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第四节 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
一、基础知识
1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
y＝Asin(ωx＋φ)
2π 1 ω
(A>0，ω>0) A T＝ f＝ ＝ ωx＋φ φ
ω T 2π
2．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图
用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表
所示：
π 3π
ωx＋φ 0 π 2π
2 2
φ π φ π－φ 3π φ 2π－φ
x － －
ω 2ω ω
－
ω 2ω ω
ω
y＝Asin(ωx＋
0 A 0 －A 0
φ)
3．由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
(1)两种变换的区别
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①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变
|φ|
换)再相位变换，平移的量是 (ω>0)个单位长度．
ω
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量 x 而言的，即图象变换要看“自变量 x”发
生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
考点一 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[典例] (1)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则
函数 f(x)的解析式为( )
1 π
A．f(x)＝2sin x＋ 2 4
1 3π
B．f(x)＝2sin x＋ 2 4
1 3πC．f(x)＝2sin x＋ 4 4
π
D．f(x)＝2sin 2x＋ 4
π π
(2)(2019·皖南八校联考)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，－ ≤φ≤ 2 2 的图象上的一个最
1
高点和它相邻的一个最低点的距离为 2 2，且过点 2，－ 2 ，则函数 f(x)＝________________.
3π π 2π 1
[解析] (1)由题图可知 A＝2，T＝2× － － 2 ＝4π，故 ＝4π，解得 ω＝ . 2 ω 2
1
所以 f(x)＝2sin x＋φ 2 .
把点
π 1 π
－ ，2
2 代入可得 2sin
× －
2 2
＋φ ＝2，

π π π即 sin φ－ 4 ＝1，所以 φ－ ＝2kπ＋ (k∈Z)， 4 2
3π
解得 φ＝2kπ＋ (k∈Z)．
4
3π
又 0<φ<π，所以 φ＝ .
4
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1 3π
所以 f(x)＝2sin x＋ 2 4 .
π π π π
(2)依题意得 22＋ 2 ω ＝2 2，则 ＝2，即 ω＝ ，所以 f(x)＝sin
x＋φ
2 ，由于该函ω 2
1 1 1 π π π
数图象过点 2，－ 2 ，因此 sin(π＋φ)＝－ ，即 sin φ＝ ，而－ ≤φ≤ ，故 φ＝ ，所以 f(x)2 2 2 2 6
π π
＝sin x＋ 2 6 .
π π
[答案] (1)B (2)sin x＋ 2 6
[解题技法]
确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
M－m M＋m
(1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝ ，B＝ .
2 2
2π
(2)求 ω，确定函数的周期 T，则 ω＝ .
T
(3)求 φ，常用方法有以下 2 种
[题组训练]
π
1.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|< 2 的部分图象如图所
示，则 f
11π
24 的值为( )
6 3
A．－ B．－
2 2
2
C．－ D．－1
2
7π π 2π 7π
解析：选 D 由图象可得 A＝ 2，最小正周期 T＝4× － 12 3 ＝π，则 ω＝ ＝2.由 fT 12
7π π π π 11π 11π π＝ 2sin ＋φ 6 ＝－ 2，|φ|< ，得 φ＝ ，则 f(x)＝ 2sin
2x＋ ＋
2 3 3 ，所以 f 24 ＝ 2sin 12 3
5π
＝ 2sin ＝－1.
4
2.(2018·咸阳三模)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，
|φ|<π)的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式为( )
πx π
A．f(x)＝2 3sin ＋ 8 4
πx 3π
B．f(x)＝2 3sin ＋ 8 4
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πx π
C．f(x)＝2 3sin － 8 4
πx 3π
D．f(x)＝2 3sin － 8 4
解析：选 D 由图象可得，A＝2 3，T＝2×[6－(－2)]＝16，
2π 2π π
所以 ω＝ ＝ ＝ .
T 16 8
π
所以 f(x)＝2 3sin x＋φ 8 .
