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(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？
解：(1)将 7 个相同的小球排成一排，在中间形成的 6 个空当中插入无区别的 3 个“隔
板”将球分成 4 份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有 C36＝20 种不同
的放入方式.
(2)每种放入方式相当于将 7 个相同的小球与 3 个相同的“隔板”进行一次排列，即从
10 个位置中选 3 个位置安排隔板，故共有 C310＝120 种不同的放入方式.
第三节 二项式定理
一、基础知识
1.二项式定理
n 0 n 1 n－(1)二项式定理：(a＋b) ＝C a ＋C a 1b＋…＋Ck
－
an k kn n n b ＋…＋Cnnbn(n∈N*) ；
－
(2)通项公式：T ＝Ck n k kk＋1 na b ，它表示第 k＋1 项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为 C0 1n，Cn，…，Cn n .
2.二项式系数的性质
(1)项数为 n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.
(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，
从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.
二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指 C0，C1n n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项
的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有
－
关.如(a＋bx)n 的二项展开式中，第 k＋1 项的二项式系数是 Ckn，而该项的系数是 Ck n kna bk.当
然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.
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考点一 二项展开式中特定项或系数问题
考法(一) 求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
2
[例 1] (1)(2018·全国卷Ⅲ) x2＋ 5 的展开式中 x4 x 的系数为( )
A.10 B.20
C.40 D.80
(2)(2019·合肥调研)若(2x－a)5 的二项展开式中 x3 的系数为 720，则 a＝________.
a
(3)(2019·甘肃检测)已知 x－ 5 的展开式中 x5的系数为 A，x2的系数为 B，若 A＋B＝
x
11，则 a＝________.
[解析] (1) x2
2 2
＋ 5 － －
x 的展开式的通项公式为 T
r 2 5 r r r r 10 3r
r＋1＝C5·(x ) · x ＝C5·2 ·x ，令 10－
3r＝4，得 r＝2.故展开式中 x4 的系数为 C2·225 ＝40.
－ － －
(2)(2x－a)5 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝(－1)r·Cr5·(2x)5 r·ar＝(－1)r·Cr5·25 r·ar·x5 r，令
5－r＝3，解得 r＝2，由(－1)2·C2·25
－2 2
5 ·a ＝720，解得 a＝±3.
a － a 3 3
(3) x－ 5 的展开式的通项公式为 T r 5 r r r rr＋1＝C5x ·－ ＝C5(－a) x5－ r.由 5－ r＝5， x x 2 2
3
得 r＝0，由 5－ r＝2，得 r＝2，所以 A＝C0 0 2 2 2 2
2 5
×(－a) ＝1，B＝C5×(－a) ＝10a ，则由 1＋10a
＝11，解得 a＝±1.
[答案] (1)C (2)±3 (3)±1
[解题技法]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
－
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Cr n r rna b ，常把字母和系数
分离开来(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列
出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
第三步，把 r 代入通项公式中，即可求出 Tr＋1，有时还需要先求 n，再求 r，才能求出
Tr＋1 或者其他量.
考法(二) 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例 2] (1)(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是( )
A.－4 B.－3
C.3 D.4
(2)(2019·南昌模拟)已知(x－1)(ax＋1)6 的展开式中含 x2 项的系数为 0，则正实数 a＝
________.
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m
[解析] (1)法一：(1－ x)6 的展开式的通项为 Cm6 ·(－ x)m＝Cm6 (－1)mx ，(1＋ x)4 的展2
开式的通项为 Cn·( x)n＝Cn
n
4 4x ，其中 m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4. 2
m n
令 ＋ ＝1，得 m＋n＝2，
2 2
于是(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数等于 C06·(－1)0·C24＋C16·(－1)1·C14＋C26·(－
1)2·C04＝－3.
法二：(1－ x)6(1＋ x)4＝[(1－ x)(1＋ x)]4(1－ x)2＝(1－x)4(1－2 x＋x).于是(1－
x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数为 C04·1＋C14·(－1)1·1＝－3.
(2)(ax＋1)6 的展开式中含 x2 项的系数为 C4 26a ，含 x 项的系数为 C56a，由(x－1)(ax＋1)6
的展开式中含 x2 项的系数为 0，可得－C46a2＋C56a＝0，因为 a 为正实数，所以 15a＝6，所以
2
a＝ .
