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第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
一、基础知识
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
S(α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
C(α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β.
tan α±tan β πT(α±β)：tan(α±β)＝ α，β，α±β≠ ＋kπ，k∈Z
1 tan αtan β 2
.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，
符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.
2．二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
C 2 2 2 22α：cos 2α＝cos α－sin α＝2cos α－1＝1－2sin α.
2tan α π kπ π
T 2α：tan 2α＝ 2 α≠kπ＋ 且α≠ ＋ ，k∈Z1－tan α 2 2 4
.
α α 3α
二倍角是相对的，例如， 是 的二倍角，3α是 的二倍角．
2 4 2
二、常用结论
1＋cos 2α 1－cos 2α
(1)降幂公式：cos2α＝ ，sin2α＝ .
2 2
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
b a
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ) 其中sin φ＝ ，cos φ＝

a2＋b2 a2＋b2
.

考点一 三角函数公式的直接应用
3 π 1
[典例] (1)已知 sin α＝ ，α∈ ，π 2 ，tan β＝－ ，则 tan(α－β)的值为( ) 5 2
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2 2
A．－ B.
11 11
11 11
C. D．－
2 2
1 π
(2)(2019·呼和浩特调研)若 sin(π－α)＝ ，且 ≤α≤π，则 sin 2α的值为( )
3 2
2 2 4 2
A．－ B．－
9 9
2 2 4 2
C. D.
9 9
3 π
[解析] (1)因为 sin α＝ ，α∈ ，π
5 2 ，
2 4所以 cos α＝－ 1－sin α＝－ ，
5
sin α 3
所以 tan α＝ ＝－ .
cos α 4
tan α－tan β 2
所以 tan(α－β)＝ ＝－ .
1＋tan αtan β 11
1 π
(2)因为 sin(π－α)＝sin α＝ ， ≤α≤π，
3 2
2 2 2所以 cos α＝－ 1－sin α＝－ ，
3
1
所以 ＝ ＝ × ×
2 2 4 2
sin 2α 2sin αcos α 2
3 － ＝－ . 3 9
[答案] (1)A (2)B
[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同
名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[题组训练]
1 π cos 2α
1．已知 sin α＝ ＋cos α，且 α∈ 0， 2 ，则 的值为( ) 3 π
sin α＋ 4
2 2
A．－ B.
3 3
1 1
C．－ D.
3 3
1 1
解析：选 A 因为 sin α＝ ＋cos α，所以 sin α－cos α＝ ，
3 3
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cos 2α cos2α－sin2α
所以 ＝
π π π
sin α＋ sin αcos ＋cos αsin 4 4 4
1
－
(cos α－sin α)(cos α＋sin α) 3 2
＝ ＝ ＝－ .
2 2 3
(sin α＋cos α)
2 2
4 π 3π π
2．已知 sin α＝ ，且 α∈ ， 2α＋
5 2 2 ，则 sin 3 的值为________．
4 π 3π π
解析：因为 sin α＝ ，且 α∈ ， ，π
5 2 2 ，所以 α∈ 2 ，
4 3
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－ 2 5 ＝－ . 5
24 7
因为 sin 2α＝2sin αcos α＝－ ，cos 2α＝2cos2α－1＝－ .
25 25
π π π 24＋7 3
所以 sin 2α＋ 3 ＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝－ . 3 3 50
24＋7 3
答案：－
50
考点二 三角函数公式的逆用与变形用
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则 sin(α＋β)＝
________.
(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋ 3tan 25°tan 35°＝________.
[解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得 1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
1
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－ ，
2
1
∴sin(α＋β)＝－ .
2
(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋
3tan 25°tan 35°＝ 3.
1
[答案] (1)－ (2) 3
2
[解题技法]
两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)公式的一些常用变形：
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sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
α α1±sin α＝ sin ±cos 2 2 2 ；
2sin αcos α 2tan α
sin 2α＝ ＝ ；
sin2α＋cos2α tan2α＋1
cos2α－sin2α 1－tan2α
cos 2α＝ 2 2 ＝ . cos α＋sin α 1＋tan2α
[提醒]
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或 tan α－tan β)，tan(α＋β)(或 tan(α－β))三者中可以知二求一，
且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
1 3
(3)注意特殊角的应用，当式子中出现 ，1， ， 3等这些数值时，一定要考虑引入
2 2
特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
[题组训练]
2 1－tan239°
1.设 a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝ (sin 56°－cos 56°)，c＝ 2 ，则 a，2 1＋tan 39°
b，c 的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
解析：选 D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得 a＝cos 50°cos 127°＋cos
40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，
2 2 2 1－tan239°
b＝ (sin 56°－cos 56°)＝ sin 56°－ cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝ ＝
2 2 2 1＋tan239°
sin239°
1－
cos239° π
2
2 ＝cos 39°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数 y＝sin x，x∈ 0， 2 为增函数，所sin 39°
1＋
cos239°
以 sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以 a>c>b.
