资源简介

第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、基础知识
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
sin α
(2)商数关系：tan α＝ .
cos α
π
平方关系对任意角都成立，而商数关系中 α≠kπ＋ (k∈Z)．
2
2．诱导公式
一 二 三 四 五 六
2kπ＋
π π
π＋α －α π－α －α ＋α
α(k∈Z) 2 2
sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α
cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α
tan α tan α －tan α －tan_α
π
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中
2
的 k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦
π
互变；若 k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将 α看
2
π
成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限.
2
二、常用结论
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
π
(2)sin α＝tan αcos α α≠ ＋kπ，k∈Z 2 .
第 262页/共1004页
考点一 三角函数的诱导公式
π
cos ＋α
3π
2 sin
－α
2 25π
[典例] (1)已知 f(α)＝ ，则 f －
cos(－π－α)tan(π－α) 3
的值为________．
π 2 2π
(2)已知 cos －α ＝ ，则 sin α－ 6 3 ＝________. 3
π 3πcos ＋α －α 2 sin 2
[解析] (1)因为 f(α)＝
cos(－π－α)tan(π－α)
－sin α(－cos α)
＝ ＝cos α，
sin α(－cos α) － cos α
25π 25π π 1所以 f － 3 ＝cos
－
3 ＝cos ＝ . 3 2
2π
(2)sin α－ ＝－sin
2π π π π π
－α
3 3 ＝－sin
π－ ＋α ＝－sin ＋α 3 3 ＝－sin
－ －α ＝－
2 6
π 2
cos －α 6 ＝－ . 3
1 2
[答案] (1) (2)－
2 3
[题组训练]
1 3π π1.已知 tan α＝ ，且 α∈ π， 2 ，则 cos
α－
2 2 ＝________.
π 3π
解析：法一：cos α－ 2 ＝sin α，由 α∈
π，
2 知 α为第三象限角，
sin α 1 tan α＝ ＝ ， 5
联立 cos α 2 解得 5sin2α＝1，故 sin α＝－ .
5
sin2α＋cos2α＝1，
π
法二：cos α－
3π 1
2 ＝sin α，由 α∈
π，
2 知 α为第三象限角，由 tan α＝ ，可知点(－2，2
5
－1)为 α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得 sin α＝－ .
5
5
答案：－
5
2. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.
解析：原式＝ sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)
sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝
3 1
＋ ＋1＝2.
4 4
答案：2
第 263页/共1004页
π 3 5π3.已知 tan －α ＋α 6 ＝ ，则 tan 6 ＝________. 3
5π π π π 3解析：tan ＋α 6 ＝tan
π－ ＋α －α －α
6 ＝tan π－ 6 ＝－tan 6 ＝－ . 3
3
答案：－
3
考点二 同角三角函数的基本关系及应用
sin α＋cos α
[典例] (1)若 tan α＝2，则 ＋cos2α＝( )
sin α－cos α
16 16
A. B．－
5 5
8 8
C. D．－
5 5
3 π π
(2)已知 sin αcos α＝ ，且 <α< ，则 cos α－sin α的值为( )
8 4 2
1 1
A. B．±
2 2
1 1
C．－ D．－
4 2
sin α＋cos α
[解析] (1) ＋cos2α
sin α－cos α
sin α＋cos α cos2α
＝ ＋
sin α－cos α sin2α＋cos2α
tan α＋1 1
＝ ＋ ，
tan α－1 tan2α＋1
16
将 tan α＝2 代入上式，则原式＝ .
5
3
(2)因为 sin αcos α＝ ，所以(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α
8
3 1 π π
＝1－2× ＝ ，因为 <α< ，所以 cos α8 4 4 2
1
所以 cos α－sin α＝－ .
2
[答案] (1)A (2)D
第 264页/共1004页
[题组训练]
4
1．(2018·甘肃诊断)已知 tan φ＝ ，且角 φ的终边落在第三象限，则 cos φ＝( )
3
4 4
A. B．－
5 5
3 3
C. D．－
5 5
4
解析：选 D 因为角 φ的终边落在第三象限，所以 cos φ<0，因为 tan φ＝ ，
3
sin2φ＋cos2φ＝1，
sin φ 4 3
所以 ＝ ，cos φ 3 解得 cos φ＝－ . 5 cos φ<0，
2．已知 tan θ＝3，则 sin2θ＋sin θcos θ＝________.
sin2θ＋sin θcos θ tan2θ＋tan θ 32＋3 6
解析：sin2θ＋sin θcos θ＝ 2 2 ＝ ＝ ＝ . sin θ＋cos θ tan2θ＋1 32＋1 5
6
答案：
5
sin α＋3cos α
3．已知 ＝5，则 sin2α－sin αcos α＝________.
