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n
－0.4，10n≤x＜10(n＋1)，n＝5，6，7，10
且 f(x)＝ 考试成绩采用“5 分制”，规定：n － ＋b，10n≤x＜10(n＋1)，n＝8，9.5
考试分数在[50,60)内的成绩记为 1 分，考试分数在[60,70)内的成绩记为 2 分，考试分数在
[70,80)内的成绩记为 3 分，考试分数在[80,90)内的成绩记为 4 分，考试分数在[90,100)内的
成绩记为 5 分.在 50 名学生中用分层抽样的方法，从成绩为 1 分、2 分及 3 分的学生中随机
抽出 6 人，再从这 6 人中随机抽出 3 人，记这 3 人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).
(1)求 b 的值，并估计该班的考试平均分数；
(2)求 P(ξ＝7)；
(3)求ξ的分布列.
n
－0.4，10n≤x＜10(n＋1)，n＝5，6，7，10
解：(1)因为 f(x)＝ n
－ ＋b，10n≤x＜10(n＋1)，n＝8，9， 5
5 6 7 8 9所以 －0.4 10 ＋
－0.4 ＋ －0.4 ＋ － ＋b ＋ － ＋b 10 10 5 5 ＝1，所以 b＝1.9.
估计该班的考试平均分数为
5 6 7 8 9－0.4 －0.4
10 ×55＋ 10 ×65＋
－0.4
10 ×75＋
－ ＋1.9 － ＋1.9
5 ×85＋ 5 ×95＝
76.
(2)按分层抽样的方法分别从考试成绩记为 1 分，2 分，3 分的学生中抽出 1 人，2 人，3
C2C1 1 23 1＋C3C2 3
人，再从这 6 人中抽出 3 人，所以 P(ξ＝7)＝
C3
＝ .
6 10
(3)因为ξ的可能取值为 5,6,7,8,9，
C1C2 1 1 1 2 11 2 1 C1C2C3 3 3 C3C2 3
所以 P(ξ＝5)＝ 3 ＝ ，P(ξ＝6)＝ 3 ＝ ，P(ξ＝7)＝ ，P(ξ＝8)＝ ＝ ，C6 20 C6 10 10 C36 10
C33 1
P(ξ＝9)＝ 3＝ . C6 20
故ξ的分布列为
ξ 5 6 7 8 9
1 3 3 3 1
P
20 10 10 10 20
第七节 n 次独立重复试验及二项分布
一 基础知识
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1.条件概率及其性质
(1)条件概率的定义：对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B
P(AB)
发生的概率叫做条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其公式为 P(B|A)＝ (P(A)＞0).
P(A)
(2)条件概率的性质
①非负性：0≤P(B|A)≤1；
②可加性：如果 B 和 C 是两个互斥事件，
则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).
2.相互独立事件
(1)对于事件 A，B，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，则称事件 A，B 是相互
独立事件.
(2)若 P(AB)＝P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立.
(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立.
(4)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝P(B)，
P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B).
(5)一般地，如果事件 A1，A2，…，An(n＞2，n∈N*)相互独立，那么这 n 个事件同时发
生的概率等于每个事件发生的概率的积，即 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An).
互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点
(1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
(2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即 P(AB)＝0，相互独立事件则强调
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
3.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.
独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；
③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.
(2)二项分布：一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验
－
中事件 A 发生的概率为 p，则事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Ckpkn (1－p)n k，k＝
0,1,2，…，n，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,(1)是否为 n 次独立重复试验；,(2)
随机变量是否为某事件在这 n 次独立重复试验中发生的次数.
考点一 条件概率
[典例精析](1)(2019·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次，记事件 A 为“三个点数都不同”，
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B 为“至少出现一个 6 点”，则条件概率 P(A|B)＝__________，P(B|A)＝________.
(2)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B
＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝________.
[解析] (1)P(A|B)的含义是在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，即在“至少出
现一个 6 点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个 6 点”有
6×6×6－5×5×5＝91 种情况，“至少出现一个 6 点，且三个点数都不相同”共有 C13×5×4
60
＝60 种情况，所以 P(A|B)＝ .P(B|A)的含义是在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，
91
即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个 6 点”的概率，因为“三个点数都不
1
同”有 6×5×4＝120 种情况，所以 P(B|A)＝ .
