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第四章 三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、基础知识
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
(2)分类
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，可构成一个集合 S＝{β|β
＝α＋2kπ，k∈Z}．
终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.
(2)公式：
l
角 α的弧度数公式 |α|＝ (l 表示弧长)
r
π 180
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝ °
180 π
弧长公式 l＝|α|r
1 1
扇形面积公式 S＝ lr＝ |α|r2
2 2
有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是 π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，
不可混用．
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
3．任意角的三角函数
(1)定义：设 α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝y，cos α
y
＝x，tan α＝ (x≠0)．
x
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x 轴上，
余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做
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角 α的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
(2)三角函数定义的推广
y x
设点 P(x，y)是角 α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则 sin α＝ ，cos α＝ ，
r r
y
tan α＝ (x≠0)．
x
(3)象限角
(4)轴线角
考点一 象限角及终边相同的角
α
[典例] (1)若角 α是第二象限角，则 是( )
2
A．第一象限角 B．第二象限角
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C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
(2)终边在直线 y＝ 3x 上，且在[－2π，2π)内的角 α的集合为________．
[解析] (1)∵α是第二象限角，
π
∴ ＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
2
π α π
∴ ＋kπ< < ＋kπ，k∈Z.
4 2 2
α
当 k 为偶数时， 是第一象限角；
2
α
当 k 为奇数时， 是第三象限角．故选 C.
2
π
(2)如图，在坐标系中画出直线 y＝ 3x，可以发现它与 x 轴的夹角是 ，
3
π 4π
在[0,2π)内，终边在直线 y＝ 3x 上的角有两个： ， ；在[－2π，0)内满足
3 3
2π 5π
条件的角有两个：－ ，－ ，故满足条件的角 α 构成的集合为
3 3
5π 2π π 4π
－ ，－ ， ， .
3 3 3 3
5π 2π π 4π
[答案] (1)C (2) － ，－ ， ，
3 3 3 3

[题组训练]
π
1．集合 α kπ≤α≤kπ＋ ，k∈Z 4 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
π π
解析：选 B 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋ (n∈Z)，此时 α的终边和 0≤α≤ 的终
4 4
π
边一样，当 k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，此时 α的终边和 π≤α≤π
4
π
＋ 的终边一样．
4
2．在－720°～0°范围内所有与 45°终边相同的角为________．
解析：所有与 45°终边相同的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，
得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，
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765 45
解得－ ≤k<－ (k∈Z)，
360 360
从而 k＝－2 或 k＝－1，
代入得 β＝－675°或 β＝－315°.
答案：－675°或－315°
考点二 三角函数的定义
5 1 1
[典例] 已知角 α的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－ ，则 ＋ ＝________.
13 sin α tan α
5
[解析] ∵角 α的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－ ，
13
－x 5
∴cos α＝ ＝－ ，
x2＋36 13
5 5
解得 x＝ 或 x＝－ (舍去)，
2 2
5 12
∴P － ，－6 2 ，∴sin α＝－ ， 13
sin α 12 1 1 13 5 2
∴tan α＝ ＝ ，则 ＋ ＝－ ＋ ＝－ .
cos α 5 sin α tan α 12 12 3
2
[答案] －
3
[解题技法]
用定义法求三角函数值的 2 种类型及解题方法
(1)已知角 α终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数的
定义求解．
(2)已知角 α 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点
的距离，然后用三角函数的定义来求解．
[题组训练]
1
1．已知角 α的终边经过点(3，－4)，则 sin α＋ ＝( )
cos α
1 37
A．－ B.
5 15
37 13
C. D.
20 15
4 3 1
解析：选 D ∵角 α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－ ，cos α＝ ，∴sin α＋ ＝
5 5 cos α
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4 5 13
－ ＋ ＝ .
5 3 15
2．已知角 θ的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则
cos 2θ＝( )
4 3
A．－ B．－
5 5
3 4
C． D．
5 5
t
解析：选 B 设 P(t,2t)(t≠0)为角 θ终边上任意一点，则 cos θ＝ .当 t>0 时，cos θ＝
5|t|
5 5 2 3
；当 t<0 时，cos θ＝－ .因此 cos 2θ＝2cos2θ－1＝ －1＝－ .
