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第六节 简单的三角恒等变换
考点一 三角函数式的化简
sin(180°＋2α) cos2α
[典例] (1) · 等于( )
1＋cos 2α cos(90°＋α)
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
sin(2α＋β)
(2)化简： －2cos(α＋β)．
sin α
－sin 2α·cos2α －2sin αcos α·cos2α
[解] (1)选 D 原式＝ ＝ ＝cos α.
2cos2α(－sin α) 2cos2α(－sin α)
sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)
(2)原式＝
sin α
sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos(α＋β)
＝
sin α
sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－2sin αcos(α＋β)
＝
sin α
cos αsin(α＋β)－sin αcos(α＋β)
＝
sin α
sin[(α＋β)－α] sin β
＝ ＝ .
sin α sin α
[解题技法]
[题组训练]
sin 2α－2cos2α
1．化简： ＝________.
sin
π
α－
4
2sin αcos α－2cos2α
解析：原式＝ ＝2 2cos α.
2
(sin α－cos α)
2
答案：2 2cos α
2cos2α－1
2．化简： .
π
2tan －α cos2
π
－α
4 4
cos 2α
解：原式＝
π π
2sin －α 4 cos
－α
4
cos 2α
＝
πsin －2α 2
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cos 2α
＝
cos 2α
＝1.
考点二 三角函数式的求值
考法(一) 给角求值
cos 10°(1＋ 3tan 10°)
[典例] 的值是________．
cos 50°
cos 10°＋ 3sin 10° 2sin(10°＋30°) 2sin 40°
[解析] 原式＝ ＝ ＝ ＝2.
cos 50° cos 50° sin 40°
[答案] 2
[解题技法] 三角函数给角求值问题的解题策略
一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为
求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分
母相约等)的方式来求值．
考法(二) 给值求值
π
[典例] 已知 sin α＋
2 π
4 ＝ ，α∈
，π
10 2 .
求：(1)cos α的值；
π
(2)sin 2α－ 4 的值．
π 2
[解] (1)由 sin α＋ 4 ＝ ， 10
π π 2
得 sin αcos ＋cos αsin ＝ ，
4 4 10
1
化简得 sin α＋cos α＝ ，①
5
π
又 sin2α＋cos2α＝1，且 α∈ ，π 2 ②
3
由①②解得 cos α＝－ .
5
π 3 4
(2)∵α∈ ，π 2 ，cos α＝－ ，∴sin α＝ ， 5 5
7 24
∴cos 2α＝1－2sin2α＝－ ，sin 2α＝2sin αcos α＝－ ，
25 25
π π π 17 2
∴sin 2α－ 4 ＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－ . 4 4 50
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[解题技法] 三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
考法(三) 给值求角
5 10 π 3π
[典例] 若 sin 2α＝ ，sin(β－α)＝ ，且 α∈ ，π 4 ，β∈
π，
2 ，则 α＋β的值是( ) 5 10
7π 9π
A. B.
4 4
5π 7π 5π 9π
C. 或 D. 或
4 4 4 4
π π
[解析] ∵α∈ ，π ，2π 4 ，∴2α∈ 2 ，
5 π
∵sin 2α＝ ，∴2α∈ ，π
5 2 .
π π 2 5
∴α∈ ， 4 2 且 cos 2α＝－ . 5
10 3π
又∵sin(β－α)＝ ，β∈ π，
10 2 ，
π 5π 3 10∴β－α∈ ， 2 4 ，cos(β－α)＝－ ， 10
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
3 10 2 5 10 5 2＝ － ×

－ － × ＝ ，
10 5 10 5 2
5π 7π
又∵α＋β∈ ，2π 4 ，∴α＋β＝ . 4
[答案] A
[解题技法] 三角函数给值求角问题的解题策略
(1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是
π
0，
2 ，选正、余弦函数皆
π π
可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是 － ， 2 2 ，选正弦函数较好．
(2)注意讨论所求角的范围，及解题过程中角的范围．
[题组训练]
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cos 20°
1．求值： ＝( )
cos 35° 1－sin 20°
A．1 B．2
C. 2 D. 3
cos 20°
解析：选 C 原式＝
cos 35°|sin 10°－cos 10°|
cos210°－sin210° cos 10°＋sin 10°
＝ ＝
cos 35°(cos 10°－sin 10°) cos 35°
2 2
2 cos 10°＋ sin 10°
2 2
＝
cos 35°
2cos(45°－10°) 2cos 35°
＝ ＝ ＝ 2.
cos 35° cos 35°
3
2．已知 α为第二象限角，sin α＋cos α＝ ，则 cos 2α＝( )
3
5 5
A．－ B．－
3 9
5 5
C. D.
9 3
3 1
解析：选 A 法一：因为 sin α＋cos α＝ ，所以(sin α＋cos α)2＝ ，即 2sin αcos α＝－
3 3
2 2
，即 sin 2α＝－ .
