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第三节 变量间的相关关系与统计案例
一、基础知识
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关
系不同，相关关系是一种非确定性关系． 体现的不一定是因果关系.
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称
为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，
称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
^ ^ ^
(2)回归方程为y＝bx＋a，其中
n
(3)通过求Q＝ (yi－bx
2
i－a) 的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到
i＝1
回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当 r＞0 时，表明两个变量正相关；
当 r＜0 时，表明两个变量负相关．
r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于 0，表明
两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相
关性．
3．独立性检验
(1)2×2 列联表
设 X，Y 为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2
列联表)如下：
y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
(2)独立性检验
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n(ad－bc)2
利用随机变量 K2(也可表示为 χ2)的观测值 k＝ (其中 n＝a＋b＋c
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
＋d 为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
二、常用结论
^ ^
(1)求解回归方程的关键是确定回归系数a，b，应充分利用回归直线过样本中心点 ( x ，
y )．
(2)根据 K2 的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若 K2 越大，则两分类变量有关
的把握越大．
^
(3)根据回归方程计算的y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．
考点一 回归分析
考法(一) 求线性回归方程
[典例] (2019·湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量 x，y 的几组数据如下表所
示：
x 2 4 6 8 10
y 3 6 7 10 12
(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；
^ ^ ^
(2)请根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y＝bx＋a，并估计当 x
＝20 时 y 的值．
n
xiyi－n x y
i＝1
^ ^ ^
参考公式：b＝ ，a＝ y －b x .
n
x2i－n x 2
i＝1
[解] (1)散点图如图所示：
第 808页/共1004页
1
(2)依题意， x ＝ ×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
5
1
y ＝ ×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，
5
5 5
x2i＝4＋16＋36＋64＋100＝220， xiyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，
i＝1 i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
^ 272－5×6×7.6 44
∴b＝ ＝ ＝ ＝1.1，
5 220－5×62 40
x2 2i－5 x
i＝1
^
∴a＝7.6－1.1×6＝1，
^
∴线性回归方程为y＝1.1x＋1，故当 x＝20 时，y＝23.
考法(二) 相关系数及应用
[典例] 如图是我国 2012 年至 2018 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明．
7 7 7
参考数据： yi＝9.32， tiyi＝40.17, (y 2i－ y ) ＝0.55, 7≈2.646.
i=1 i=1 i=1
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n
(ti－ t )(yi－ y )
i=1
参考公式：相关系数 r＝ .
n n
(ti－ t )2 (yi－ y )2
i=1 i=1
[解] 由折线图中数据和参考数据及公式得 t ＝4，
7 7
(ti－ t )2＝28, (y 2i－ y ) ＝0.55，
i=1 i=1
7 7 7 2.89
(ti－ t )(yi－ y )＝ tiyi－ t yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈ ≈0.99.
0.55×2×2.646
i=1 i=1 i=1
因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线
性回归模型拟合 y 与 t 的关系．
[解题技法]
1．线性回归分析问题的类型及解题方法
(1)求线性回归方程：
^ ^
①利用公式，求出回归系数b，a.
②待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数．
(2)利用回归方程进行预测：
把回归直线方程看作一次函数，求函数值．
^
(3)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是系数b.
2．模型拟合效果的判断
(1)残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
(2)相关指数 R2 越大，模型的拟合效果越好．
(3)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于 1 时，两变量的线性相
关性越强．
[题组训练]
1．(2019·惠州调研)某商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月平均气温 x(℃)之间的关
系，随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温 x/℃ 17 13 8 2
月销售量 y/件 24 33 40 55
^ ^ ^ ^
由表中数据算出线性回归方程y＝bx＋a中的b＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约
为 6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( )
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A．46 件 B．40 件
C．38 件 D．58 件
^ ^ ^ ^
解析：选 A 由题中数据，得 x ＝10， y ＝38，回归直线y＝bx＋a过点( x ， y )，且b
^ ^
＝－2，代入得a＝58，则回归方程y＝－2x＋58，所以当 x＝6 时，y＝46，故选 A.