π 4 3 π
2.已知 cos α－ α＋ 6 ＋sin α＝ ，则 sin 6 ＝________. 5
π 4 3
解析：由 cos α－ 6 ＋sin α＝ ， 5
3 1 4 3
可得 cos α＋ sin α＋sin α＝ ，
2 2 5
3 3 4 3
即 sin α＋ cos α＝ ，
2 2 5
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π 4 3∴ 3sin α＋ ＝ ，即 sin
π 4
α＋
6 6 ＝ . 5 5
4
答案：
5
π π
3.化简 sin2 α－ 2 α＋ 2 6 ＋sin 6 －sin α的结果是________．
π π1－cos 2α－ 1－cos 2α＋ 3 3
解析：原式＝ ＋ －sin2α
2 2
1 π π
＝1－ cos
2α－ 2α＋ 2
2 3 ＋cos 3 －sin α
π
＝1－cos 2α·cos －sin2α
3
cos 2α 1－cos 2α
＝1－ －
2 2
1
＝ .
2
1
答案：
2
考点三 角的变换与名的变换
考法(一) 三角公式中角的变换
[典例] (2018·浙江高考改编)已知角 α的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重
3 4 5
合，它的终边过点 P － ，－ 5 5 .若角 β满足 sin(α＋β)＝ ，则 cos β的值为________． 13
3 4
[解析] 由角 α的终边过点 P － ，－ 5 5 ，
4 3
得 sin α＝－ ，cos α＝－ .
5 5
5 12
由 sin(α＋β)＝ ，得 cos(α＋β)＝± .
13 13
由 β＝(α＋β)－α，得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
56 16
所以 cos β＝－ 或 cos β＝ .
65 65
56 16
[答案] － 或
65 65
[解题技法]
1．三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
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(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，
再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧
α＋β α－β α＋β α－β α－β β
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝ － ，α＝ ＋ ， ＝ α＋ －
2 2 2 2 2 2
α＋β
2 等．
考法(二) 三角公式中名的变换
4 5
[典例] (2018·江苏高考)已知 α，β为锐角，tan α＝ ，cos(α＋β)＝－ .
3 5
(1)求 cos 2α的值；
(2)求 tan(α－β)的值．
4 sin α
[解] (1)因为 tan α＝ ，tan α＝ ，
3 cos α
4
所以 sin α＝ cos α .
3
因为 sin2α＋cos2α＝1，
9
所以 cos2α＝ ，
25
7
所以 cos 2α＝2cos2α－1＝－ .
25
(2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π)．
5 π
又因为 cos(α＋β)＝－ ，所以 α＋β∈ ，π 2 . 5
所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2
2 5
(α＋β)＝ ，
5
所以 tan(α＋β)＝－2.
4
因为 tan α＝ ，
3
2tan α 24
所以 tan 2α＝ 2 ＝－ . 1－tan α 7
所以 tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
tan 2α－tan(α＋β) 2
＝ ＝－ .
1＋tan 2αtan(α＋β) 11
[解题技法] 三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为
正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[题组训练]
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1 π
1．已知 tan θ＋ ＝4，则 cos2 θ＋ 4 ＝( ) tan θ
1 1
A. B.
2 3
1 1
C. D.
4 5
1 sin θ cos θ sin2θ＋cos2θ
解析：选 C 由 tan θ＋ ＝4，得 ＋ ＝4，即 ＝4，∴sin θcos θ
tan θ cos θ sin θ sin θcos θ
π 1
1＋cos 2θ＋ 1－2×
1 π 2 1－sin 2θ 1－2sin θcos θ 4 1＝ ，∴cos2 θ＋ 4 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 4 2 2 2 2 4