3 3
3
又因为 α为第二象限角且 sin α＋cos α＝ >0，
3
所以 sin α>0，cos α<0，cos α－sin α<0，cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－ sin
α)<0.
2 5
所以 cos 2α＝－ 1－sin22α＝－ 1－ － 2 3 ＝－ . 3
法二：由 cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，且 α为第二象限角，得 cos
α－sin α<0，
3
因为 sin α＋cos α＝ ，
3
1
所以(sin α＋cos α)2＝ ＝1＋2sin αcos α，
3
2 5 15
得 2sin αcos α＝－ ，从而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝ ，则 cos α－sin α＝－ ，
3 3 3
3 15 5
所以 cos 2α＝ × － ＝－ . 3 3 3
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5 3 10
3．已知锐角 α，β满足 sin α＝ ，cos β＝ ，则 α＋β等于( )
5 10
3π π 3π
A. B. 或
4 4 4
π π
C. D．2kπ＋ (k∈Z)
4 4
5 3 10
解析：选 C 由 sin α＝ ，cos β＝ ，且 α，β为锐角，
5 10
2 5 10
可知 cos α＝ ，sin β＝ ，
5 10
2 5 3 10 5 10 2
故 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ × － × ＝ ，
5 10 5 10 2
π
又 0<α＋β<π，故 α＋β＝ .
4
考点三 三角恒等变换的综合应用
[典例] (2018·北京高考)已知函数 f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期；
π 3
(2)若 f(x)在区间 － ，m 3 上的最大值为 ，求 m 的最小值． 2
[解] (1)因为 f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x
1 1 3
＝ － cos 2x＋ sin 2x
2 2 2
π 1＝sin 2x－ 6 ＋ ， 2
2π
所以 f(x)的最小正周期为 T＝ ＝π.
2
π 1
(2)由(1)知 f(x)＝sin 2x－ 6 ＋ . 2
π
由题意知－ ≤x≤m，
3
5π π π
所以－ ≤2x－ ≤2m－ .
6 6 6
π 3要使 f(x)在区间 － ，m 3 上的最大值为 ， 2
π
即 sin 2x－
π
－ ，m
6 在区间 3 上的最大值为 1，
π π π
所以 2m－ ≥ ，即 m≥ .
6 2 3
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π
所以 m 的最小值为 .
3
[解题技法]
三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将 f(x)化为 asin x＋bcos x 的形式；
a b
(2)构造 f(x)＝ a2＋b2 ·sin x＋ ·cos x
a2
； ＋b2 a2＋b2
(3)和角公式逆用，得 f(x)＝ a2＋b2sin(x＋φ)(其中 φ为辅助角)；
(4)利用 f(x)＝ a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
[题组训练]
3
1．已知 ω>0，函数 f(x)＝sin ωxcos ωx＋ 3cos2ωx－ 的最小正周期为 π，则下列结论
2
正确的是( )
π
A．函数 f(x)的图象关于直线 x＝ 对称
3
π 7πB．函数 f(x)在区间 ， 12 12 上单调递增
π
C．将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度可得函数 g(x)＝cos 2x 的图象
6
π 3
D．当 x∈ 0， 2 时，函数 f(x)的最大值为 1，最小值为－ 2
3 1 3
解析：选 D 因为 f(x)＝sin ωxcos ωx＋ 3cos2ωx－ ＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＝
2 2 2
π 2π π πsin 2ωx＋ 3 ，所以 T＝ ＝π，所以 ω＝1，所以 f(x)＝sin
2x＋ .对于 A，因为 f ＝0，所
2ω 3 3
π 7π π π 3π π 7π以不正确；对于 B，当 x∈ ， ， ， 12 12 时，2x＋ ∈3 2 2 ，所以函数 f(x)在区间 12 12 上单
π
调递减，故不正确；对于 C，将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度所得图象对应的函数 y
6
π π π π π π 4π＝f x－ 6 ＝sin
2 x－ 0， 6 ＋ ＝sin 2x，所以不正确；对于 D，当 x∈ 2 时，2x＋ ∈
，
3 3 3 3
，
3
所以 f(x)∈ － ，1 ，故正确．故选 D.
2
π
2．已知函数 f(x)＝4sin xcos x－ 3 － 3.
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)求函数 f(x)图象的对称轴和对称中心．
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π
解：(1)f(x)＝4sin xcos x－ 3 － 3
＝
1 3
4sin x cos x＋ sin x － 3
2 2
＝2sin xcos x＋2 3sin2x－ 3
＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x)－ 3
＝sin 2x－ 3cos 2x
π
＝2sin 2x－ 3 .