2．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间
的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交
车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用 x 表示活动推出的天数，y 表示
每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表：
x 1 2 3 4 5 6 7
y 60 110 210 340 660 1 010 1 960
根据以上数据，绘制了散点图．
参考数据：
7 7
y v x y x v 0.54i i i i 10
i=1 i=1
621 2.54 25 350 78.12 3.47
1 7
其中 vi＝lg yi， v ＝ vi. 7
i=1
(1)根据散点图判断，在推广期内，y＝a＋bx 与 y＝c·dx(c，d 均为大于零的常数)哪一个
适宜作为扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明
理由)
(2)根据(1)的判断结果及上表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程，并预测活动推出第 8
天使用扫码支付的人次．
参考公式：
^ ^ ^
对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βμ 的斜率和截距的
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n
uivi－n u v
i=1
^ ^
最小二乘估计公式分别为 β＝ ，α＝ v －β U .
n
u2i－n u 2
i=1
解：(1)根据散点图可以判断，y＝c·dx 适宜作为扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x
的回归方程类型．
(2)y＝c·dx两边同时取常用对数，得 lg y＝lg(c·dx)＝lg c＋xlg d，
设 lg y＝v，则 v＝lg c＋xlg d.
7
∵ x ＝4， v ＝2.54， x2i＝140，
i=1
7
xivi－7 x v
i=1 78.12－7×4×2.54
∴lg d＝ ≈ 2 ＝0.25，
7 140－7×4
x2i－7 x 2
i=1
把(4,2.54)代入 v＝lg c＋xlg d，得 lg c＝1.54，
^ ^ ＋
∴v＝1.54＋0.25x，∴y＝101.54 0.25x＝101.54·(100.25)x.
^ ＋ ×
把 x＝8 代入上式，得y＝101.54 0.25 8＝103.54＝103×100.54＝3 470，
^
∴y关于 x的回归方程为y＝101.54·(100.25)x，活动推出第 8天使用扫码支付的人次为 3 470.
考点二 独立性检验
[典例] (2018·全国卷Ⅲ节选)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完
成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他
们随机分成两组，每组 20 人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方
式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
(1)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m
和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：
超过 m 不超过 m
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第一种生产方式
第二种生产方式
(2)根据(1)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
n(ad－bc)2
附：K2＝ ，
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
79＋81
[解] (1)由茎叶图知 m＝ ＝80.
2
列联表如下：
超过 m 不超过 m
第一种生产方式 15 5
第二种生产方式 5 15
40(15×15－5×5)2
(2)因为 K2＝ ＝10>6.635，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效
20×20×20×20
率有差异．
[解题技法]
(1)明确两类主体；
2 个明确
(2)明确研究的两个问题
(1)准确画出 2×2 列联表；
2 个关键
(2)准确求解 K2
(1)根据样本数据制成 2×2 列联表；
n(ad－bc)2
3 个步骤 (2)根据公式 K2＝ ，计算 K2 的值；
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
(3)查表比较 K2 与临界值的大小关系，作统计判断
[题组训练]
1．(2019·沧州模拟)某班主任对全班 50 名学生进行了作业量的调查，数据如表：
认为作业量大 认为作业量不大 总计
男生 18 9 27
女生 8 15 23
总计 26 24 50
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已知 P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025，P(K2≥6.635)≈0.010.
则________(填“有”或“没有”)97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大
有关”．
50×(18×15－8×9)2
解析：因为 K2＝ ≈5.059＞5.024，
26×24×27×23
所以有 97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大有关”．
答案：有
2．为考察某种疫苗预防疾病的效果，进行动物试验，得到统计数据如下：
未发病 发病 总计
未注射疫苗 20 x A
注射疫苗 30 y B
总计 50 50 100
2
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为 .
5
(1)求 2×2 列联表中的数据 x，y，A，B 的值．
(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否影响到了发病率？
(3)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为疫苗有效？
n(ad－bc)2
附：K2＝ ，n＝a＋b＋c＋d.
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
临界值表：
P(K2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件 M，
y＋30 2
由已知得 P(M)＝ ＝ ，
100 5
所以 y＝10，则 B＝40，x＝40，A＝60.
40 2
(2)未注射疫苗发病率为 ＝ ≈0.67，
60 3
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10 1
注射疫苗发病率为 ＝ ＝0.25.
40 4
发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到了发病率．
100×(20×10－40×30)2
(3)因为 K2＝ ≈16.67＞10.828.