2
1
C23＋C2 22 4 2 C2 1 P(AB) 10 1
(2)P(A)＝ 2 ＝ ＝ ，P(AB)＝ ＝ ，由条件概率公式，得 P(B|A)＝ ＝ ＝ . C5 10 5 C25 10 P(A) 2 4
5
60 1 1
[答案] (1) (2)
91 2 4
[题组训练]
1.(2019·石家庄摸底)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合
1 1
后出现红灯的概率为 ，两次闭合后都出现红灯的概率为 ，则开关在第一次闭合后出现红灯
2 5
的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为________.
解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A，“开关第二次闭合后出现红灯”为
事件 B，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件 AB，“开关在第一次闭合后出现红灯的
P(AB) 2
条件下第二次闭合后出现红灯”为事件 B|A，由题意得 P(B|A)＝ ＝ .
P(A) 5
2
答案：
5
2.现有 3 道理科题和 2 道文科题共 5 道题，若不放回地一次抽取 2 道题，则在第 1 次抽
到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为________.
解析：法一：设第 1 次抽到理科题为事件 A，第 2 次抽到理科题为事件 B，则 P(B|A)＝
3×2
A2P(AB) 5 1
＝ ＝ .
P(A) 3 2
5
法二：在第 1 次抽到理科题的条件下，还有 2 道理科题和 2 道文科题，故在第 1 次抽到
1
理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为 .
2
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1
答案：
2
考点二 相互独立事件的概率
[典例精析](1)设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为
0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少 3 人需使用设备的概率为
________.
(2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两
个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问
题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率为________.
[解析] (1)设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件 A，B，C，D，则 P(A)＝0.6，P(B)
＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好 3 人使用设备的概率 P1＝P( A BCD＋A B CD＋AB C D＋
ABC D )＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋
0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4 人使用设备的概率 P2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求
概率 P＝0.25＋0.06＝0.31.
(2)依题意，该选手第 2 个问题回答错误，第 3,4 个问题均回答正确，第 1 个问题回答正
误均有可能，则所求概率 P＝1×0.2×0.82＝0.128.
[答案] (1)0.31 (2)0.128
[变式发散]
1.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了 5 个问题就晋级下一轮的概率为
________.
解析：依题意，该选手第 3 个问题的回答是错误的，第 4,5 个问题均回答正确，第 1,2
个问题回答均错误或有且只有 1 个错误，则所求概率 P＝0.23×0.82＋2×0.2×0.8×0.2×0.82
＝0.005 12＋0.040 96＝0.046 08.
答案：0.046 08
2.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手回答了 5 个问题(5 个问题必须全部回答)就结
束的概率为________.
解析：依题意，设答对的事件为 A，可分第 3 个回答正确与错误两类，若第 3 个回答正
确，则有 A A A A 或 A A A A 两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2
＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.若该选手第 3 个问题的回答是错误的，第 1,2 个问题回答均错误
或有且只有 1 个错误，则所求概率 P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所
求概率为 0.032＋0.072＝0.104.
答案：0.104
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[题组训练]
1.在高三的某次模拟考试中，对于数学选修 4 系列的考查中，甲同学选做《不等式选讲》
1 1
的概率为 ，乙同学选做《不等式选讲》的概率为 ，假定二人的选择相互之间没有影响，那
3 4
么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有 1 人选做《不等式选讲》的概率为________.
解析：记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做《不等式选讲》”为事件 A，“乙同学
不选做《不等式选讲》”为事件 B，且 A，B 相互独立.
1 2 1 3
依题意，P(A)＝1－ ＝ ，P(B)＝1－ ＝ ，
3 3 4 4
2 3 1
所以 P(AB)＝P(A)·P(B)＝ × ＝ .
3 4 2
又因为甲、乙二人至少有一人选做《不等式选讲》的对立事件为甲、乙二人都不选做《不
1 1
等式选讲》，所以所求概率为 1－P(AB)＝1－ ＝ .
2 2
1
答案：
2
2.从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到
1 1 1
红灯的概率分别为 ， ， .
2 3 4
(1)设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列；
(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.