π π π
令 2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ (k∈Z)，
2 3 2
π 5π
得 kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
12 12
π 5π
所以函数 f(x)的单调递增区间为 kπ－ ，kπ＋ 12 12 (k∈Z)．
π π 3π
令 2kπ＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ (k∈Z)，
2 3 2
5π 11π
得 kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
12 12
5π 11π
所以函数 f(x)的单调递减区间为 kπ＋ ，kπ＋ 12 12 (k∈Z)．
π π kπ 5π
(2)令 2x－ ＝kπ＋ (k∈Z)，得 x＝ ＋ (k∈Z)，
3 2 2 12
kπ 5π
所以函数 f(x)的对称轴方程为 x＝ ＋ (k∈Z)．
2 12
π kπ π
令 2x－ ＝kπ(k∈Z)，得 x＝ ＋ (k∈Z)，
3 2 6
所以函数 f(x)的对称中心为
kπ π
＋ ，0
2 6 (k∈Z)．
[课时跟踪检测]
A 级
π π1．已知 sin －α ＝cos ＋α 6 6 ，则 tan α＝( )
A．1 B．－1
1
C. D．0
2
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π π解析：选 B ∵sin －α ＋α 6 ＝cos 6 ，
1 3 3 1
∴ cos α－ sin α＝ cos α－ sin α，
2 2 2 2
3 1 1 3即 － sin α＝ － cos α，
2 2 2 2
sin α
∴tan α＝ ＝－1.
cos α
cos 40°
2．化简： ＝( )
cos 25° 1－sin 40°
A．1 B. 3
C. 2 D．2
cos220°－sin220° cos 20°＋sin 20° 2cos 25°
解析：选 C 原式＝ ＝ ＝ ＝ 2.
cos 25°(cos 20°－sin 20°) cos 25° cos 25°
π
3．(2018·唐山五校联考)已知 α是第三象限的角，且 tan α＝2，则 sin α＋ 4 ＝( )
10 10
A．－ B.
10 10
3 10 3 10
C．－ D.
10 10
解析：选 C 因为 α是第三象限的角，tan α＝2，
sin α 5 2 5
所以 ＝2， sin2α＋cos2α＝1，
cos α 所以 cos α＝－ ，sin α＝－ ， 5 5
π
则 sin α＋
π π 2 5 2 5 2 3 10
4 ＝sin αcos ＋cos αsin ＝－ × － × ＝－ . 4 4 5 2 5 2 10
4．(2019·咸宁模拟)已知 tan(α＋β)＝2，tan β＝3，则 sin 2α＝( )
7 14
A. B.
25 25
7 14
C．－ D．－
25 25
tan(α＋β)－tan β 1
解析：选 C 由题意知 tan α＝tan[(α＋β)－β]＝ ＝－ ，
1＋tan(α＋β)tan β 7
2sin αcos α 2tan α 7
所以 sin 2α＝ 2 2 ＝ 2 ＝－ . sin α＋cos α tan α＋1 25
2π 7 π
5．已知 cos －2θ ＝－ ，则 sin ＋θ 3 6 的值为( ) 9
1 1
A. B．±
3 3
1 1
C．－ D.
9 9
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2π 7
解析：选 B ∵cos －2θ 3 ＝－ ， 9
π π
∴cos ＋2θ ＋2θ π－ 3 ＝－cos 3
π π 7
＝－cos 2 ＋θ 2 ＋θ 6 ＝－ 1－2sin 6 ＝－ ， 9
π 1 π 1解得 sin2 ＋θ 6 ＝ ，∴sin
＋θ
9 6 ＝± . 3
4 π
6．若 sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝ ，且 α为第二象限角，则 tan α＋ 4 ＝( ) 5
1
A．7 B.
7
1
C．－7 D．－
7
4 4
解析：选 B ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝ ，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝ ，
5 5
4 3 π 1＋tan α 1
∴cos α＝－ .又∵α为第二象限角，∴tan α＝－ ，∴tan α＋
5 4 4 ＝ ＝ . 1－tan α 7
2sin(π－α)＋sin 2α
7．化简： ＝________.
2αcos
2
2sin(π－α)＋sin 2α 2sin α＋2sin αcos α
解析： ＝
α 1
cos2 (1＋cos α)
2 2
4sin α(1＋cos α)
＝ ＝4sin α.
1＋cos α
答案：4sin α
5
8．(2018·洛阳第一次统考)已知 sin α＋cos α＝ ，则 cos 4α＝________.
2
5 5
解析：由 sin α＋cos α＝ ，得 sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝ ，所以 sin 2α＝
2 4
1 1 7
，从而 cos 4α＝1－2sin22α＝1－2× 2＝ .
4 4 8
7
答案：
8
9．若锐角 α，β满足 tan α＋tan β＝ 3－ 3tan αtan β，则 α＋β＝________.
tan α＋tan β
解析：由已知可得 ＝ 3，
1－tan αtan β
即 tan(α＋β)＝ 3.
