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第七节 正弦定理和余弦定理
一、基础知识
1．正弦定理
a b c
＝ ＝ ＝2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．
sin A sin B sin C
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
a b c
(2)sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ；
正弦定理的常见变形 2R 2R 2R
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
a＋b＋c a
(4) ＝ .
sin A＋sin B＋sin C sin A
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
3．三角形的面积公式
1
(1)S△ABC＝ ah (h 为边 a 上的高)； 2 a a
1 1 1
(2)S△ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B； 2 2 2
1
(3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
2
二、常用结论汇总——规律多一点
1．三角形内角和定理
A＋B π C
在△ABC 中，A＋B＋C＝π；变形： ＝ － .
2 2 2
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
A＋B C A＋B C
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
2 2 2 2
3．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
4．用余弦定理判断三角形的形状
在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，当 b2＋c2－a2>0 时，可知 A 为锐角；
当 b2＋c2－a2＝0 时，可知 A 为直角；当 b2＋c2－a2<0 时，可知 A 为钝角．
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第一课时 正弦定理和余弦定理(一)
考点一 利用正、余弦定理解三角形
考法(一) 正弦定理解三角形
[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a＝3，b＝2，A＝30°，则 cos B＝
________.
1 π
(2)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 3，sin B＝ ，C＝ ，则 b
2 6
＝________.
bsin A 2×sin 30° 1
[解析] (1)由正弦定理可得 sin B＝ ＝ ＝ ，∵a＝3>b＝2，∴Ba 3 3
2 2 2为锐角，∴cos B＝ 1－sin B＝ .
3
1 π 5π
(2)∵sin B＝ 且 B∈(0，π)，∴B＝ 或 B＝ ，
2 6 6
π π 2π
又∵C＝ ，∴B＝ ，A＝π－B－C＝ .
6 6 3
a b
又 a＝ 3，由正弦定理得 ＝ ，
sin A sin B
3 b
即 ＝ ，解得 b＝1.
2π π
sin sin
3 6
2 2
[答案] (1) (2)1
3
考法(二) 余弦定理解三角形
[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若
bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC 的周长为( )
A．7.5 B．7
C．6 D．5
c－b
(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ＝
2c－a
sin A
，则角 B＝________.
sin B＋sin C
b2＋c2－a2 a2＋c2－b2
[解析] (1)∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得 b· ＋a· ＝c2，
2bc 2ac
整理可得 2c2＝2c3，解得 c＝1，则△ABC 的周长为 a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.
c－b sin A a
(2)由正弦定理可得 ＝ ＝ ，
2c－a sin B＋sin C b＋c
∴c2－b2＝ 2ac－a2，∴c2＋a2－b2＝ 2ac，
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a2＋c2－b2 2 π
∴cos B＝ ＝ ，∵02ac 2 4
π
[答案] (1)D (2)
4
[题组训练]
1.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2＝ac，c＝2a，则 cos C＝( )
2 2
A. B．－
4 4
3 3
C. D．－
4 4
解析：选 B 由题意得，b2＝ac＝2a2，
a2＋b2－c2 a2＋2a2－4a2 2
即 b＝ 2a，∴cos C＝ ＝ ＝－ .
2ab 2a× 2a 4
2.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a
＝2，c＝ 2，则 C＝( )
π π
A. B.
12 6
π π
C. D.
4 3
解析：选 B 因为 sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，
所以 sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
所以 sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得 sin C(sin A＋cos A)＝0.
因为 sin C≠0，
所以 sin A＋cos A＝0，所以 tan A＝－1，
3π
因为 A∈(0，π)，所以 A＝ ，
4
2
2×
c·sin A 2 1
由正弦定理得 sin C＝ ＝ ＝ ，
a 2 2
π π
又 0＜C＜ ，所以 C＝ .
4 6
3.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin
C.
(1)求角 A 的大小；
1
(2)若 cos B＝ ，a＝3，求 c 的值．
3
解：(1)由正弦定理可得 b2＋c2＝a2＋bc，
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b2＋c2－a2 1
由余弦定理得 cos A＝ ＝ ，
2bc 2
π
因为 A∈(0，π)，所以 A＝ .