3cos α－sin α
解析：由已知可得 sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，
sin α
即 sin α＝2cos α，所以 tan α＝ ＝2，
cos α
sin2α－sin αcos α tan2α－tan α 22－2
从而 sin2
2
α－sin αcos α＝ ＝ ＝ ＝ .
sin2α＋cos2α tan2α＋1 22＋1 5
2
答案：
5
1
4．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－ ，则 cos α－sin α的值为________．
5
1
解析：由已知，得 sin α＋cos α＝ ，
5
1
sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝ ，
25
24
整理得 2sin αcos α＝－ .
25
49
因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝ ，
25
且－π<α<0，所以 sin α<0，cos α>0，
7
所以 cos α－sin α>0，故 cos α－sin α＝ .
5
第 265页/共1004页
7
答案：
5
[课时跟踪检测]
A 级
π 4
1．已知 x∈ － ，0 2 ，cos x＝ ，则 tan x 的值为( ) 5
3 3
A. B．－
4 4
4 4
C. D．－
3 3
π 3 sin x
解析：选 B 因为 x∈ － ，0 2 ，所以 sin x＝－ 1－cos
2x＝－ ，所以 tan x＝ ＝－
5 cos x
3
.
4
π 1 π
2．(2019·淮南十校联考)已知 sin α－ 3 ＝ ，则 cos
α＋
6 的值为( ) 3
1 1
A．－ B.
3 3
2 2 2 2
C. D．－
3 3
π 1 π π π π
解析：选 A ∵sin α－ ＝ ，∴cos α＋ ＝cos ＋ α－ ＝－sin α－
1
3 6 3 3 ＝－ . 3 2 3
11π 10π
3．计算：sin ＋cos 的值为( )
6 3
A．－1 B．1
1 3
C．0 D. －
2 2
π π
解析：选 A 原式＝sin 2π－ ＋cos 3π＋ 6 3
π π 1 1
＝－sin －cos ＝－ － ＝－1.
6 3 2 2
sin(π－θ)＋cos(θ－2π) 1
4．若 ＝ ，则 tan θ的值为( )
sin θ＋cos(π＋θ) 2
A．1 B．－1
C．3 D．－3
sin(π－θ)＋cos(θ－2π) sin θ＋cos θ 1
解析：选 D 因为 ＝ ＝ ，
sin θ＋cos(π＋θ) sin θ－cos θ 2
所以 2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，
所以 sin θ＝－3cos θ，所以 tan θ＝－3.
第 266页/共1004页
π 3π 1
5．(2018·大庆四地六校调研)若 α是三角形的一个内角，且 sin ＋α ＋cos ＋α 2 2 ＝ ，5
则 tan α的值为( )
4 3
A．－ B．－
3 4
4 3
C．－ 或－ D．不存在
3 4
π 3π 1
解析：选 A 由 sin ＋α ＋α 2 ＋cos 2 ＝ ， 5
1 24
得 cos α＋sin α＝ ，∴2sin αcos α＝－ <0.
5 25
∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，
7
∴sin α－cos α＝ 1－2sin αcos α＝ ，
5
4 3
∴sin α＝ ，cos α＝－ ，
5 5
4
∴tan α＝－ .
3
π6．在△ABC 中， 3sin －A 2 ＝3sin(π－A)，且 cos A＝－ 3cos(π－B)，则△ABC 为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
π 3 π
解析：选 B 将 3sin －A 2 ＝3sin(π－A)化为 3cos A＝3sin A，则 tan A＝ ，则 A＝ ，3 6
π 1 π
将 cos A＝－ 3cos(π－B)化为 cos ＝ 3cos B，则 cos B＝ ，则 B＝ ，故△ABC 为直角三角
6 2 3
形．
1－cos22θ
7．化简： ＝________.
cos 2θtan 2θ
1－cos22θ sin22θ
解析： ＝ ＝sin 2θ.
cos 2θtan 2θ sin 2θ
cos 2θ·
cos 2θ
答案：sin 2θ
π
cos α－ 2
8．化简： ·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________.
5π
sin ＋α 2
π
cos －α 2
解析：原式＝ ·(－sin α)·cos α
π
sin 2π＋ ＋α 2
第 267页/共1004页
sin α
＝ ·(－sin α)·cos α
sin
π
＋α
2
sin α
＝ ·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
cos α
答案：－sin2α
4π 5π 4π
9．sin ·cos ·tan － 3 的值为________． 3 6
π π π
解析：原式＝sin π＋ π－ －π－ 3 ·cos 6 ·tan 3
π
＝ －sin
π π
3 ·
－cos －tan
6 · 3
3 3＝ ×
3 3
－ － ×(－ 3)＝－ .