由函数的对称性得 f(2)＝－2 3，
即 f(2)＝2 3sin
π
×2＋φ
8 ＝－2 3，
π
即 sin ＋φ 4 ＝－1，
π π
所以 ＋φ＝2kπ－ (k∈Z)，
4 2
3π
解得 φ＝2kπ－ (k∈Z)．
4
3π
因为|φ|<π，所以 k＝0，φ＝－ .
4
πx 3π故函数的解析式为 f(x)＝2 3sin － 8 4 .
考点二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换
2π
[典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cos x，C2：y＝sin 2x＋ 3 ，则下面结论正确
的是( )
π
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6
个单位长度，得到曲线 C2
π
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12
个单位长度，得到曲线 C2
1 π
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个2 6
单位长度，得到曲线 C2
1 π
D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2 12
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个单位长度，得到曲线 C2
π 1
[解析] 易知 C1：y＝cos x＝sin x＋ 2 ，把曲线 C1 上的各点的横坐标缩短到原来的 倍，2
π π
纵坐标不变，得到函数 y＝sin 2x＋ 2 的图象，再把所得函数的图象向左平移 个单位长度，12
π
可得函数 y＝sin 2 x＋
π 2π2x＋
12
＋ ＝sin
2 3
的图象，即曲线 C2.
[答案] D
[解题技法] 三角函数图象变换中的 3 个注意点
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不
可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数 y＝Asin x 到 y＝Asin(x＋φ)的变换
φ
量是|φ|个单位，而函数 y＝Asin ωx到 y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是 ω 个单位．
[题组训练]
π π
1．将函数 y＝sin x＋ 6 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把图象上各点的横4
坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )
5π x 5π
A．y＝sin 2x＋ 12 B．y＝sin
＋
2 12
x π
C．y＝sin －
x 5π
2 12 D．y＝sin
＋
2 24
π π
解析：选 B 将函数 y＝sin x＋ 6 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数 y4
π π 5π＝sin x＋ 4 ＋
＝sin x＋ 12 的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标 6
1 5π
不变)，可得函数 y＝sin x＋ 2 12 的图象，因此变换后所得图象对应的函数解析式为 y＝
x 5π
sin ＋ 2 12 .
π2．(2019·潍坊统一考试)函数 y＝ 3sin 2x－cos 2x 的图象向右平移 φ 0<φ< 2 个单位长度
后，得到函数 g(x)的图象，若函数 g(x)为偶函数，则 φ的值为( )
π π
A. B.
12 6
π π
C. D.
4 3
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π
解析：选 B 由题意知 y＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－ 6 ，其图象向右平移 φ个单位长
π π π
度后，得到函数 g(x)＝2sin 2x－2φ－ 6 的图象，因为 g(x)为偶函数，所以 2φ＋ ＝ ＋kπ，k6 2
π kπ
∈Z，所以 φ＝ ＋ ，k∈Z，又因为 φ∈
π π
0，
2 ，所以 φ＝ . 6 2 6
考点三 三角函数模型及其应用
[典例] 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈 f(x)＝
π
Asin(ωx＋φ)＋B A>0，ω>0，|φ|< 2 的模型波动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 9 千元，9
月份价格最低为 5 千元，则 7 月份的出厂价格为________元．
[解析] 作出函数 f(x)的简图如图所示，
三角函数模型为：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，
2π π
∴ω＝ ＝ .
T 6
将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，
π π
则有 ×3＋φ＝ ，∴φ＝0，
6 2
π
故 f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．
6
7π
∴f(7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000.
6
故 7 月份的出厂价格为 6 000 元．
[答案] 6 000
[解题技法]
三角函数模型在实际应用中的 2 种类型及解题策略
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意
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义及自变量与函数之间的对应法则；
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识
解决问题，其关键是建模．
[题组训练]
1.如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数
π
y＝3sin x＋φ 6 ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最
大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
3＋k＝M，
解析：选 C 设水深的最大值为 M，由题意并结合函数图象可得 解得 M
k－3＝2，
＝8.
π
2．某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数 y＝a＋Acos (x－6) 6
(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高为 28 ℃，12 月份的月平均气温最
低为 18 ℃，则 10 月份的平均气温为________℃.
a＋A＝28， a＝23， π
解析：由题意得 即 所以 y＝23＋5cos (x－6) 6 ，令 x＝10，得 y a－A＝18， A＝5，
＝20.5.