3
3
(2)由(1)可知 sin A＝ ，
2
1 2 2
因为 cos B＝ ，B 为△ABC 的内角，所以 sin B＝ ，
3 3
故 sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
3 1 1 2 2 3＋2 2
＝ × ＋ × ＝ .
2 3 2 3 6
a c
由正弦定理 ＝ 得
sin A sin C
asin C 3×( 3＋2 2) 2 6
c＝ ＝ ＝1＋ .
sin A 3 3
×6
2
考点二 判定三角形的形状
[典例] (1)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin
A，则△ABC 的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
sin A a
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ＝ ，(b＋c＋a)(b＋c－a)
sin B c
＝3bc，则△ABC 的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
[解析] (1)法一：因为 bcos C＋ccos B＝asin A，
由正弦定理知 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，
得 sin(B＋C)＝sin Asin A.
又 sin(B＋C)＝sin A，得 sin A＝1，
π
即 A＝ ，因此△ABC 是直角三角形．
2
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 2a2
法二：因为 bcos C＋ccos B＝b· ＋c· ＝ ＝a，所以 asin A＝a，即
2ab 2ac 2a
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π
sin A＝1，故 A＝ ，因此△ABC 是直角三角形．
2
sin A a a a
(2)因为 ＝ ，所以 ＝ ，所以 b＝c.
sin B c b c
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以 b2＋c2－a2＝bc，
b2＋c2－a2 bc 1
所以 cos A＝ ＝ ＝ .
2bc 2bc 2
π
因为 A∈(0，π)，所以 A＝ ，所以△ABC 是等边三角形．
3
[答案] (1)B (2)C
[变透练清]
1. (变条件)若本例 (1)条件改为“asin A＋bsin B________．
解析：根据正弦定理可得 a2＋b2a2＋b2－c2
由余弦定理得 cos C＝ <0，故 C 是钝角，
2ab
所以△ABC 是钝角三角形．
答案：钝角三角形
2.(变条件)若本例(1)条件改为“c－acos B＝(2a－b)cos A”，那么△ABC 的形状为
________．
解析：因为 c－acos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得 sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin B·cos A，
所以 sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以 cos A(sin B－sin A)＝0，
所以 cos A＝0 或 sin B＝sin A，
π
所以 A＝ 或 B＝A 或 B＝π－A(舍去)，
2
所以△ABC 为等腰或直角三角形．
答案：等腰或直角三角形
cos A b
3.(变条件)若本例(2)条件改为“ ＝ ＝ 2”，那么△ABC 的形状为________．
cos B a
cos A b cos A sin B b
解析：因为 ＝ ，由正弦定理得 ＝ ，所以 sin 2A＝sin 2B.由 ＝ 2，可知
cos B a cos B sin A a
π π
a≠b，所以 A≠B.又因为 A，B∈(0，π)，所以 2A＝π－2B，即 A＋B＝ ，所以 C＝ ，于是
2 2
△ABC 是直角三角形．
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答案：直角三角形
[课时跟踪检测]
A 级
sin A cos B
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 ＝ ，则 B 的大小为( )
a b
A．30° B．45°
C．60° D．90°
sin A cos B
解析：选 B 由正弦定理知， ＝ ，
sin A sin B
∴sin B＝cos B，∴B＝45°.
2．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 b＝40，c＝20，C＝60°，
则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
b c
解析：选 C 由正弦定理得 ＝ ，
sin B sin C
3
40×
bsin C 2
∴sin B＝ ＝ ＝ 3>1.
c 20
∴角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在．
a
3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B＝ (a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，
c
则△ABC 的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
a a2＋c2－b2 a
解析：选 A 因为 cos B＝ ，由余弦定理得 ＝ ，整理得 b2＋a2＝c2，即 C 为
c 2ac c
直角，则△ABC 为直角三角形．
4．在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边．若 bsin A＝3csin B，a＝3， cos
2
B＝ ，则 b＝( )
3
A．14 B．6
C. 14 D. 6
解析：选 D ∵bsin A＝3csin B ab＝3bc a＝3c c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9
2
＋1－2×3×1× ＝6，∴b＝ 6.