π 7 2 π2．(2018·济南一模)若 sin A＋ ，π 4 ＝ ，A∈ 4 ，则 sin A 的值为( ) 10
3 4
A. B.
5 5
3 4 3
C. 或 D.
5 5 4
π π
解析：选 B ∵A∈ ，π
π 5π
，
4 ，∴A＋ ∈4 2 4 ，
π π 2∴cos A＋ 2 A＋ 4 ＝－ 1－sin 4 ＝－ ， 10
π π∴sin A＝sin A＋ －
4
4
＝sin
π π π π 4A＋
4 cos －cos
A＋
4 4 sin ＝ . 4 5
4 3π sin(α＋β)
3．已知 sin α＝－ ，α∈ ，2π 2 ，若 ＝2，则 tan(α＋β)＝( ) 5 cos β
6 13
A. B.
13 6
6 13
C．－ D．－
13 6
4 3π
解析：选 A ∵sin α＝－ ，α∈ ，2π
5 2 ，
3
∴cos α＝ .
5
sin(α＋β)
又∵ ＝2，
cos β
∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．
6 13
展开并整理，得 cos(α＋β)＝ sin(α＋β)，
5 5
6
∴tan(α＋β)＝ .
13
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[课时跟踪检测]
A 级
1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )
1
A．1 B.
2
3 1
C. D．－
2 2
解析：选 B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝
1
sin(45°－15°)＝sin 30°＝ .
2
π
2．若 2sin x＋cos －x 2 ＝1，则 cos 2x＝( )
8 7
A．－ B．－
9 9
7 7
C. D．－
9 25
解析：选 C 因为 2sin x＋cos
π 1
－x
2 ＝1，所以 3sin x＝1，所以 sin x＝ ，所以 cos 2x＝3
7
1－2sin2x＝ .
9
π 3 π
3．(2018·山西名校联考)若 cos α－ α－ 6 ＝－ ，则 cos 3 ＋cos α＝( ) 3
2 2 2 2
A．－ B．±
3 3
C．－1 D．±1
π 1 3 3 3
解析：选 C cos α－ 3 ＋cos α＝ cos α＋ sin α＋cos α＝ cos α＋ sin α＝ 32 2 2 2
π
cos α－ 6 ＝－1.
3
4．tan 18°＋tan 12°＋ tan 18°tan 12°＝( )
3
A. 3 B. 2
2 3
C. D.
2 3
tan 18°＋tan 12° 3
解析：选 D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝ ＝ ，
1－tan 18°tan 12° 3
3 3
∴tan 18°＋tan 12°＝ (1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝ .
3 3
5．若 α∈
π π
，π
2 ，且 3cos 2α＝sin
－α
4 ，则 sin 2α的值为( )
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1 1
A．－ B.
18 18
17 17
C．－ D.
18 18
π 2
解析：选 C 由 3cos 2α＝sin －α 2 2 4 ，可得 3(cos α－sin α)＝ (cos α－sin α)，又由 α∈2
π，π
2 1
2 ，可知 cos α－sin α≠0，于是 3(cos α＋sin α)＝ ，所以 1＋2sin αcos α＝ ，故 sin 2α2 18
17
＝－ .
18
1 π6．已知 sin 2α＝ ，则 cos2 α－ 4 ＝( ) 3
1 1
A．－ B.
3 3
2 2
C．－ D.
3 3
π
1＋cos 2α－
π 2 1 1 1 1 1 2
解析：选 D cos2 α－ 4 ＝ ＝ ＋ sin 2α＝ ＋ × ＝ . 2 2 2 2 2 3 3
π 1 π π
7．已知 sin ＋α － ，0 α－ 2 ＝ ，α∈ 2 ，则 cos 3 的值为________． 2
1 3
解析：由已知得 cos α＝ ，sin α＝－ ，
2 2
π 1 3 1所以 cos α－ 3 ＝ cos α＋ sin α＝－ . 2 2 2
1
答案：－
2
1 1 tan α
8．(2019·湘东五校联考)已知 sin(α＋β)＝ ，sin(α－β)＝ ，则 ＝________.
2 3 tan β
1 1 1
解析：因为 sin(α＋β)＝ ，sin(α－β)＝ ，所以 sin αcos β＋cos αsin β＝ ，sin αcos β－cos
2 3 2
1 5 1 tan α sin αcos β
αsin β＝ ，所以 sin αcos β＝ ，cos αsin β＝ ，所以 ＝ ＝5.