解：(1)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，
1 1 1 1
则 P(X＝0)＝ 1－ × 1－ × 1－ 2 3 4 ＝ ， 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11
P(X＝1)＝ × 1－ 1－ 1－ 1－ 1－ 1－
2 3 × 4 ＋ 2 × ×3 4 ＋ 2 × 3 × ＝ ， 4 24
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
P(X＝2)＝ 1－ × × ＋ × 1－ × ＋ × × 1－ 2 ＝ ， 3 4 2 3 4 2 3 4 4
1 1 1 1
P(X＝3)＝ × × ＝ .
2 3 4 24
所以随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 11 1 1
P
4 24 4 24
(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的
概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
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1 11 11 1
＝ × ＋ ×
4 24 24 4
11
＝ .
48
11
所以这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 .
48
考点三 独立重复试验与二项分布
[典例精析]九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九
节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了 40 只统计质量，得到的结果
如下表所示：
质量/g [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55]
数量 4 12 11 8 5
(1)若购进这批九节虾 35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九
节虾的数量(所得结果保留整数)；
(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选 4 只，记质量在[5,25)间的九节
虾的数量为 X，求 X 的分布列.
[解] (1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为
1
×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为 35 000÷29.5≈1 186(只)，
40
所以这批九节虾的数量约为 1 186 只.
4＋12 2
(2)由表中数据知，任意挑选 1 只九节虾，质量在[5,25)间的概率 p＝ ＝ ，X 的所有可
40 5
能取值为 0,1,2,3,4，
3 81
则 P(X＝0)＝ 4 5 ＝ ， 625
P(X＝1)＝C1
2
× ×
3 3 216
4 5 ＝ ， 5 625
2 3 216
P(X＝2)＝C2× 2 24 5 × 5 ＝ ， 625
2 3 96
P(X＝3)＝C34× 3 5 × ＝ ， 5 625
2 16
P(X＝4)＝ 4 5 ＝ . 625
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
81 216 216 96 16
P
625 625 625 625 625
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[题组训练]
1.甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是 0.8，乙命中
的概率是 0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为( )
A.0.32 B.0.18
C.0.50 D.0.057 6
解析：选 D 甲命中一次的概率为 C12×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为 C12
×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为
P＝0.32×0.18＝0.057 6.
2.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，
要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20
分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得－200 分).设每次击鼓出
1
现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立.
2
(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？
解：(1)X 可能的取值为 10,20,100，－200.
根据题意，有
1P(X＝10)＝C1×
1
1 3
3 1－ 2 2 × 2 ＝ ， 8
1 1 3
P(X＝20)＝C2× 2 13 2 ×
1－
2 ＝ ， 8
1 1P(X＝100)＝ 3 2 ＝ ， 8
1 1
P(X＝－200)＝ 1－ 3 2 ＝ . 8
所以 X 的分布列为
X 10 20 100 －200
3 3 1 1
P
8 8 8 8
(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝
1
－200)＝ .
8
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1 1 511
1－P(A1A2A )＝1－ 33 8 ＝1－ ＝ . 512 512
第 891页/共1004页
511
因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为 .
512
[课时跟踪检测]
A 级
1.如果生男孩和生女孩的概率相等，则有 3 个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为
( )
2 1
A. B.
3 2
3 1
C. D.
4 4
解析：选 B 设女孩个数为 X，女孩多于男孩的概率为 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝
1 1 1 1 1 1
C2× 2 3 33 2 × ＋C3× 2 ＝3× ＋ ＝ . 2 8 8 2
2.(2018·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪
调查，随机抽查的 200 个机械元件情况如下：
使用时间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60
个数 10 40 80 50 20
若以频率估计概率，现从该批次机械元件中随机抽取 3 个，则至少有 2 个元件的使用寿
命在 30 天以上的概率为( )
13 27
A. B.
16 64
25 27
C. D.
32 32
150 3 3
解析：选 D 由表可知元件使用寿命在 30 天以上的频率为 ＝ ，则所求概率为 C2
200 4 3 4
2 1 3 27× ＋ 3
4 4 ＝ . 32
3.(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事
件 A 为“4 个人去的景点不相同”，事件 B 为“小赵独自去一个景点”，则 P(A|B)＝( )
2 1
A. B.
9 3
4 5
C. D.
9 9
解析：选 A 小赵独自去一个景点共有 4×3×3×3＝108 种情况，即 n(B)＝108,4 个人
n(AB) 24 2
去的景点不同的情况有 A44＝4×3×2×1＝24 种，即 n(AB)＝24，∴P(A|B)＝ ＝ ＝ .
n(B) 108 9
4.甲、乙两个小组各 10 名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分).