3
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5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 asin Bcos C
1
＋csin Bcos A＝ b，且 a>b，则 B＝( )
2
π π
A. B.
6 3
2π 5π
C. D.
3 6
1
解析：选 A ∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝ b，∴根据正弦定理可得 sin Asin Bcos C＋sin
2
1 1 1
Csin Bcos A＝ sin B，即 sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝ sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝ ，
2 2 2
1 π
即 sin B＝ .∵a>b，∴A>B，即 B 为锐角，∴B＝ .
2 6
6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2(bcos A
＋acos B)＝c2，b＝3,3cos A＝1，则 a＝( )
A. 5 B．3
C. 10 D．4
解析：选 B 由正弦定理可得 2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝csin C，
∵2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝2sin(A＋B)＝2sin C，
∴2sin C＝csin C，∵sin C>0，∴c＝2，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋22－
1
2×3×2× ＝9，∴a＝3.
3
7．在△ABC 中，AB＝ 6，A＝75°，B＝45°，则 AC＝________.
解析：C＝180°－75°－45°＝60°，
AB AC
由正弦定理得 ＝ ，
sin C sin B
6 AC
即 ＝ ，解得 AC＝2.
sin 60° sin 45°
答案：2
1
8．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos C＝－ ，3sin A＝
4
2sin B，则 c＝________.
解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.
又∵a＝2，∴b＝3.
由余弦定理可知 c2＝a2＋b2－2abcos C，
1
∴c2＝22＋32－2×2×3× － 4 ＝16，∴c＝4.
答案：4
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9．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 7，b＝2，
A＝60°，则 sin B＝________，c＝________.
a b
解析：由正弦定理 ＝ ，
sin A sin B
b 2 3 21
得 sin B＝ ·sin A＝ × ＝ .
a 7 2 7
由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，
得 7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即 c2－2c－3＝0，解得 c＝3 或 c＝－1(舍去)．
21
答案： 3
7
10．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，sin A，sin B，sin C 成等差数
列，且 a＝2c，则 cos A＝________.
解析：因为 sin A，sin B，sin C 成等差数列，所以 2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得
9 2
2 2 c ＋c
2－4c2
3 b ＋c －a2 4 1
a＋c＝2b，又因为 a＝2c，可得 b＝ c，所以 cos A＝ ＝ ＝－ .
2 2bc 3
2× c2
4
2
1
答案：－
4
11．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A＝2B.
(1)求证：a＝2bcos B；
(2)若 b＝2，c＝4，求 B 的值．
a b a b
解：(1)证明：因为 A＝2B，所以由正弦定理 ＝ ，得 ＝ ，
sin A sin B sin 2B sin B
所以 a＝2bcos B.
(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，
因为 b＝2，c＝4，A＝2B，
3
所以 16cos2B＝4＋16－16cos 2B，所以 cos2B＝ ，
4
因为 A＋B＝2B＋B<π，
π 3 π
所以 B< ，所以 cos B＝ ，所以 B＝ .
3 2 6
12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A＝
(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求 A 的大小；
(2)若 sin B＋sin C＝1，试判断△ABC 的形状．
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解：(1)由已知，结合正弦定理，
得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即 a2＝b2＋c2＋bc.
又由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A，
1
所以 bc＝－2bccos A，即 cos A＝－ .
2
2π
由于 A 为△ABC 的内角，所以 A＝ .
3
(2)由已知 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，
结合正弦定理，得 2sin2A＝(2sin B＋sin C)sin B＋(2sin C＋sin B)sin C，
2π 3
即 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2 ＝ .
3 4
又由 sin B＋sin C＝1，
得 sin2B＋sin2C＋2sin Bsin C＝1，
1
所以 sin Bsin C＝ ，结合 sin B＋sin C＝1，
4
1
解得 sin B＝sin C＝ .