5
2
[答案] (1)B (2)
5
[解题技法]
求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n 分别展开，并写出其通项公式；
第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m 与(c＋d)n 的展开式中的哪些项相
乘得到；
第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
考法(三) 求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例 3] (1)(x2＋x＋y)5 的展开式中 x5y2的系数为( )
A.10 B.20
C.30 D.60
4
(2)将 x＋ －4 3 x 展开后，常数项是________.
－
[解析] (1)(x2＋x＋y)5 的展开式的通项为 T r 2 5 r r 2 2r＋1＝C5(x ＋x) ·y ，令 r＝2，则 T3＝C5(x
＋x)3y2
－ －
，又(x2＋x)3 的展开式的通项为 T k 2 3 k k k 6 kk＋1＝C3(x ) ·x ＝C3x ，令 6－k＝5，则 k＝1，所
以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2 的系数为 C2C15 3＝30.
4 2x＋ －4 3＝ x－ 6 k 6
－
展开式的通项是 k
2
(2) C ( x) ·－ k＝(－2)k k 3
－
·C x k x 6 6 . x x
令 3－k＝0，得 k＝3.
所以常数项是 C3(－2)36 ＝－160.
[解析] (1)C (2)－160
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[解题技法]
求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，把三项的和 a＋b＋c 看成是(a＋b)与 c 两项的和；
第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n 的展开式的通项；
－
第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n r 的展开式中的哪些项和
cr 相乘得到的；
第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
[题组训练]
1
1.(2018·洛阳第一次统考)若 a＝∫π0 sin xdx，则二项式 a x－ 6 x 的展开式中的常数项为
( )
A.－15 B.15
C.－240 D.240
解析：选 D 由 a＝∫π0 sin xdx＝(－cos x)|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得
1 － 12 x－ 6 的展开式的通项公式为 T ＝Cr(2 x)6 r － r＝(－1)rCr 6
－r 3 3
x r＋1 6 x 6·2 ·x3－ r，令 3－ r＝2 2
0，得 r＝2，故常数项为 C26·24＝240.
2.(2019·福州四校联考)在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5 的系数是________.(用数字作答)
解析：二项展开式中，含 x5 的项是 C52x5－x3C224x2＝－228x5，所以 x56 6 的系数是－228.
答案：－228
x 1
3. ＋ ＋ 2 5 2 x (x＞0)的展开式中的常数项为________.
x 1 x 1 1 － －
解析： ＋ ＋ 2 5(x＞0)可化为 ＋ 10 2 x ，因而 ＝

T Cr 10 r( x)10 2rr＋1 10 ，令 10－
2 x 2
1 63 2
2r＝0，得 r＝5，故展开式中的常数项为 C5 · 510 ＝ . 2 2
63 2
答案：
2
考点二 二项式系数的性质及各项系数和
[典例精析]
1x＋
(1)若 n3 的展开式中各项系数之和大于 8，但小于 32，则展开式中系数最大的
x
项是( )
3 4
A.6 x B.
x
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6 4 6
C.4x x D. 或 4x x
x
1
(2)若 x2－ n x 的展开式中含 x 的项为第 6 项，设(1－3x)
n＝a0＋a1x＋a x2＋…＋a n2 nx ，则
a1＋a2＋…＋an 的值为________.
(3)若(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝________.
1x＋
[解析] (1)令 x＝1，可得 3
n 的展开式中各项系数之和为 2n，即 8＜2n＜32，解
x
1 3
得 n＝4，故第 3 项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是 C2( x)2 24 3 ＝6 x.
x
(2)
1 － 1 －
x2－ n 的展开式的通项公式为 T r 2 n r r r r 2n 3r x r＋1＝Cn(x ) ·
－
x ＝Cn(－1) x ，
因为含 x 的项为第 6 项，所以 r＝5,2n－3r＝1，解得 n＝8，
在(1－3x)n 中，令 x＝1，得 a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28，
又 a0＝1，所以 a1＋…＋a8＝28－1＝255.
(3)设(a＋x)(1＋x)4＝a 2 3 4 50＋a1x＋a2x ＋a3x ＋a4x ＋a5x ，
令 x＝1，得 16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令 x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，②
①－②，得 16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以 8(a＋1)＝32，解
得 a＝3.