答案：20.5
[课时跟踪检测]
A 级
π
1．函数 y＝sin 2x－
π
3 在区间
－ ，π
2 上的简图是( )
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π 3 π π
解析：选 A 令 x＝0，得 y＝sin － 3 ＝－ ，排除 B、D.由 f
－ ＝0，f ＝0，排
2 3 6
除 C，故选 A.
π π
2．函数 f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y＝2 所得线段长为 ，则 f 6 的值2
是( )
3
A．－ 3 B.
3
C．1 D. 3
π
解析：选 D 由题意可知该函数的周期为 ，
2
π π
∴ ＝ ，ω＝2，f(x)＝tan 2x.
ω 2
π π
∴f 6 ＝tan ＝ 3. 3
π π
3．(2018·天津高考)将函数 y＝sin 2x＋ 5 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应10
的函数( )
3π 5πA．在区间 ， 4 4 上单调递增
3πB．在区间 ，π 4 上单调递减
5π 3π
C．在区间 ， 4 2 上单调递增
D．在区间
3π
，2π
2 上单调递减
π π
解析：选 A 将函数 y＝sin 2x＋ 5 的图象向右平移 个单位长度后的解析式为 y＝10
π π 3π 5π
sin 2 x－ 10 ＋ ＝sin 2x，则函数 y＝sin 2x 的一个单调递增区间为
， ，一个单调递减
5 4 4
区间为
5π 7π
，
4 4 .由此可判断选项 A 正确．
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π π
4.(2019·贵阳检测)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) ω>0，－ <φ< 2 2 的部
分图象如图所示，则 φ的值为( )
π π
A．－ B.
3 3
π π
C．－ D.
6 6
T π π π 2π
解析：选 B 由题意，得 ＝ － －
2 3 6 ＝ ，所以 T＝π，由 T＝ ，得 ω＝2，由图可知2 ω
π 2π π π πA＝1，所以 f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为 f ＋φ 3 ＝sin 3 ＝0，－ <φ< ，所以 φ＝ . 2 2 3
5.(2019·武汉调研)函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最小正周期为 2；
1
②f(x)图象的一条对称轴为直线 x＝－ ；
2
③f(x)在
1 3
2k－ ，2k＋
4 4 ，k∈Z 上是减函数；
④f(x)的最大值为 A.
则正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5 1
解析：选 B 由题图可知，函数 f(x)的最小正周期 T＝2× － 4 4 ＝2，故①正确；因为
1 5 1 1 5 kT 3
函数 f(x)的图象过点 ，0 ，0 ＋ 4 和 4 ，所以函数 f(x)图象的对称轴为直线 x＝2 4 4 ＋ ＝2 4
1 1 T
＋k(k∈Z)，故直线 x＝－ 不是函数 f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当 － ＋
2 4 4
1 T 1 3
kT≤x≤ ＋ ＋kT(k∈Z)，即 2k－ ≤x≤2k＋ (k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若 A>0，
4 4 4 4
则最大值是 A，若 A<0，则最大值是－A，故④不正确．综上知正确结论的个数为 2.
π π
6．(2018·山西大同质量检测)将函数 f(x)＝tan ωx＋ 3 (0<ω<10)的图象向右平移 个单位6
长度后与函数 f(x)的图象重合，则 ω＝( )
A．9 B．6
C．4 D．8
π π
解析：选 B 函数 f(x)＝tan ωx＋ 3 的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的函数6
π π ωπ π解析式为 y＝tan ω x－ ωx－ ＋
6
＋ ＝tan 6 3 ，∵平移后的图象与函数 f(x)的图象重合，3
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ωπ π π
∴－ ＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，解得 ω＝－6k，k∈Z.又∵0<ω<10，∴ω＝6.
6 3 3
π π
7．已知函数 f(x)＝2sin x＋φ |φ|＜ 3 2 的图象经过点 (0,1)，则该函数的振幅为
____________，最小正周期 T 为__________，频率为___________，初相 φ为___________．
2π 1
解析：振幅 A＝2，最小正周期 T＝ ＝6，频率 f＝ .