2
π π
因为 B＋C＝π－A＝ ，所以 B＝C＝ ，
3 6
所以△ABC 是等腰三角形．
B 级
A＋B
1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 2cos2
2
－cos 2C＝1,4sin B＝3sin A，a－b＝1，则 c 的值为( )
A. 13 B. 7
C. 37 D．6
A＋B
解析：选 A 由 2cos2 －cos 2C＝1，得 1＋cos(A＋B)－(2cos2C－1)＝2－2cos2C－
2
1
cos C＝1，即 2cos2C＋cos C－1＝0，解得 cos C＝ 或 cos C＝－1(舍去)．由 4sin B＝3sin A
2
及正弦定理，得 4b＝3a，结合 a－b＝1，得 a＝4，b＝3.由余弦定理，知 c2＝a2＋b2－2abcos C＝42
＋32
1
－2×4×3× ＝13，所以 c＝ 13.
2
2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c＝ 3，
2sin A tan C
＝ ，若 sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，则 a＋b＝________.
a c
2sin A tan C sin C
解析：∵ ＝ ＝ ，且由正弦定理可得 a＝2Rsin A，c＝2Rsin C(R 为△ABC
a c ccos C
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1 π
的外接圆的半径)，∴cos C＝ .∵C∈(0，π)，∴C＝ .∵sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，sin C＝
2 3
π π
sin(A＋B)，∴2sin Acos B＝4sin Bcos B．当 cos B＝0 时，B＝ ，则 A＝ ，∵c＝ 3， ∴
2 6
a2＋b2－c2 1
a＝1，b＝2，则 a＋b＝3.当 cos B≠0 时，sin A＝2sin B，即 a＝2b.∵cos C＝ ＝ ，
2ab 2
∴b2＝1，即 b＝1，∴a＝2，则 a＋b＝3.综上，a＋b＝3.
答案：3
3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2acos C－c＝2b.
(1)求角 A 的大小；
(2)若 c＝ 2，角 B 的平分线 BD＝ 3，求 a.
解：(1)2acos C－c＝2b 2sin Acos C－sin C＝2sin B 2sin Acos C－sin C＝2sin(A＋C)
＝2sin Acos C＋2cos Asin C，
∴－sin C＝2cos Asin C，
1
∵sin C≠0，∴cos A＝－ ，
2
2π
又 A∈(0，π)，∴A＝ .
3
AB BD
(2)在△ABD 中，由正弦定理得， ＝ ，
sin∠ADB sin A
ABsin A 2
∴sin∠ADB＝ ＝ .
BD 2
2π
又∠ADB∈(0，π)，A＝ ，
3
π π π
∴∠ADB＝ ，∴∠ABC＝ ，∠ACB＝ ，b＝c＝ 2，
4 6 6
2π
由余弦定理，得 a2＝c2＋b2－2c·b·cos A＝( 2)2＋( 2)2－2× 2× 2cos ＝6，∴a＝ 6.
3
第二课时 正弦定理和余弦定理(二)
考点一 有关三角形面积的计算
[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＝
3
7，c＝4，cos B＝ ，则△ABC 的面积等于( )
4
3 7
A．3 7 B.
2
9
C．9 D.
2
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3
(2)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若△ABC 的面积为 (a2＋c2
4
－b2)，则 B＝________.
3
[解析] (1)法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，代入数据，得 a＝3，又 cos B＝ ，
4
7 1 3 7
B∈(0，π)，所以 sin B＝ ，所以 S
4 △ABC
＝ acsin B＝ .
2 2
3 7 b c
法二：由 cos B＝ ，B∈(0，π)，得 sin B＝ ，由正弦定理 ＝ 及 b＝ 7，c＝4，
4 4 sin B sin C
π 3 1 3 7
可得 sin C＝1，所以 C＝ ，所以 sin A＝cos B＝ ，所以 S△ABC＝ bcsin A＝ . 2 4 2 2
a2＋c2－b2
(2)由余弦定理得 cos B＝ ，
2ac
∴a2＋c2－b2＝2accos B.
3 1 3
又∵S＝ (a2＋c2－b2)，∴ acsin B＝ ×2accos B，
4 2 4
π
∴tan B＝ 3，∵B∈(0，π)，∴B＝ .