5 5 5 5
考点三 三角函数值符号的判定
cos α
[典例] 若 sin αtan α<0，且 <0，则角 α是( )
tan α
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由 sin αtan α<0 可知 sin α，tan α异号，
则 α为第二象限角或第三象限角．
cos α
由 <0 可知 cos α，tan α异号，
tan α
则 α为第三象限角或第四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
[答案] C
[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断
三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ 在一、二象限为
正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.
学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如 sin θ在一、二象限为正，
那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，
π
如 sin ＝1>0，cos π＝－1<0.
2
[题组训练]
1．下列各选项中正确的是( )
A．sin 300°>0 B．cos(－305°)<0
22π
C．tan － 3 >0 D．sin 10<0
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解析：选 D 300°＝360°－60°，则 300°是第四象限角，故 sin 300°<0；－305°＝－360°
22π 2π 22π
＋55°，则－305°是第一象限角，故 cos(－305°)>0；－ ＝－8π＋ ，则－ 是第二象限
3 3 3
22π 7π角，故 tan － 3 <0；3π<10< ，则 10 是第三象限角，故 sin 10<0，故选 D. 2
2．已知点 P(cos α，tan α)在第三象限，则角 α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
cos α<0， cos α<0，
解析：选 B 由题意得 所以角 α的终边在第二象限． tan α<0 sin α>0，
[课时跟踪检测]
A 级
1．已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
1 1
解析：选 C 设扇形的半径为 r(r>0)，弧长为 l，则由扇形面积公式可得 2＝ lr＝ |α|r2
2 2
1
＝ ×4×r2，解得 r＝1，l＝|α|r＝4，所以所求扇形的周长为 2r＋l＝6.
2
2．(2019·石家庄模拟)已知角 α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则
α＝( )
A．150° B．135°
C．300° D．60°
1 3
解析：选 C 由 sin 150°＝ >0，cos 150°＝－ <0，可知角 α 终边上一点的坐标为
2 2
1 3 3
，－ ，故该点在第四象限，由三角函数的定义得 sin α＝－ ，因为 0°≤α<360°，所以
2 2 2
角 α为 300°.
3．(2018·长春检测)若角 α的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线
y＝－ 3x 上，则角 α的取值集合是( )
π 2π
A. α α＝2kπ－ ，k∈Z B. α α＝2kπ＋ ，k∈Z 3 3
2π π
C. α α＝kπ－ ，k∈Z D. α α＝kπ－ ，k∈Z 3 3
2π
解析：选 D 当 α的终边在射线 y＝－ 3x(x≤0)上时，对应的角为 ＋2kπ，k∈Z，当
3
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π
α的终边在射线 y＝－ 3x(x≥0)上时，对应的角为－ ＋2kπ，k∈Z，所以角 α的取值集合是
3

α
π
α＝kπ－ ，k∈Z
3 .
4．已知角 α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 cos α≤0，sin α＞0，则实数 a 的取值范围
是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
解析：选 A 由 cos α≤0，sin α＞0 可知，角 α的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上，
3a－9≤0，
所以有
a＋2＞0，
解得－2＜a≤3.
5．在平面直角坐标系 xOy 中，α为第二象限角，P(－ 3，y)为其终边上一点，且 sin α
2y
＝ ，则 y 的值为( )
4
A. 3 B．－ 5
C. 5 D. 3或 5
y 2y
解析：选C 由题意知|OP|＝ 3＋y2，则 sin α＝ ＝ ，解得 y＝0(舍去)或 y＝± 5，
3＋y2 4
因为 α为第二象限角，所以 y>0，则 y＝ 5.
π sin θ cos θ tan θ
6．已知角 α＝2kπ－ (k∈Z)，若角 θ与角 α的终边相同，则 y＝ ＋ ＋ 的
5 |sin θ| |cos θ| |tan θ|
值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
π
解析：选 B 由 α＝2kπ－ (k∈Z)及终边相同的概念知，角 α的终边在第四象限，因为
5
角 θ与角 α的终边相同，所以角 θ是第四象限角，所以 sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
所以 y＝－1＋1－1＝－1.
3π 3π
7．已知一个扇形的圆心角为 ，面积为 ，则此扇形的半径为________．
4 2
3π 1 3π
解析：设此扇形的半径为 r(r>0)，由 ＝ × ×r2，得 r＝2.