第 892页/共1004页
甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83
乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74
现从这 20 名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件 A；“抽出
的学生的英语口语测试成绩不低于 85 分”记为事件 B，则 P(AB)，P(A|B)的值分别是( )
1 5 1 4
A. ， B. ，
4 9 4 9
1 5 1 4
C. ， D. ，
5 9 5 9
10 5 1 P(AB)
解析：选 A 由题意知，P(AB)＝ × ＝ ，根据条件概率的计算公式得 P(A|B)＝
20 10 4 P(B)
1
4 5
＝ ＝ .
9 9
20
5.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标 0，两个面标 1，一个面标 2，将这
个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为
( )
1 8
A. B.
4 9
1 5
C. D.
16 32
解析：选 D 两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现 1 向上，故两
2 8
次数字乘积为偶数的概率为 1－ 2 6 ＝ ；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的9
5
1 1 1 1 5 36 5
情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为 × ×2＋ × ＝ .故所求条件概率为 ＝ .
3 6 6 6 36 8 32
9
6.设由 0,1 组成的三位编号中，若用 A 表示“第二位数字为 0 的事件”，用 B 表示“第
一位数字为 0 的事件”，则 P(A|B)＝________.
1
解析：因为第一位数字可为 0 或 1，所以第一位数字为 0 的概率 P(B)＝ ，第一位数字为 0 且第二
2
1
1 1 1 P(AB) 4 1
位数字也是 0，即事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)＝ × ＝ ，所以 P(A|B)＝ ＝ ＝ .
2 2 4 P(B) 1 2
2
1
答案：
2
1 1 1
7.事件 A，B，C 相互独立，如果 P(AB)＝ ，P( B C)＝ ，P(AB C )＝ ，则 P(B)＝________，
6 8 8
P( A B)＝________.
第 893页/共1004页
1
P(A)·P(B)＝ ， ①6
1
解析：由题意得 P( B )·P(C)＝ ， ②8
1 P(A)·P(B)·P( C )＝ ， ③8
3 3 1 1 1
由③÷①得 P( C )＝ ，所以 P(C)＝1－P( C )＝1－ ＝ .将 P(C)＝ 代入②得 P( B )＝ ，
4 4 4 4 2
1 1 2 1 1
所以 P(B)＝1－P( B )＝ ，由①可得 P(A)＝ ，所以 P( A B)＝P( A )·P(B)＝ × ＝ .
2 3 3 2 3
1 1
答案：
2 3
8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 17,18,19,20 层停靠，若该电梯在底层有 5
1
个乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为 ，用ξ表示 5 位乘客在第 20 层下电
4
梯的人数，则 P(ξ＝4)＝________.
解析：考查一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验，这是 5 次独立重复试验，故ξ～
1 1 3 － 1 3 15B 5， 4 ，即有 P(ξ＝k)＝C
k k 5 k
5 4 × 4 ，k＝0,1,2,3,4,5.故 P(ξ＝4)＝C
4 4× 15 4 4 ＝ . 1 024
15
答案：
1 024
9.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、
文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、
丙三位同学能通过复检关的概率分别是 0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是 0.6,0.5,0.4，
由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.
(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；
(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数 X 的分布列.
解：(1)设 A，B，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率 P＝P(A B C )
＋P( A B C )＋P( A B C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－
0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.
(2)甲被录取的概率为 P 甲＝0.5×0.6＝0.3，
同理 P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.
∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为 0.3，故可看成是独立重复试验，即 X～B(3,0.3)，
－
X 的可能取值为 0,1,2,3，其中 P(X＝k)＝Ck(0.3)k3 ·(1－0.3)3 k，k＝0,1,2,3.