2 2 4
3 3
答案：－
4
1
10．(2019·武昌调研)若 tan α＝cos α，则 ＋cos4α＝________.
sin α
sin α 1 sin2α＋cos2α
解析：tan α＝cos α ＝cos α sin α＝cos2α，故 ＋cos4α＝ ＋cos4α
cos α sin α sin α
cos2α sin α
＝sin α＋ ＋cos4α＝sin α＋ ＋sin2α＝sin2α＋sin α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.
sin α sin α
答案：2
11．已知 α为第三象限角，
π 3π
sin α－ 2 ·cos
＋α
2 ·tan(π－α)
f(α)＝ .
tan(－α－π)·sin(－α－π)
(1)化简 f(α)；
3π 1
(2)若 cos α－ 2 ＝ ，求 f(α)的值． 5
π 3πsin α－ ·cos ＋α 2 2 ·tan(π－α)
解：(1)f(α)＝
tan(－α－π)·sin(－α－π)
(－cos α)·sin α·(－tan α)
＝ ＝－cos α.
(－tan α)·sin α
(2)∵cos
3π 1α－
2 ＝ ， 5
1 1
∴－sin α＝ ，从而 sin α＝－ .
5 5
又∵α为第三象限角，
2 6
∴cos α＝－ 1－sin2α＝－ ，
5
第 268页/共1004页
2 6
∴f(α)＝－cos α＝ .
5
sin
5π
＋α
2 5 2
12．已知 sin α＝ ，求 tan(α＋π)＋ 的值．
5 5πcos －α 2
2 5
解：因为 sin α＝ >0，
5
所以 α为第一或第二象限角．
5π
sin ＋α 2
tan(α＋π)＋
5πcos －α 2
cos α sin α cos α
＝tan α＋ ＝ ＋
sin α cos α sin α
1
＝ .
sin αcos α
5
①当 α为第一象限角时，cos α＝ 1－sin2α＝ ，
5
1 5
原式＝ ＝ .
sin αcos α 2
5
②当 α为第二象限角时，cos α＝－ 1－sin2α＝－ ，
5
1 5
原式＝ ＝－ .
sin αcos α 2
5 5
综合①②知，原式＝ 或－ .
2 2
B 级
1 1－tan α
1．已知 sin α＋cos α＝ ，α∈(0，π)，则 ＝( )
2 1＋tan α
A．－ 7 B. 7
C. 3 D．－ 3
1
解析：选 A 因为 sin α＋cos α＝ ，
2
所以(sin α＋cos α)2
1
＝1＋2sin αcos α＝ ，
4
3
所以 sin αcos α＝－ ，又因为 α∈(0，π)，
8
所以 sin α>0，cos α<0，所以 cos α－sin α<0，
3 7
因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2× － 8 ＝ ， 4
第 269页/共1004页
7
所以 cos α－sin α＝－ ，
2
sin α 7
1－ －
1－tan α cos α cos α－sin α 2
所以 ＝ ＝ ＝ ＝－ 7.
1＋tan α sin α cos α＋sin α 1
1＋
cos α 2
2
2．已知 θ是第一象限角，若 sin θ－2cos θ＝－ ，则 sin θ＋cos θ＝________.
5
2
解析：∵sin θ－2cos θ＝－ ，
5
2
∴sin θ＝2cos θ－ ，
5
2
∴ 2cos θ－ 2 5 ＋cos
2θ＝1，
2 8 21∴5cos θ－ cos θ－ ＝0，
5 25
3 7
即 cos θ－ 5cos θ＋ 5 5 ＝0.
3
又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝ ，
5
4 7
∴sin θ＝ ，∴sin θ＋cos θ＝ .
5 5
7
答案：
5
3．已知关于 x 的方程 2x2－( 3＋1)x＋m＝0 的两根分别是 sin θ和 cos θ，θ∈(0,2π)，求：
sin2θ cos θ
(1) ＋ 的值；
sin θ－cos θ 1－tan θ
(2)m 的值；
(3)方程的两根及此时 θ的值．
sin2θ cos θ
解：(1)原式＝ ＋
sin θ－cos θ sin θ
1－
cos θ
sin2θ cos2θ
＝ ＋
sin θ－cos θ cos θ－sin θ
sin2θ－cos2θ
＝ ＝sin θ＋cos θ.
sin θ－cos θ
3＋1
由条件知 sin θ＋cos θ＝ ，
2
sin2θ cos θ 3＋1
故 ＋ ＝ .
sin θ－cos θ 1－tan θ 2
3＋1 m
(2)由已知，得 sin θ＋cos θ＝ ，sin θcos θ＝ ，
2 2
第 270页/共1004页
因为 1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，
m 3＋1 3
所以 1＋2× ＝ 2，解得 m＝ . 2 2 2
3＋1 sin θ＋cos θ＝ ，2
(3)由
3
sin θcos θ＝ ， 4
3 1 sin θ＝ ， sin θ＝ ，2 2
得 或
1 3
cos θ＝ cos θ＝ . 2 2
π π
又 θ∈(0,2π)，故 θ＝ 或 θ＝ .
3 6
3 1 π
故当 sin θ＝ ，cos θ＝ 时，θ＝ ；
2 2 3
1 3 π
当 sin θ＝ ，cos θ＝ 时，θ＝ .
2 2 6
第 271页/共1004页

展开更多......

收起↑