2 2 4
答案：2
8．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，60°角终边上一点 P 的坐标为(1，
m)，则实数 m 的值为________．
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m
解析：∵60°角终边上一点 P 的坐标为(1，m)，∴tan 60°＝ ，∵tan 60°＝ 3，∴m＝ 3.
1
答案： 3
9．若 α＝1 560°，角 θ与 α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则 θ＝________.
解析：因为 α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与 α终边相同的角为 360°×k＋120°，k∈Z，
令 k＝－1 或 k＝0，可得 θ＝－240°或 θ＝120°.
答案：120°或－240°
10．在直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，A( 3，1)，将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B
点，则 B 点坐标为__________．
解析：依题意知 OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点 B 坐标为(x，y)，
则 x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝ 3，即 B(－1， 3)．
答案：(－1， 3)
1 1
11．已知 ＝－ ，且 lg(cos α)有意义．
|sin α| sin α
(1)试判断角 α所在的象限；
3
(2)若角 α的终边上一点 M ，m 5 ，且|OM|＝1(O 为坐标原点)，求 m 的值及 sin α的值．
1 1
解：(1)由 ＝－ ，得 sin α<0，
|sin α| sin α
由 lg(cos α)有意义，可知 cos α>0，
所以 α是第四象限角．
3 4
(2)因为|OM|＝1，所以 2 2 5 ＋m ＝1，解得 m＝± . 5
又因为 α是第四象限角，所以 m<0，
4
从而 m＝－ ，
5
4
－
y m 5 4
sin α＝ ＝ ＝ ＝－ .
r |OM| 1 5
12．已知 α为第三象限角．
α
(1)求角 终边所在的象限；
2
α α α
(2)试判断 tan sin cos 的符号．
2 2 2
3π
解：(1)由 2kπ＋π＜α＜2kπ＋ ，k∈Z，
2
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π α 3π
得 kπ＋ ＜ ＜kπ＋ ，k∈Z，
2 2 4
α
当 k 为偶数时，角 终边在第二象限；
2
α
当 k 为奇数时，角 终边在第四象限．
2
α
故角 终边在第二或第四象限．
2
α
(2)当角 在第二象限时，
2
α α α
tan ＜0，sin ＞0, cos ＜0，
2 2 2
α α α
所以 tan sin cos 取正号；
2 2 2
α
当角 在第四象限时，
2
α α α
tan ＜0，sin ＜0, cos ＞0，
2 2 2
α α α
所以 tan sin cos 也取正号．
2 2 2
α α α
因此 tan sin cos 取正号．
2 2 2
B 级
3π π
1．若－ <α<－ ，从单位圆中的三角函数线观察 sin α，cos α，tan α的大小是( )
4 2
A．sin αC．sin α解析：选 C 如图所示，作出角 α的正弦线 MP，余弦线 OM，正切线
3π π
AT，因为－ <α<－ ，所以 α 终边位置在图中的阴影部分，观察可得
4 2
AT>OM>MP，故有 sin α2．已知点 P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，且 α∈[0,2π]，则角 α的取值范围是( )
π 3π 5π π πA. ， ∪ π， ，
5π
π，
2 4 4 B. 4 2 ∪ 4
π 3π 5π 3π π π 3πC. ， ， ， ，π 2 4 ∪ 4 2 D. 4 2 ∪ 4
sin α－cos α>0， sin α>cos α，
解析：选 B 因为点 P 在第一象限，所以 即
tan α>0， tan α>0.
由 tan α>0 可知角 α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．
又 sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角 α的终边在如图所示
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π π 5π的阴影部分(不包括边界)，即角 α的取值范围是 ， ∪ π， 4 2 4 .
3．已知角 θ的终边过点 P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求 sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断 cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
解：(1)因为角 θ的终边过点 P(－4a,3a)(a≠0)，
所以 x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
3 4 1
当 a＞0 时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝ － ＝－ ；
5 5 5
3 4 1
当 a＜0 时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－ ＋ ＝ .
5 5 5
3 π
(2)当 a＞0 时，sin θ＝ ∈ 0，
5 2 ，
4 π
cos θ＝－ ∈ － ，0
5 2 ，
3 4
则 cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin － ＜0；
5 5
3 π
当 a＜0 时，sin θ＝－ ∈ － ，0 2 ， 5
4 πcos θ＝ ∈ 0， 2 ， 5
3 4
则 cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos － 5 ·sin ＞0. 5
综上，当 a＞0 时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；
当 a＜0 时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
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