故 P(X＝0)＝C0×0.303 ×(1－0.3)3＝0.343，
P(X＝1)＝C13×0.3×(1－0.3)2＝0.441，
P(X＝2)＝C23×0.32×(1－0.3)＝0.189，
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P(X＝3)＝C33×0.33＝0.027，
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
2 3
10.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为 和 .假设两人射击是否击中目标相
3 4
互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲射击 4 次，至少有 1 次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率；
(3)假设每人连续 2 次未击中目标，则终止其射击.问：乙恰好射击 5 次后，被终止射击
的概率为多少？
解：(1)记“甲连续射击 4 次，至少有 1 次未击中目标”为事件 A1，则事件 A1 的对立事
件 A 1 为“甲连续射击 4 次，全部击中目标”.由题意知，射击 4 次相当于做 4 次独立重复
试验.
2 16故 P( A 4 41)＝C4 3 ＝ . 81
16 65
所以 P(A1)＝1－P( A 1)＝1－ ＝ . 81 81
65
所以甲连续射击 4 次，至少有一次未击中目标的概率为 .
81
(2)记“甲射击 4 次，恰好有 2 次击中目标”为事件 A2，“乙射击 4 次，恰好有 3 次击
中目标”为事件 B2，
则 P(A 2
2 22 2 8
2)＝C4× 3 ×
1－
3 ＝ ， 27
3
P(B )＝C3 3
3 27
2 4 × 1－ 1 4 4 ＝ . 64
由于甲、乙射击相互独立，
8 27 1
故 P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝ × ＝ . 27 64 8
1
所以两人各射击 4 次，甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为 .
8
(3)记“乙恰好射击 5 次后，被终止射击”为事件 A3，“乙第 i 次射击未击中”为事件
Di(i＝1,2,3,4,5)，
则 A3＝D5D4 D 3( D 2 D 1∪ D 2D1∪D2 D 1)，
1
且 P(Di)＝ . 4
由于各事件相互独立，故
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P(A3)＝P(D5)P(D4)P( D 3)P( D 2 D 1＋ D 2D1＋D2 D 1)
1 1 3 1 1 45
＝ × × × 1－ × ＝ .
4 4 4 4 4 1 024
45
所以乙恰好射击 5 次后，被终止射击的概率为 .
1 024
B 级
1.箱子里有 5 个黑球，4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重
新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第 4 次取球之后停止的概率为( )
C35C
1
4 5A. B. 3
4
C45 9
×
9
3 1 5C. × D.C1× 3
4
4 9 × 5 4 9
解析：选 B 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取
5 4
的球是白球的情况，此事件发生的概率为 3 9 × . 9
2.已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，
现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯
泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( )
3 2
A. B.
10 9
7 7
C. D.
8 9
解析：选 D 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”，事件 B 为“第 2 次抽到的是
7
3 3 7 7 P(AB) 30 7
卡口灯泡”，则 P(A)＝ ，P(AB)＝ × ＝ .则所求概率为 P(B|A)＝ ＝ ＝ .
10 10 9 30 P(A) 3 9
10
3.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进
行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测
1 1
不合格的概率为 ，第二轮检测不合格的概率为 ，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品
6 10
可以销售，则每件产品获利 40 元；若产品不能销售，则每件产品亏损 80 元.已知一箱中有 4
件产品，记一箱产品获利 X 元，则 P(X≥－80)＝________.
1 1 3
解析：由题意得该产品能销售的概率为 1－ 1－ 6 10 ＝ .易知 X 的所有可能取值为－4
3
320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B 4， 4 ，所以 P(ξ
3 1 －
＝k)＝Ck k 4 k4 4 4 ，
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3 1 27
所以 P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝C2 2 24 4 4 ＝ ， 128
3 1 27
P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝C3 3 14 4 4 ＝ ， 64
3 1 81
P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝C4 4 04 4 4 ＝ ， 256
243
故 P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝ .
256
243
答案：
256
4.从某市的高一学生中随机抽取 400 名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布
直方图.
(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 60 kg 的概率；
(2)假设该市高一学生的体重 X 服从正态分布 N(57，σ2).
①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于 54～57 kg 之间的概率；
②从该市高一学生中随机抽取 3 人，记体重介于 54～57 kg 之间的人数为 Y，利用(1)
的结论，求 Y 的分布列.