[答案] (1)A (2)255 (3)3
[解题技法]
1.赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于 x，y 的一切值都成立.因此，可将 x，y 设定为一
些特殊的值.在使用赋值法时，令 x，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1 或 0”，
有时也取其他值.如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只
需令 x＝1 即可.
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可.
2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
若 f(x)＝a0＋a1x＋a x22 ＋…＋anxn，则 f(x)的展开式中
(1)各项系数之和为 f(1).
f(1)＋f(－1)
(2)奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝ . 2
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f(1)－f(－1)
(3)偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝ . 2
[题组训练]
1.(2019·包头模拟)已知(2x－1)5＝a 55x ＋a x44 ＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|
＝( )
A.1 B.243
C.121 D.122
解析：选 B 令 x＝1，得 a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①
令 x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②
①＋②，得 2(a4＋a2＋a0)＝－242，
即 a4＋a2＋a0＝－121.
①－②，得 2(a5＋a3＋a1)＝244，
即 a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
2.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a (x＋1)2＋…＋a 92 9(x＋1) ，且(a0＋a2＋…＋a 28) －(a1＋a3
＋…＋a )29 ＝39，则实数 m 的值为________.
解析：令 x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令 x＝－2，则 m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a )29
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a ＋a 91 2－a3＋…＋a8－a9)＝3 ，
∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3 或 m＝1.
答案：－3 或 1
3.已知(1＋3x)n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于 121，则展开式中二项式系
数最大的项为________.
－ － 1
解析：由已知得 Cn 2n ＋Cn 1n ＋Cnn＝121，则 n·(n－1)＋n＋1＝121，即 n2＋n－240＝0，2
解得 n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为 T ＝C78 15(3x)7 和 T 8 89＝C15(3x) .
答案：C715(3x)7和 C8 (3x)815
考点三 二项展开式的应用
[典例精析]
设 a∈Z，且 0≤a＜13，若 512 018＋a 能被 13 整除，则 a＝( )
A.0 B.1
C.11 D.12
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[解析] 由于 51＝52－1，
512 018＝(52－1)2 018＝C0 522 018－C1 522 017＋…－C2 017 12 018 2 018 2 01852 ＋1，
又 13 整除 52，
所以只需 13 整除 1＋a，
又 0≤a＜13，a∈Z，
所以 a＝12.
[答案] D
[解题技法]
利用二项式定理解决整除问题的思路
(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能
被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.
(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的
和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：
①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数 b∈[0，r)，r 是除数，若利用二项式定理展开变形
后，切记余数不能为负；
②二项式定理的逆用.
[题组训练]
1.使得多项式 81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1 能被 5 整除的最小自然数 x 为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：选 C ∵81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1＝(3x＋1)4，∴上式能被 5 整除的最小自然
数为 3.
2.1－90C1 ＋902C2 －903C3 ＋…＋(－1)k90kCk ＋…＋9010C1010 10 10 10 10除以 88的余数为________.
解析：∵1－90C1 2 2 k k k 10 1010＋90 C10＋…＋(－1) 90 C10＋…＋90 C10＝(1－90)10＝8910，
∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C1 88910 ＋…＋C91088＋1，
∵前 10 项均能被 88 整除，∴余数为 1.
答案：1
[课时跟踪检测]
A 级
2
1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟 ) －x4
3
2 的展开式中的常数项为( ) x
A.－3 2 B.3 2
C.6 D.－6
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解析：选 通项 ＝ r
2 － － － ＋
D T C 3 rr＋1 3 2 ·(－x
4)r＝Cr3( 2)3 r·(－1)rx 6 6r，当－6＋6r＝0，即 r x
＝1 时为常数项，T2＝－6，故选 D.
a2＋a4
2.设(2－x)5＝a ＋a 2 50 1x＋a2x ＋…＋a5x ，则 的值为( )
a1＋a3
61 122
A.－ B.－
60 121
3 90
C.－ D.－
4 121
解析：选 C 由二项式定理，得 a ＝－C1 41 52 ＝－80，a2＝C2523＝80，a 3 23＝－C52 ＝－40，
a2＋a4 3
a ＝C44 52＝10，所以 ＝－ .
a1＋a3 4
a
3.若二项式 x2＋ 7 x 的展开式的各项系数之和为－1，则含 x
2 项的系数为( )
A.560 B.－560
C.280 D.－280
a
解析：选 A 取 x＝1，得二项式 x2＋ 7 的展开式的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7 x
2 － 2
＝－1,1＋a＝－1，a＝－2.二项式 x2－ 7 x 的展开式的通项 Tr＋1＝C
r
7·(x
2)7 r· － r r x ＝C7·(－
2
2)r·x14
－3r.令 14－3r＝2，得 r＝4.因此，二项式 x2－ 7 x 的展开式中含 x
2 项的系数为 C47·(－2)4
＝560.