3
π
[答案] (1)B (2)
3
[变透练清]
15
1.(变条件)本例(1)的条件变为：若 c＝4，sin C＝2sin A，sin B＝ ，则 S
4 △ABC
＝________.
1 1 15
解析：因为 sin C＝2sin A，所以 c＝2a，所以 a＝2，所以 S△ABC＝ acsin B＝ ×2×4×2 2 4
＝ 15.
答案： 15
c
2.(变结论)本例(2)的条件不变，则 C 为钝角时， 的取值范围是________．
a
2πsin －A
π 2π π π c 3
解析：∵B＝ 且 C 为钝角，∴C＝ －A> ，∴03 3 2 6 a sin A
3 1
cos A＋ sin A
2 2 1 3 1
＝ ＋ · .
sin A 2 2 tan A
3 1
∵0 3，
3 tan A
c 1 3 c
∴ > ＋ × 3＝2，即 >2.
a 2 2 a
答案：(2，＋∞)
3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A.
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(1)求角 C 的大小；
4 3
(2)若 c＝3，△ABC 的面积 S＝ ，求△ABC 的周长．
3
解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B－sin A)cos C＝sin Ccos A，
即 2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，
1
∵B∈(0，π)，∴sin B>0，∴cos C＝ ，
2
π
∵C∈(0，π)，∴C＝ .
3
π 1 1 π 4 3
(2)由(1)知，C＝ ，故 S＝ absin C＝ absin ＝ ，
3 2 2 3 3
16
解得 ab＝ .
3
由余弦定理可得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
16
又 c＝3，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝32＋3× ＝25，得 a＋b＝5.
3
∴△ABC 的周长为 a＋b＋c＝5＋3＝8.
[解题技法]
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边
或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总
之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
考点二 平面图形中的计算问题
[典例] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形 ABCD 中，∠ABC
3π
＝ ，AB⊥AD，AB＝1.
4
(1)若 AC＝ 5，求△ABC 的面积；
π
(2)若∠ADC＝ ，CD＝4，求 sin∠CAD.
6
[解] (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即 5＝1＋BC2＋ 2BC，解得 BC＝ 2，
第 346页/共1004页
1 1 2 1
所以△ABC 的面积 S△ABC＝ AB·BC·sin∠ABC＝ ×1× 2× ＝ . 2 2 2 2
AC CD
(2)设∠CAD＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得 ＝ ，
sin∠ADC sin∠CAD
AC 4
即 ＝ ， ①
π sin θ
sin
6
π 3π
在△ABC 中，∠BAC＝ －θ，∠BCA＝π－ －
π π
－θ ＝θ－ ，
2 4 2 4
AC AB
由正弦定理得 ＝ ，
sin∠ABC sin∠BCA
AC 1
即 ＝ ，②
3π π
sin θ－
4 sin 4
3π π
sin θ－
4 4sin 4
①②两式相除，得 ＝ ，
π sin θ
sin
6
2 2
即 4 sin θ－ cos θ ＝ 2sin θ，
2 2
整理得 sin θ＝2cos θ.
又因为 sin2θ＋cos2θ＝1，
2 5 2 5
所以 sin θ＝ ，即 sin∠CAD＝ .
5 5
[解题技法]
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三
角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定
理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平
行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
[题组训练]
1.如图，在△ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB＝AD,2AB＝ 3BD，
BC＝2BD，则 sin C 的值为________．
解析：设 AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝ 3BD，BC＝2BD，
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2a 4a
∴AD＝a，BD＝ ，BC＝ .
3 3
4a2
a2＋ －a2
3 3
在△ABD 中，cos∠ADB＝ ＝ ，
2a 3
2a×
3
6 6
∴sin∠ADB＝ ，∴sin∠BDC＝ .
3 3
BD BC
在△BDC 中， ＝ ，
sin C sin∠BDC
BD·sin∠BDC 6
∴sin C＝ ＝ .
BC 6
6
答案：
6
2.如图，在平面四边形 ABCD 中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝ 7，EA
2π
＝2，∠ADC＝ ，且∠CBE，∠BEC，∠BCE 成等差数列．
3
(1)求 sin∠CED；
(2)求 BE 的长．
解：设∠CED＝α.