π 6
3
因为图象过点(0,1)，
1
所以 2sin φ＝1，所以 sin φ＝ ，
2
π π
又因为|φ|＜ ，所以 φ＝ .
2 6
1 π
答案：2 6
6 6
8.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，
则 f(x)＝________.
3 11π π 3π
解析：由图象可知 A＝2， T＝ － ＝ ，∴T＝π，∴ω＝2，
4 12 6 4
π
∵当 x＝ 时，函数 f(x)取得最大值，
6
π π
∴2× ＋φ＝ ＋2kπ(k∈Z)，
6 2
π
∴φ＝ ＋2kπ(k∈Z)，
6
π π
∵0<φ<π，∴φ＝ ，∴f(x)＝2sin 2x＋
6 6 .
π
答案：2sin 2x＋ 6
π
9．已知函数 f(x)＝sin －ωx 3 (ω>0)向左平移半个周期得 g(x)的图象，若 g(x)在[0，π]上
3
的值域为 － ，1 ，则 ω的取值范围是________．
2
π π
解析：由题意，得 g(x)＝sin －ω x＋
3 ω

＝sin －π－
π π
ωx－ ωx－
3 ＝sin 3 ，
π π π
由 x∈[0，π]，得 ωx－ ∈ － ，ωπ－
3 3 3 .
3
因为 g(x)在[0，π]上的值域为 － ，1 ，
2
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π π 4π 5 5
所以 ≤ωπ－ ≤ ，解得 ≤ω≤ .
2 3 3 6 3
5 5
故 ω的取值范围是 ， 6 3 .
5 5
答案： ， 6 3
10．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下
表是今年前四个月的统计情况：
月份 x 1 2 3 4
收购价格 y(元/斤) 6 7 6 5
选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为
________________．
解析：设 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由题意得 A＝1，B＝6，T＝4，
2π π π
因为 T＝ ，所以 ω＝ ，所以 y＝sin x＋φ ＋6.
ω 2 2
π
因为当 x＝1 时，y＝6，所以 sin ＋φ 2 ＝0，
π π
故 ＋φ＝2kπ，k∈Z，可取 φ＝－ ，
2 2
π π π
所以 y＝sin x－ 2 2 ＋6＝－cos x＋6. 2
π
答案：y＝－cos x＋6
2
π π 311．设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ) ω>0，－ <φ<0 2 的最小正周期为 π，且 f

4 ＝ . 2
(1)求 ω和 φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象．
2π
解：(1)因为 T＝ ＝π，所以 ω＝2，
ω
π
又因为 f
π π 3 π π
2× ＋φ ＋φ
4 ＝cos 4 ＝cos 2 ＝－sin φ＝ 且－ <φ<0，所以 φ＝－ . 2 2 3
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π
(2)由(1)知 f(x)＝cos 2x－ 3 .
列表：
π π π 3π 5π
2x－ － 0 π
3 3 2 2 3
π 5π 2π 11π
x 0 π
6 12 3 12
1 1
f(x) 1 0 －1 0
2 2
描点，连线，可得函数 f(x)在[0，π]上的图象如图所示．
π
12．(2019·湖北八校联考)函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|< 2 在它的某一个周期内的单调
5π 11π π递减区间是 ， 12 12 .将 y＝f(x)的图象先向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐4
1
标变为原来的 (纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为 g(x)．
2
(1)求 g(x)的解析式；
π
(2)求 g(x)在区间 0， 4 上的最大值和最小值．
T 11π 5π π 2π
解：(1)∵ ＝ － ＝ ，∴T＝π，ω＝ ＝2，
2 12 12 2 T
5π π
又∵sin 2× ＋φ 12 ＝1，|φ|< ， 2
π π
∴φ＝－ ，f(x)＝sin 2x－ 3 ， 3
π
将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度得
4
π
y＝sin 2 x＋
π π
4 －
＝sin 2x＋ ，
3 6
π 1
再将 y＝sin 2x＋ 6 的图象上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)得 g(x)＝2
πsin 4x＋ 6 .