π
又因为 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝ .
3
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π
答案：
3
π
10．函数 y＝sin xcos x＋ 3 的最小正周期是________．
π 1 3 1 3 1－cos 2x 1 π
解析：y＝sin xcos x＋ 3 ＝ sin xcos x－ sin
2x＝ sin 2x－ · ＝ sin 2x＋ －
2 2 4 2 2 2 3
3 2π
，故函数 f(x)的最小正周期 T＝ ＝π.
4 2
答案：π
3tan 12°－3
11．化简：(1) ；
sin 12°(4cos212°－2)
cos2α
(2) .
1 α
－tan
α 2
tan
2
3sin 12°
－3
cos 12°
解：(1)原式＝
2(2cos212°－1)sin 12°
3sin 12°－3cos 12°
＝
2sin 12°cos 12°cos 24°
2 3(sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°)
＝
sin 24°cos 24°
4 3sin(12°－60°)
＝ ＝－4 3.
sin 48°
cos2α cos2 α
(2)法一：原式＝ ＝
α α α α
cos sin cos2 －sin2
2 2 2 2
－
α α α α
sin cos sin cos
2 2 2 2
α α α α
cos2αsin cos cos2αsin cos
2 2 2 2
＝ ＝
2 α 2 α cos αcos －sin
2 2
α α 1 1
＝sin cos cos α＝ sin αcos α＝ sin 2α.
2 2 2 4
2 α αcos αtan 2tan
2 1 2
法二：原式＝ ＝ cos2α·
α 2 α
1－tan2 1－tan2
2 2
1 1 1
＝ cos2α·tan α＝ cos αsin α＝ sin 2α.
2 2 4
π
12．已知函数 f(x)＝2sin xsin x＋ 6 .
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
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π
(2)当 x∈ 0， 2 时，求函数 f(x)的值域．
3 1 1－cos 2x 1 π 3
解： (1)因为 f(x)＝2sin x sin x＋ cos x ＝ 3× ＋ sin 2x＝sin 2x－ ＋ ，
2 2 2 2 3 2
所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π.
π π π
由－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
2 3 2
π 5π
解得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，
12 12
π 5π
所以函数 f(x)的单调递增区间是 － ＋kπ， ＋kπ 12 12 ，k∈Z.
π π π 2π
(2)当 x∈ 0， 2 时，2x－ ∈
－ ，
3 3 3 ，
π 3 3
sin 2x－ 3 ∈ － ，1 ，f(x)∈ 0，1＋ . 2 2
3故 的值域为 f(x) 0，1＋ .
2
B 级
1
1．(2018·大庆中学期末)已知 tan α， 是关于 x 的方程 x2－kx＋k2－3＝0 的两个实根，
tan α
7π
且 3π<α< ，则 cos α＋sin α＝( )
2
A. 3 B. 2
C．－ 2 D．－ 3
1 1
解析：选 C ∵tan α， 是关于 x 的方程 x2－kx＋k2－3＝0 的两个实根，∴tan α＋
tan α tan α
1
＝k，tan α· ＝k2－3.
tan α
7π
∵3π<α< ，∴k>0，∴k＝2，
2
π
∴tan α＝1，∴α＝3π＋ ，
4
2 2
则 cos α＝－ ，sin α＝－ ，∴cos α＋sin α＝－ 2.
2 2
1
2．在△ABC 中，sin(C－A)＝1，sin B＝ ，则 sin A＝________.
3
解析：∵sin(C－A)＝1，
∴C－A＝90°，即 C＝90°＋A，
1
∵sin B＝ ，
3
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1
∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝ ，
3
1 3
即 1－2sin2A＝ ，∴sin A＝ .
3 3
3
答案：
3
3．已知角 α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(－3， 3)．
(1)求 sin 2α－tan α的值；
π
(2)若函数 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数 g(x)＝ 3f －2x 2 2 －2f (x)在区间
2π0，
3 上的值域．
解：(1)∵角 α的终边经过点 P(－3， 3)，
1 3 3
∴sin α＝ ，cos α＝－ ，tan α＝－ .
2 2 3
3 3 3
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－ ＋ ＝－ .
2 3 6
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，
π π
∴g(x)＝ 3cos －2x 2 2 －2cos x＝ 3sin 2x－1－cos 2x＝2sin
2x－
6 －1.
2π
∵0≤x≤ ，
3
π π 7π
∴－ ≤2x－ ≤ .
6 6 6
1 π
∴－ ≤sin 2x－
2 6 ≤1，
π
∴－2≤2sin 2x－ 6 －1≤1，
π 2π
故函数 g(x)＝ 3f －2x －2f2 2 (x)在区间
0，
3 上的值域是[－2,1]．
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