60×40×50×50
所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为疫苗有效．
[课时跟踪检测]
A 级
1．对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图①，对变量 u，v有
观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断( )
A．变量 x 与 y 正相关，u 与 v正相关
B．变量 x 与 y 正相关，u 与 v负相关
C．变量 x 与 y 负相关，u 与 v正相关
D．变量 x 与 y 负相关，u 与 v负相关
解析：选 C 由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图
②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量 x 与 y 负相关，u 与 v正相关．
2．(2019·长沙模拟)为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支
出费用的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计表：
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购买食品的年支出
2.09 2.15 2.50 2.84 2.92
费用 x/万元
购买水果和牛奶的
1.25 1.30 1.50 1.70 1.75
年支出费用 y/万元
^ ^ ^ ^ ^ ^
根据上表可得回归方程y＝bx＋a，其中b＝0.59，a＝ y －b x ，据此估计，该社区一
户购买食品的年支出费用为 3.00 万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为( )
A．1.795 万元 B．2.555 万元
C．1.915 万元 D．1.945 万元
1 1
解析：选 A x ＝ ×(2.09＋2.15＋2.50＋2.84＋2.92)＝2.50(万元)，y ＝ ×(1.25＋1.30
5 5
^ ^ ^ ^
＋1.50＋1.70＋1.75)＝1.50(万元)，其中b＝0.59，则a＝ y －b x ＝0.025，y＝0.59x＋0.025，
^
故年支出费用为 3.00 万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为y＝0.59×3.00＋0.025＝
1.795(万元)．
3．下面四个命题中，错误的是( )
A．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 15 分钟从中抽取一件产品进行某项指
标检测，这样的抽样是系统抽样
B．对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2的观测值 k 来说，k 越大，“X 与 Y 有关系”的把
握程度越大
C．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 0
^
D．在回归直线方程y＝0.4x＋12 中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量平均
增加 0.4 个单位
解析：选 C 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1，故 C
错误．
4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问 100 名性别
不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘” 能做到“光盘”
男 45 10
女 30 15
则下面的正确结论是( )
附表及公式：
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001
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k0 2.706 3.841 6.635 10.828
n(ad－bc)2
K2＝ ，n＝a＋b＋c＋d.
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
A．有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无
关”
C．在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有
关”
D．有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
解析：选 A 由列联表得到 a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则 a＋b＝55，c＋d＝45，a
＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100，计算得 K2的观测值 k＝
n(ad－bc)2 100×(675－300)2
＝ ≈3.030.因为 2.706<3.030<3.841，
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) 55×45×75×25
所以有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
5．为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了 100 名工人，且规
定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，列出的 2×2 列联表如下：
生产能手 非生产能手 总计
25 周岁以上 25 35 60
25 周岁以下 10 30 40
总计 35 65 100
有________以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”．
100×(25×30－10×35)2
解析：由 2×2 列联表可知，K2＝ ≈2.93，因为 2.93>2.706，所
40×60×35×65
以有 90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”．
答案：90%
6．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存
款(年底余额)如下表：
年份 2014 2015 2016 2017 2018
时间代号 t 1 2 3 4 5
储蓄存款 y
5 6 7 8 10
(千亿元)
则 y 关于 t 的回归方程是________________．
第 817页/共1004页
1 n 15 1 n 36
解析：由表中数据得 n＝5， t ＝ ti＝ ＝3， y ＝ yi＝ ＝7.2. n 5 n 5
i=1 i=1
n
又 t2－n t 2＝55－5×32i ＝10，
i=1
n
tiyi－n t y ＝120－5×3×7.2＝12.
i=1
n
tiyi－n t y
i=1
^ 12
从而b＝ ＝ ＝1.2，
n 10
t2i－n t 2
i=1
^ ^
a＝ y －b t ＝7.2－1.2×3＝3.6，
^
故所求回归方程为y＝1.2t＋3.6.
^
答案：y＝1.2t＋3.6
7．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定
此次广告费支出．广告费支出 x(万元)和销售量 y(万台)的数据如下：
年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
广告费支
1 2 4 6 11 13 19
出 x
销售量 y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
(1)若用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求出 y 关于 x 的线性回归方程；
^
(2)若用 y＝c＋d x模型拟合 y 与 x 的关系，可得回归方程y＝1.63＋0.99 x，经计算线性
回归模型和该模型的 R2分别约为 0.75 和 0.88，请用 R2 说明选择哪个回归模型更好；
(3)已知利润 z 与 x，y 的关系为 z＝200y－x.根据(2)的结果，求当广告费 x＝20 时，销售
量及利润的预报值．
^ ^ ^
参考公式：回归直线y＝a＋bx 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
n n
xiyi－n x y (xi－ x )(yi－ y )
i=1 i=1
^ ^ ^
b＝ ＝ ，a＝ y －b x .
n n
x2i－n x 2 (xi－ x )2
i=1 i=1
参考数据： 5≈2.24.