π
∴g(x)＝sin 4x＋ 6 .
π π π 7π
(2)∵x∈ 0， ， 4 ，∴4x＋ ∈6 6 6 ，
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π π π
当 4x＋ ＝ 时，x＝ ，
6 2 12
π π π
∴g(x)在 0， ， 12 上为增函数，在 12 4 上为减函数，
所以 g(x)
π
max＝g 12 ＝1，
1 π 1 1又因为 g(0)＝ ，g 4 ＝－ ，所以 g(x)min＝－ ， 2 2 2
π 1
故函数 g(x)在区间 0， 4 上的最大值和最小值分别为 1 和－ . 2
B 级
π
1．(2019·惠州调研)函数 f(x)＝Asin(2x＋θ) A>0，|θ|≤ 2 的部分图象如图
所示，且 f(a)＝f(b)＝0，对不同的 x1，x2∈[a，b]，若 f(x1)＝f(x2)，有 f(x1＋
x2)＝ 3，则( )
5π π
A．f(x)在 － ， 12 12 上是减函数
5π πB．f(x)在 － ， 12 12 上是增函数
π 5π
C．f(x)在 ， 3 6 上是减函数
π 5π
D．f(x)在 ， 3 6 上是增函数
解析：选 B 由题图知 A＝2，设 m∈[a，b]，且 f(0)＝f(m)，则 f(0＋m)＝f(m)＝f(0)＝ 3，
3 π π π
∴2sin θ＝ 3，sin θ＝ ，又∵|θ|≤ ，∴θ＝ ，∴f(x)＝2sin 2x＋
π π π
2 2 3 3 ，令－ ＋2kπ≤2x＋ ≤2 3 2
5π π
＋2kπ，k∈Z，解得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，此时 f(x)单调递增．所以选项 B 正确．
12 12
π
2．(2019·福州四校联考)函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移 个单位长度得到函数 y
12
π π π π
＝g(x)的图象，并且函数 g(x)在区间 ， 6 3 上单调递增，在区间
，
3 2 上单调递减，则实数
ω的值为( )
7 3
A. B.
4 2
5
C．2 D.
4
π
解析：选 C 因为将函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移 个单位长度得到函数 y＝
12
π
g(x)的图象，所以 g(x)＝sin ω x－
π π
12 ，又因为函数 g(x)在区间
，
6 3 上单调递增，在区间
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π π π ωπ 2π π，
3 2 上单调递减，所以 g

3 ＝sin ＝1 且 ≥ ，所以{ω＝8k＋2(k∈Z)， 0<ω≤6， 所4 ω 3
以 ω＝2.
π
3.(2018·南昌模拟)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|< 2 的部
分图象如图所示．
(1)求函数 f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；
π
(2)若方程 f(x)＋2cos 4x＋ 3 ＝a 有实数解，求 a 的取值范围．
T 2π π π
解：(1)由图可得 A＝2， ＝ － ＝ ，
2 3 6 2
所以 T＝π，所以 ω＝2.
π π
当 x＝ 时，f(x)＝2，可得 2sin 2× ＋φ
6 6 ＝2，
π π
因为|φ|< ，所以 φ＝ .
2 6
π
所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin 2x＋ 6 .
π kπ π
令 2x＋ ＝kπ(k∈Z)，得 x＝ － (k∈Z)，
6 2 12
kπ π
所以函数 f(x)图象的对称中心为 － ，0 2 12 (k∈Z)．
π
(2)设 g(x)＝f(x)＋2cos 4x＋ 3 ，
π π
则 g(x)＝2sin 2x＋ 6 ＋2cos
4x＋
3
π π
＝2sin 2x＋ 2 2x＋ 6 ＋2 1－2sin 6 ，
π
令 t＝sin 2x＋ 6 ，t∈[－1,1]，
记 h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－4
1 9
t－ 2
4 ＋ ， 4
因为 t∈[－1,1]，
9
所以 h(t)∈ －4， 4 ，
即 g(x)∈
9 9
－4， －4，
4 ，故 a∈ 4 .
9
故 a 的取值范围为 －4， 4 .
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