝7)＝ ，P(ξ＝8)＝ ＝ ，C6 20 C6 10 10 C36 10
C33 1
P(ξ＝9)＝ 3＝ . C6 20
故ξ的分布列为
ξ 5 6 7 8 9
1 3 3 3 1
P
20 10 10 10 20
第七节 n 次独立重复试验及二项分布
一 基础知识
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