1
解：(1)这 400 名学生中，体重超过 60 kg 的频率为(0.04＋0.01)×5＝ ，
4
1
由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 60 kg 的概率为 .
4
(2)①∵X～N(57，σ2)，
1
由(1)知 P(X＞60)＝ ，
4
1
∴P(X＜54)＝ ，
4
1 1
∴P(54＜X＜60)＝1－2× ＝ ，
4 2
1 1 1
∴P(54＜X＜57)＝ × ＝ ，
2 2 4
1
即高一某个学生体重介于 54～57 kg 之间的概率为 .
4
②∵该市高一学生总体很大，∴从该市高一学生中随机抽取 3 人，可以视为独立重复试验，
1
其中体重介于 54～57 kg 之间的人数 Y～B 3， 4 ，
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1 3其中 P(Y＝i)＝Ci i 3
－i
3 4 4 ，i＝0,1,2,3.
∴Y 的分布列为
Y 0 1 2 3
27 27 9 1
P
64 64 64 64
5.为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省
于 2018 年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，
第一阶梯电量：年用电量 2 160 度以下(含 2 160 度)，执行第一档电价 0.565 3 元/度；第二阶
梯电量：年用电量 2 161 至 4 200 度(含 4 200 度)，执行第二档电价 0.615 3 元/度；第三阶梯
电量：年用电量 4 200 度以上，执行第三档电价 0.865 3 元/度.
某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取 10 户，统计其同一年度的用电情况，列表
如下表：
用户
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
编号
年用电 1
1 260 1 400 1 824 2 180 2 423 2 815 3 325 4 411 4 600
量(度) 000
(1)试计算表中编号为 10 的用电户本年度应交电费多少元？
(2)现要在这 10 户家庭中任意选取 4 户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯
电量的户数的分布列；
(3)以表中抽到的 10 户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机
地抽取 10 户，若抽到 k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求 k 的值.
解：(1)因为第二档电价比第一档电价多 0.05 元/度，第三档电价比第一档电价多 0.3 元
/度，编号为 10 的用电户一年的用电量是 4 600 度，则该户本年度应交电费为 4 600×0.565 3
＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元).
(2)由题表可知，10 户中位于第二阶梯电量的有 4 户，设取到第二阶梯电量的用户数为
ξ，则ξ可取 0,1,2,3,4.
C0 44C6 1 C
1 3 2
4C6 8 C4C
2 3 C3 16 4C6 4
P(ξ＝0)＝ 4 ＝ ，P(ξ＝1)＝ 4 ＝ ，P(ξ＝2)＝ ＝ ，P(ξ＝3)＝ ＝ ，C10 14 C10 21 C410 7 C410 35
C4C04 6 1
P(ξ＝4)＝ 4 ＝ ， C10 210
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
1 8 3 4 1
P
14 21 7 35 210
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2
(3)由题意可知从全市中抽取 10 户，用电量为第一阶梯的户数满足 X～B 10， 5 ，可知
2 3 －
P(X＝k)＝Ck k 10 k10 5 · 5 (k＝0,1,2,3，…，10).
2 3 2 3
k k 10－k k＋1 k＋1 9－C ≥C k10 5 5 10 5 5 ，
由
2 3 － － 2 － 3 Ck k 10 k
－
10 5 5 ≥C
k 1 k 1 11 k
10 5 5 ，
17 22
解得 ≤k≤ .又 k∈N*，所以当 k＝4 时概率最大，故 k＝4.
5 5
第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
一、基础知识
1.均值
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离
散型随机变量取值的平均水平.
(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,(2)E(X)是一个实数，由 X 的
分布列唯一确定，即作为随机变量，X 是可变的，可取不同值，而 E(X)是不变的，它描述 X
取值的平均状态.,(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 直接给出了 E(X)的求法，即随机变量取值与
相应概率分别相乘后相加.
2.方差
设离散型随机变量 X 的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
n
则(xi－E(X))2 描述了 xi(i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的偏离程度.而 D(X)＝ (xi－
i＝1
E(X))2pi 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度.称
D(X)为随机变量 X 的方差，并称其算术平方根 D(X)为随机变量 X 的标准差.
(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程
度.D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X 的取值越分散.反之，D(X)越小，X 的取值越集中
在 E(X)附近.,(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.
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