因为∠CBE，∠BEC，∠BCE 成等差数列，
所以 2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，
π
又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝ .
3
(1)在△CDE 中，由余弦定理得 EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，
即 7＝CD2＋1＋CD，即 CD2＋CD－6＝0，
解得 CD＝2(CD＝－3 舍去)．
EC CD
在△CDE 中，由正弦定理得 ＝ ，
sin∠EDC sin α
2π 3
CD·sin 2×
3 2 21 21
于是 sin α＝ ＝ ＝ ，即 sin∠CED＝ .
EC 7 7 7
π 21 2 7
(2)由题设知 0<α< ，由(1)知 cos α＝ 1－sin2α＝ 1－ ＝ ，又∠AEB＝π－∠BEC
3 49 7
2π
－α＝ －α，
3
2π 2π 2π 1 2 7 3 21 7
所以 cos∠AEB＝cos －α 3 ＝cos cos α＋sin sin α＝－ × ＋ × ＝ . 3 3 2 7 2 7 14
EA 2 7
在 Rt△EAB 中，cos∠AEB＝ ＝ ＝ ，所以 BE＝4 7.
BE BE 14
第 348页/共1004页
考点三 三角形中的最值、范围问题
π
[典例] (1)在△ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，A≠ ，sin C＋sin(B
2
－A)＝ 2sin 2A，则角 A 的取值范围为( )
π π
A. 0， B. 0， 6 4
π πC. ，
π π
6 4 D.
，
6 3
(2)已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，
则 cos C 的最小值为( )
3 2
A. B.
2 2
1 1
C. D．－
2 2
[解析] (1)在△ABC 中，C＝π－(A＋B)，所以 sin(A＋B)＋sin(B－A)＝ 2sin 2A，即 2sin
π
Bcos A＝2 2sin Acos A，因为 A≠ ，所以 cos A≠0，所以 sin B＝ 2sin A，由正弦定理得，
2
2 π
b＝ 2a，所以 A 为锐角．又因为 sin B＝ 2sin A∈(0,1]，所以 sin A∈ 0， ，所以 A∈ 0，
2 4
.
(2)因为 cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以 1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得 a2＋b2＝
a2＋b2－c2 a2＋b2 2ab 1
2c2，cos C＝ ＝ ≥ ＝ ，当且仅当 a＝b 时等号成立，故选 C.
2ab 4ab 4ab 2
[答案] (1)B (2)C
[解题技法]
1．三角形中的最值、范围问题的解题策略
解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的
量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知
边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如 A＋B＋C＝π，0大角等．
[题组训练]
1．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A＝ bsin
A，则 sin A＋sin C 的最大值为( )
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9
A. 2 B.
8
7
C．1 D.
8
解析：选 B ∵acos A＝bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A＝sin Bsin A，∵sin A≠0，
π
∴cos A＝sin B，又 B 为钝角，∴B＝A＋ ，sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋cos 2A
2
1 9 9
＝sin A＋1－2sin2A＝－2 sin A－ 2 4 ＋ ，∴sin A＋sin C 的最大值为 . 8 8
2．(2018·哈尔滨三中二模)在△ABC 中，已知 c＝2，若 sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，
则 a＋b 的取值范围为________．
a2＋b2－c2 1
解析：∵sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，∴a2＋b2－ab＝c2，∴cos C＝ ＝ ，
2ab 2
π a b 2 4 3 4 3 4 3
又∵C∈(0，π)，∴C＝ .由正弦定理可得 ＝ ＝ ＝ ，∴a＝ sin A，b＝
3 sin A sin B π 3 3 3
sin
3
2π 4 3 4 3 4 3 4 3 2π π
sin B．又∵B＝ －A，∴a＋b＝ sin A＋ sin B＝ sin A＋ sin －A A＋
3 3 3 3 3 3 ＝4sin 6 .