4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x)n 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相
等，则奇数项的二项式系数和为( )
A.29 B.210
C.211 D.212
解析：选 A 由题意得 C4n＝C6n，由组合数性质得 n＝10，则奇数项的二项式系数和为
－
2n 1＝29.
1
5.二项式 －2x2 9 x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )
A.－671 B.671
C.672 D.673
解析：选 B 令 x＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式
1 － －
为 T ＝Cr 9 r·(－2x2)r＝Cr(－2)r·x3r 9r＋1 9 x 9 ，令 3r－9＝0，得 r＝3，所以该二项展开式中的常
数项为 C3 39(－2) ＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.
6.(2018·石家庄二模)在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含 x4 项的系数为( )
A.－5 B.－15
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C.－25 D.25
解析：选 B 由题意含 x4 项的系数为－2C35＋C45＝－15.
1
7.(2018·枣庄二模)若(x2－a) x＋ 10 x 的展开式中 x
6 的系数为 30，则 a 等于( )
1 1
A. B.
3 2
C.1 D.2
1 － 1 －
解析：选 D x＋ 10 x 的展开式的通项公式为 T ＝C
r 10 r r r 10 2r
r＋1 10·x · x ＝C10·x ，令 10－
2r＝4，解得 r＝3，所以 x4项的系数为 C310.令 10－2r＝6，解得 r＝2，所以 x6项的系数为 C210.
1
所以(x2－a) x＋ 10 6 x 的展开式中 x 的系数为 C
3
10－aC210＝30，解得 a＝2.
8.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a x66 ，且 a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数 m 的值为( )
A.1 或 3 B.－3
C.1 D.1 或－3
解析：选 D 令 x＝0，得 a ＝(1＋0)60 ＝1.令 x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.∵a1
＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1 或 m＝－3.
9.(2019·唐山模拟)(2x－1)6 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字
作答)
解析：(2x－1)6 的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是 C323(－1)36 ＝－160.
答案：－160
a
10.(2019·贵阳模拟) x＋ 9 x 的展开式中 x
3 的系数为－84，则展开式的各项系数之和为
________.
－ a －
解析：二项展开式的通项 T r 9 r r r r 9 2rr＋1＝C9x x ＝a C9x ，令 9－2r＝3，得 r＝3，所以 a
3C39
1
＝－84，解得 a＝－1，所以二项式为 x－ 9 9 x ，令 x＝1，则(1－1) ＝0，所以展开式的各项
系数之和为 0.
答案：0
1
11. x＋ ＋1 5 x 展开式中的常数项为________.
1 1 －
解析： x＋ ＋1 5 x 展开式的通项公式为 T
r 5 r 5
r＋1＝C5·x＋ x .令 r＝5，得常数项为 C5＝1，
令 r＝3，得常数项为 C35·2＝20，令 r＝1，得常数项为 C1·C25 4＝30，所以展开式中的常数项为
1＋20＋30＝51.
答案：51
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1x＋
12.已知 n4 的展开式中，前三项的系数成等差数列.
2 x
(1)求 n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项.
1 1
解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为 C0 1 2n， Cn， C ， 2 4 n
1 1 0 1由已知得 2× C 2n＝Cn＋ Cn，解得 n＝8(n＝1 舍去). 2 4
1 1x＋ － － 3r
(2) 84 的展开式的通项 T
r
r＋1＝C8( x)8 r· r r r4 ＝2 C8x4－ (r＝0,1，…，8)， 4
2 x 2 x
3r 35
要求有理项，则 4－ 必为整数，即 r＝0,4,8，共 3 项，这 3 项分别是 T1＝x4，T5＝ x，4 8
1
T9＝ . 256x2
－
(3)设第 r＋1 项的系数 a r rr＋1 最大，则 ar＋1＝2 C8，
－
a r rr＋1 2 C8 9－r
则 ＝ －(r－1) r－1＝ ≥1， ar 2 C8 2r
－
a rr＋1 2 C
r
8 2(r＋1)
＝ －(r＋1) r＋1＝ ≥1， ar＋2 2 C8 8－r
解得 2≤r≤3.