3 12 12 tan β cos αsin β
答案：5
π 19．(2017·江苏高考)若 tan α－ 4 ＝ ，则 tan α＝________. 6
π π
解析：tan α＝tan α－ ＋
4 4
π π 1tan α－ 4 ＋tan ＋14 6 7
＝ ＝ ＝ .
π π 1 5
1－tan α－ tan 1－ 4 4 6
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7
答案：
5
1
sin235°－
2
10．化简： ＝________.
cos 10°cos 80°
1 1－cos 70°2 1 1sin 35°－ － － cos 70°
2 2 2 2
解析： ＝ ＝ ＝－1.
cos 10°cos 80° cos 10°sin 10° 1
sin 20°
2
答案：－1
11．已知 tan α＝2.
π
(1)求 tan α＋ 4 的值；
sin 2α
(2)求 的值．
sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1
π
tan α＋tan
π 4 2＋1
解：(1)tan α＋ 4 ＝ ＝ ＝－3. π 1－2
1－tan αtan
4
sin 2α
(2)
sin2
α＋sin αcos α－cos 2α－1
2sin αcos α
＝
sin2α＋sin αcos α－(2cos2α－1)－1
2sin αcos α
＝
sin2α＋sin αcos α－2cos2α
2tan α 2×2
＝ ＝ ＝1.
tan2α＋tan α－2 22＋2－2
3 1
12．已知 α，β均为锐角，且 sin α＝ ，tan(α－β)＝－ .
5 3
(1)求 sin(α－β)的值；
(2)求 cos β的值．
π π π
解：(1)∵α，β∈ 0， 2 ，∴－ <α－β< . 2 2
1 π
又∵tan(α－β)＝－ <0，∴－ <α－β<0.
3 2
10
∴sin(α－β)＝－ .
10
3 10
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝ .
10
3 4
∵α为锐角，且 sin α＝ ，∴cos α＝ .
5 5
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
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4 3 10 3 10 9 10＝ × ＋ × ＝ .
5 10 5 － 10 50
B 级
π π
1．(2019·广东五校联考)若 tan －θ 2 ＝4cos(2π－θ)，|θ|< ，则 tan 2θ＝________. 2
π cos θ
解析：∵tan －θ 2 ＝4cos(2π－θ)，∴ ＝4cos θ， sin θ
π 1
又∵|θ|< ，∴sin θ＝ ，
2 4
π 15 sin θ 1
∴0<θ< ，cos θ＝ ，tan θ＝ ＝ ，
2 4 cos θ 15
2tan θ 15
从而 tan 2θ＝ ＝ .
1－tan2θ 7
15
答案：
7
24 π 3
2．(2018·江西新建二中期中)已知 A，B 均为锐角，cos(A＋B)＝－ ，sin B＋ 3 ＝ ，25 5
π
则 cos A－ 3 ＝________.
24 π 3
解析：因为 A，B 均为锐角，cos(A＋B)＝－ ，sin B＋ 3 ＝ ， 25 5
π π π
所以 2 2 3
7 π π 4
所以 sin(A＋B)＝ 1－cos2(A＋B)＝ ，cos B＋ 2 B＋
25 3 ＝－ 1－sin 3 ＝－ ， 5
π π 24可得 cos A－ ＝cos (A＋B)－ B＋ ＝－ ×
4 7 3 117－
3 3 5 ＋ × ＝ . 25 25 5 125
117
答案：
125
π
3．(2019·石家庄质检)已知函数 f(x)＝sin x＋ 12 ，x∈R.
π(1)求 f － 4 的值；
4 π π
(2)若 cos θ ＝ ，θ∈ 0， ，求 f 2θ－ 2 3 的值． 5
π π π π 1解：(1)f － － ＋ 4 ＝sin 4 12 ＝sin
－
6 ＝－ . 2
π(2)f 2θ－
π π
＝sin 2θ－ ＋ ＝sin
π 2
2θ－
3 3 12 4 ＝ (sin 2θ－cos 2θ)． 2
4 π 3
因为 cos θ＝ ，θ∈ 0，
5 2 ，所以 sin θ＝ ， 5
第 321页/共1004页
24 7
所以 sin 2θ＝2sin θcos θ＝ ，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ ，
25 25
π 2 2 24 7 17 2所以 f 2θ－ 3 ＝ (sin 2θ－cos 2θ)＝ ×
－
2 2 25 25 ＝ . 50
第 322页/共1004页

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