7 7
解：(1)∵ x ＝8， y ＝4.2， xiyi＝279.4， x2i＝708，
i=1 i=1
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7
xiyi－7 x y
i=1
^ 279.4－7×8×4.2 ^ ^
∴b＝ ＝ 2 ＝0.17，a＝ y －b x ＝4.2－0.17×8＝2.84，
7 708－7×8
x2i－7 x 2
i=1
^
∴y 关于 x 的线性回归方程为y＝0.17x＋2.84.
(2)∵0.75＜0.88 且 R2 越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，
^
∴选用y＝1.63＋0.99 x更好．
^
(3)由(2)知，当 x＝20 时，销售量的预报值y＝1.63＋0.99 20≈6.07(万台)，利润的预报
值 z＝200×(1.63＋0.99 20)－20≈1 193.04(万元)．
B 级
1．(2018·江门一模)为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用“传统教学”和“导
学案”两种教学方式分别在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，
分别从两个班级各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，得到如下茎叶图．记成绩不低于 70
分者为“成绩优良”.
(1)请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由；
(2)构造一个教学方式与成绩优良的 2×2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过
0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．
n(ad－bc)2
附：K2＝ ，其中 n＝a＋b＋c＋d.
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
临界值表：
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
解：(1)“导学案”教学方式教学效果更佳．
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理由 1：乙班样本数学成绩大多在 70 分以上，甲班样本数学成绩 70 分以下的明显更多．
理由 2：甲班样本数学成绩的平均分为 70.2；乙班样本数学成绩的平均分为 79.05.
68＋72
理由 3：甲班样本数学成绩的中位数为 ＝70，乙班样本数学成绩的中位数为
2
77＋78
＝77.5.
2
(2)2×2 列联表如下：
甲班 乙班 总计
成绩优良 10 16 26
成绩不优良 10 4 14
总计 20 20 40
40×(10×4－10×16)2
由上表数据可得 K2＝ ≈3.956＞3.841，
20×20×26×14
所以能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．
2.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各
类蔬菜．过去 50 周的资料显示，该地周光照量 X(单位：小时)都
在 30 小时以上，其中不足 50 小时的有 5 周，不低于 50 小时且不
超过 70 小时的有 35 周，超过 70 小时的有 10 周．根据统计，该
基地的西红柿增加量 y(千克)与使用某种液体肥料的质量 x(千克)之间的对应数据为如图所示
的折线图．
(1)依据折线图计算相关系数 r(精确到 0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合 y
与 x 的关系；(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但
每周光照控制仪运行台数受周光照量 X 限制，并有如下关系：
周光照量 X/小时 30＜X＜50 50≤X≤70 X＞70
光照控制仪运行台数 3 2 1
对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为 3 000 元；若
某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损 1 000 元．若商家安装了 3 台光照控制仪，
求商家在过去 50 周的周总利润的平均值．
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n
(xi－ x )(yi－ y )
i=1
相关系数公式：r＝ ，
n n
(xi－ x )2 (yi－ y )2
i=1 i=1
参考数据： 0.3≈0.55， 0.9≈0.95.
2＋4＋5＋6＋8
解：(1)由已知数据可得 x ＝ ＝5，
5
3＋4＋4＋4＋5
y ＝ ＝4.
5
5
因为 (xi－ x )(yi－ y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，
i=1
5
(xi－ x )2＝ (－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝2 5，
i=1
5
(y － y )2i ＝ (－1)2＋02＋02＋02＋12＝ 2，
i=1
5
(xi－ x )(yi－ y )
i=1 6
所以相关系数 r＝ ＝ ＝ 0.9≈0.95.
5 5 2 5× 2
(xi－ x )2 (y － y )2i
i=1 i=1
因为|r|＞0.75，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系．
(2)由条件可得在过去 50 周里，
当 X＞70 时，共有 10 周，此时只有 1 台光照控制仪运行，
每周的周总利润为 1×3 000－2×1 000＝1 000(元)．
当 50≤X≤70 时，共有 35 周，此时有 2 台光照控制仪运行，
每周的周总利润为 2×3 000－1×1 000＝5 000(元)．
当 30＜X＜50 时，共有 5 周，此时 3 台光照控制仪都运行，
每周的周总利润为 3×3 000＝9 000(元)．
所以过去 50 周的周总利润的平均值为
1 000×10＋5 000×35＋9 000×5
＝4 600(元)，
50
所以商家在过去 50 周的周总利润的平均值为 4 600 元．
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