－ －
当 r＝2 时，a ＝2 2C2＝7，当 r＝3 时，a ＝2 3C33 8 4 8＝7，
因此，第 3 项和第 4 项的系数最大，
B 级
1.在二项式
1
x－ n
x 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有 x
2 项的
系数是( )
A.35 B.－35
C.－56 D.56
1
解析：选 C 由于第五项的二项式系数最大，所以 n＝8.所以二项式 x－ 8 x 展开式的通
项公式为 T r 8
－r －1 r r r 8－2r
r＋1＝C8x (－x ) ＝(－1) C8x ，令 8－2r＝2，得 r＝3，故展开式中含有 x2项
的系数是(－1)3C38＝－56.
2.已知 C0－4C1＋42n n C2－43C3n n＋…＋(－1)n4nCnn＝729，则 C1＋C2 nn n＋…＋Cn的值等于( )
A.64 B.32
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C.63 D.31
解析：选 C 因为 C0－4C1＋42C2－43C3n n n n＋…＋(－1)n4nCnn＝729，所以(1－4)n＝36，所以
n＝6，因此 C1n＋C2 n n 6n＋…＋Cn＝2 －1＝2 －1＝63.
a 1
3.(2019·济南模拟) x－ 2x－ 5 x x 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中含 x
4 项
的系数为________.
a 1
解析：令 x＝1，可得 x－ 2x－ 5 x x 的展开式中各项系数的和为 1－a＝2，得 a＝－1，
1 1 1则 x＋ 2x－ 5 4 2x－ 5 3 5 x x 展开式中含x 项的系数即是 x 展开式中的含x 项与含x 项系数的和.
1
又 2x－ 5 r r 5
－r －
x 展开式的通项为 Tr＋1＝C5(－1) ·2 ·x
5 2r，令 5－2r＝3，得 r＝1，令 5－2r＝5，
得 r＝0，将 r＝1 与 r＝0 分别代入通项，可得含 x3 项与含 x5 项的系数分别为－80 与 32，故
原展开式中含 x4 项的系数为－80＋32＝－48.
答案：－48
2i
4.设复数 x＝ (i 是虚数单位)，则 C12 019x＋C2 x22 019 ＋C32 019x3＋…＋C2 019x2 019－ 2 019
＝( )
1 i
A.i B.－i
C.－1＋i D.－i－1
2i 2i(1＋i)
解析：选 D 因为 x＝ ＝ ＝－1＋i，所以 C12 019x＋C2 2 3 3－ － ＋ 2 019
x ＋C2 019x ＋…＋
1 i (1 i)(1 i)
C2 019x2 019＝(1＋x)2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i2 0192 019 －1＝－i－1.
5.已知(x＋2)9＝a0＋a 2 91x＋a2x ＋…＋a9x ，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a )29 －(2a2＋4a4＋6a6
＋8a8)2 的值为( )
A.39 B.310
C.311 D.312
解析：选 D 对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9 两边同时求导，得 9(x＋2)8＝a1＋2a2x
＋3a x2＋…＋8a x7＋9a x8，令 x＝1，得 a ＋2a ＋3a ＋…＋8a ＋9a ＝3103 8 9 1 2 3 8 9 ，令 x＝－1，得
a －2a ＋3a －…－8a ＋9a ＝32.所以(a ＋3a ＋5a ＋7a ＋9a )21 2 3 8 9 1 3 5 7 9 －(2a2＋4a4＋6a6＋8a )28 ＝
(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a 122＋3a3－…－8a8＋9a9)＝3 .
1 1
6.设 a＝ 2xdx，则二项式 ax2－ 6 x 展开式中的常数项为________.
0
1
1 1 1解析：a＝ 2xdx＝x2 ＝1，则二项式 ax2－ 6＝ x2－ 6
x x
，其展开式的通项公式为 Tr
0
0
－ 1＝Cr(x2)6 r·－ r＝(－1)rCrx12
－3r
＋1 6 x 6 ，令 12－3r＝0，解得 r＝4.所以常数项为(－1)
4C46＝15.
答案：15
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