资源简介

第十章 统计与统计案例
第一节 随机抽样
一、基础知识
1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样
本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做
简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
(2)常用方法：抽签法和随机数法．
2．分层抽样
(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一
定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
3．系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制
定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．
(2)系统抽样的步骤
假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本．
①先将总体的 N 个个体编号；
N N
②确定分段间隔 k，对编号进行分段．当 (n 是样本容量)是整数时，取 k＝ ；
n n
当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个
体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行.这时在整个抽样过程中每
个个体被抽取的可能性仍然相等.
③在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本．通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 l＋k，再加 k
得到第 3 个个体编号 l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．
第 784页/共1004页
二、常用结论
(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
(2)系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔 k 的整数倍．
(3)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．
(4)三种抽样方法的特点、联系及适用范围
类别 共同点 各自特点 联系 适用范围
简单随 总体个数
从总体中逐个抽取
机抽样 较少
①抽样过程中每
将总体均分成几部分，按 在起始部分取样
系统 个个体被抽到的 总 体 个 数
预先定出的规则在各部 时，采用简单随
抽样 可能性相等； 较多
分中抽取 机抽样
②每次抽出个体
总 体 由 差
后不再将它放回， 各层抽样时，采
分层 将总体分成几层，分层进 异 明 显 的
即不放回抽样 用简单随机抽样
抽样 行抽取 几 部 分 组
或系统抽样
成
考点一 简单随机抽样
[典例] 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有( )
①从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本；
②盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意
拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③用抽签方法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验；
④某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛．
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．3 个
[解析] ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；
②不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样；③明显为简单随机抽样；④不是简单随机抽样，
因为不是等可能抽样．
[答案] B
[解题技法] 应用简单随机抽样应注意的问题
第 785页/共1004页
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅
匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的
数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的
数字舍去．
[题组训练]
1．总体由编号为 01,02，…，19,20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个
体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，
则选出来的第 5 个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B．07
C．02 D．01
解析：选 D 由随机数法的随机抽样的过程可知选出的 5 个个体是 08,02,14,07,01，所
以第 5 个个体的编号是 01.
2．利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本．若第二次抽取时，余
1
下的每个个体被抽到的概率为 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
3
1 1
A. B.
4 3
5 10
C. D.
14 27
9 1
解析：选 C 根据题意， ＝ ，
n－1 3
解得 n＝28.
10 5
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为 ＝ .
28 14
考点二 系统抽样
[典例] (1)某校为了解 1 000 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规
则)抽取 40 名同学进行检查，将学生从 1～1 000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443，
则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )
A．16 B．17
C．18 D．19
(2)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从 502 名现场观众中抽取 10%进
行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽
第 786页/共1004页
样间隔为________．
[解析] (1)因为从 1 000 名学生中抽取一个容量为 40 的样本，所以系统抽样的分段间隔
1 000
为 ＝25，
40
设第一组随机抽取的号码为 x，
则抽取的第 18 组编号为 x＋17×25＝443，所以 x＝18.
(2)把 502 名观众平均分成 50 组，由于 502 除以 50 的商是 10，余数是 2，所以每组有
10 名观众，还剩 2 名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从 502
名观众中抽取 2 名观众，这 2 名观众不参加座谈；再将剩下的 500 名观众编号为 1,2,3，…，
500
500，并均匀分成 50 段，每段含 ＝10 个个体．所以需剔除 2 个个体，抽样间隔为 10.
50
[答案] (1)C (2)2 10
[变透练清]
1.(变结论)若本例(1)的条件不变，则编号落入区间[501,750]的人数为________．
1 000
解析：从 1 000 名学生中抽取一个容量为 40 的样本，系统抽样分 40 组，每组 ＝25
40
个号码，每组抽取一个，从 501 到 750 恰好是第 21 组到第 30 组，共抽取 10 人．
答案：10
2．(2018·南昌摸底调研)某校高三(2)班现有 64 名学生，随机编号为 0,1,2，…，63，依
编号顺序平均分成 8 组，组号依次为 1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为 8 的样
本，若在第 1 组中随机抽取的号码为 5，则在第 6 组中抽取的号码为________．
64
解析：由题知分组间隔为 ＝8，又第 1 组中抽取的号码为 5，所以第 6 组中抽取的号
8
码为 5×8＋5＝45.
答案：45
[解题技法] 系统抽样中所抽取编号的特点
系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是
第 1 组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所
要抽取的样本号码．
[提醒] 系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽
样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．
考点三 分层抽样
第 787页/共1004页
[典例] 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共
有 20 000 人，其中各种态度对应的人数如下表所示：
最喜爱 喜爱 一般 不喜欢
4 800 7 200 6 400 1 600
电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取 100 人进行详细的调查，为此要
进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( )
A．25,25,25,25 B．48,72,64,16
C．20,40,30,10 D．24,36,32,8
100 1
[解析 ] 法一：因为抽样比为 ＝ ，所以每类人中应抽取的人数分别为
20 000 200
1 1 1 1
4 800× ＝24,7 200× ＝36，6 400× ＝32,1 600× ＝8.
200 200 200 200
法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为 4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶
2，
6 9
所以每类人中应抽取的人数分别为 ×100＝24， ×100＝36，
6＋9＋8＋2 6＋9＋8＋2
8 2
×100＝32， ×100＝8.
6＋9＋8＋2 6＋9＋8＋2
[答案] D
[解题技法] 分层抽样问题的类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比
例式进行计算．
样本容量
(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝ ＝
总体容量
各层样本数量
”．
各层个体数量
[题组训练]
1．(2019·山西五校联考)某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一 1 000
人、高二 1 200 人、高三 n 人中抽取 81 人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为 30，则 n
＝( )
A．860 B．720
C．1 020 D．1 040
30 1 81 1
解析：选 D 由已知条件知抽样比为 ＝ ，从而 ＝ ，解得 n＝
1 200 40 1 000＋1 200＋n 40
1 040，故选 D.
第 788页/共1004页
2.(2018·广州高中综合测试)已知某地区中小学学生人数如图所示．为
了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进
行调查．若高中需抽取 20 名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为
________．
1 200 20
解析：设小学与初中共需抽取的学生人数为 x，依题意可得 ＝ ，
2 700＋2 400＋1 200 x＋20
解得 x＝85.
答案：85
[课时跟踪检测]
1．从 2 019 名学生中选取 50 名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简
单随机抽样法从 2 019 名学生中剔除 19 名学生，剩下的 2 000 名学生再按系统抽样的方法抽
取，则每名学生入选的概率( )
A．不全相等 B．均不相等
50 1
C．都相等，且为 D．都相等，且为
2 019 40
M
解析：选 C 从 N 个个体中抽取 M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于 ，故每
N
50
名学生入选的概率都相等，且为 .
2 019
2．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01,02,03，…，32,33 这 33 个两位号码中
选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第 1 行第 9 列的
数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为( )
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
A.12 B．33
C．06 D．16
解析：选 C 被选中的红色球的号码依次为 17,12,33,06,32,22，所以第四个被选中的红
色球的号码为 06.
3．某班共有学生 52 人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本．已
知 5 号、18 号、44 号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是( )
A．23 B．27
C．31 D．33
第 789页/共1004页
52
解析：选 C 分段间隔为 ＝13，故样本中还有一个同学的座号为 18＋13＝31.
4
4．某工厂在 12 月份共生产了 3 600 双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采
用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为 a，b，c，且 a，b，
c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )
A．800 双 B．1 000 双
C．1 200 双 D．1 500 双
解析：选 C 因为 a，b，c 成等差数列，所以 2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占
抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占 12 月份生
产总数的三分之一，即为 1 200 双皮靴．
5．(2018·南宁摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为
了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样
本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．100,20 B．200,20
C．200,10 D．100,10
解析：选 B 由题图甲可知学生总人数是 10 000，样本容量为 10 000×2%＝200，抽取
的高中生人数是 2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为 50%，所以抽取高中生的
近视人数为 40×50%＝20，故选 B.
6．一个总体中有 100 个个体，随机编号为 0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成 10 个小
组，组号依次为 1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，如果在第一组
随机抽取的号码为 m，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m＋k 的个位数字相同．若 m
＝6，则在第 7 组中抽取的号码是( )
A．63 B．64
C．65 D．66
解析：选 A 若 m＝6，则在第 7 组中抽取的号码个位数字与 13 的个位数字相同，而第
7 组中的编号依次为 60,61,62,63，…，69，故在第 7 组中抽取的号码是 63.
7．采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1,2，…，
960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区
间[1,450]的人做问卷 A，编号落入区间(450,750]的人做问卷 B，其余的人做问卷 C.则抽到的
人中，做问卷 B 的人数为( )
第 790页/共1004页
A．7 B．9
C．10 D．15
解析：选 C 960÷32＝30，故由题意可得抽到的号码构成以 9 为首项，以 30 为公差的
等差数列，其通项公式为 an＝9＋30(n－1)＝30n－21.由 450＜30n－21≤750，解得 15.7＜
n≤25.7.又 n 为正整数，所以 16≤n≤25，故做问卷 B 的人数为 25－16＋1＝10.故选 C.
8．某企业三月中旬生产 A，B，C 三种产品共 3 000 件，根据分层抽样的结果，企业统
计员制作了如下的统计表格：
产品类别 A B C
产品数量(件) 1 300
样本容量(件) 130
由于不小心，表格中 A，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得 A 产品的样
本容量比 C 产品的样本容量多 10，根据以上信息，可得 C 的产品数量是________件．
x
解析：设样本容量为 x，则 ×1 300＝130，∴x＝300.
3 000
∴A 产品和 C 产品在样本中共有 300－130＝170(件)．
设 C 产品的样本容量为 y，则 y＋y＋10＝170，∴y＝80.
3 000
∴C 产品的数量为 ×80＝800(件)．
300
答案：800
9．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽
样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取 100 件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件
数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值
分别为 1 020 小时、980 小时、1 030 小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为
________小时．
解析：第一分厂应抽取的件数为 100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为 1 020×0.5
＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.
答案：50 1 015
10．将参加冬季越野跑的 600 名选手编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽
取一个容量为 50 的样本，把编号分为 50 组后，在第一组的 001 到 012 这 12 个编号中随机
抽得的号码为 004，这 600 名选手穿着三种颜色的衣服，从 001 到 301 穿红色衣服，从 302
第 791页/共1004页
到 496 穿白色衣服，从 497 到 600 穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为________．
解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这 600 名学生按编号依次分成 50 组，每一组
各有 12 名学生，第 k(k∈N*)组抽中的号码是 4＋12(k－1)．令 302≤4＋12(k－1)≤496，得
5
25 ≤k≤42，因此抽到穿白色衣服的选手人数为 42－25＝17(人)．
6
答案：17
11．某初级中学共有学生 2 000 名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到初二年级女生的概率是 0.19.
(1)求 x 的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？
x
解：(1)∵ ＝0.19，∴x＝380.
2 000
(2)初三年级人数为 y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在
48
全校抽取 48 名学生，应在初三年级抽取的人数为 ×500＝12(名)．
2 000
第 792页/共1004页

展开更多......

收起↑