2π π π 5π π 1又∵A∈ 0， 3 ，∴A＋ ∈
， ，∴sin A＋ ，1
6 6 6 6 ∈ 2 ，∴a＋b∈(2,4]．
答案：(2,4]
cos B cos C sin A
3．已知在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ＋ ＝ .
b c 3sin C
(1)求 b 的值；
(2)若 cos B＋ 3sin B＝2，求△ABC 面积的最大值．
a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 3a 2a2 3a
解：(1)由题意及正、余弦定理得 ＋ ＝ ，整理得 ＝ ，所
2abc 2abc 3c 2abc 3c
以 b＝ 3.
π
(2)由题意得 cos B＋ 3sin B＝2sin B＋ 6 ＝2，
π
所以 sin B＋ 6 ＝1，
π π π
因为 B∈(0，π)，所以 B＋ ＝ ，所以 B＝ .
6 2 3
由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B，
所以 3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
即 ac≤3，当且仅当 a＝c＝ 3时等号成立．
1 3 3 3
所以△ABC 的面积 S△ABC＝ acsin B＝ ac≤ ， 2 4 4
当且仅当 a＝c＝ 3时等号成立．
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3 3
故△ABC 面积的最大值为 .
4
考点四 解三角形与三角函数的综合应用
考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换
[典例] (2018·天津高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsin
A＝acos
π
B－
6 .
(1)求角 B 的大小；
(2)设 a＝2，c＝3，求 b 和 sin(2A－B)的值．
[解] (1)在△ABC 中，
a b
由正弦定理 ＝ ，可得 bsin A＝asin B.
sin A sin B
π
又因为 bsin A＝acos B－ 6 ，
π
所以 asin B＝acos B－ 6 ，
3 1
即 sin B＝ cos B＋ sin B，
2 2
所以 tan B＝ 3.
π
因为 B∈(0，π)，所以 B＝ .
3
π
(2)在△ABC 中，由余弦定理及 a＝2，c＝3，B＝ ，
3
得 b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故 b＝ 7.
π 3
由 bsin A＝acos B－ 6 ，可得 sin A＝ . 7
2
因为 a＜c，所以 cos A＝ .
7
4 3 1
所以 sin 2A＝2sin Acos A＝ ，cos 2A＝2cos2A－1＝ .
7 7
所以 sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B
4 3 1 1 3 3 3
＝ × － × ＝ .
7 2 7 2 14
考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质
1
[典例] (2018·辽宁五校联考)已知函数 f(x)＝cos2x＋ 3sin(π－x)cos(π＋x)－ .
2
第 351页/共1004页
(1)求函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f(A)＝－1，a＝2，bsin
C＝asin A，求△ABC 的面积．
1 1＋cos 2x 3 1 π
[解] (1)f(x)＝cos2x－ 3sin xcos x－ ＝ － sin 2x－ ＝－sin 2x－
2 2 2 2 6 ，
π π π
令 2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
2 6 2
π π
得 kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，又∵x∈[0，π]，
6 3
π 5π
∴函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间为 0， ，π 3 和 6 .
π
(2)由(1)知 f(x)＝－sin 2x－ 6 ，
π
∴f(A)＝－sin 2A－ 6 ＝－1，
π
∵△ABC 为锐角三角形，∴02
π π 5π π π π
∴－ <2A－ < ，∴2A－ ＝ ，即 A＝ .
6 6 6 6 2 3
又∵bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4，
1
∴S△ABC＝ bcsin A＝ 3. 2
[对点训练]
在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，(2a－c)cos B－bcos C＝0.
(1)求角 B 的大小；
3
(2)设函数 f(x)＝2sin xcos xcos B－ cos 2x，求函数 f(x)的最大值及当 f(x)取得最大值时
2
x 的值．
解：(1)因为(2a－c)cos B－bcos C＝0，
所以 2acos B－ccos B－bcos C＝0，
由正弦定理得
2sin Acos B－sin Ccos B－cos Csin B＝0，
即 2sin Acos B－sin(C＋B)＝0，
又因为 C＋B＝π－A，所以 sin(C＋B)＝sin A.
所以 sin A(2cos B－1)＝0.
1
在△ABC 中，sin A≠0，所以 cos B＝ ，
2
π
又因为 B∈(0，π)，所以 B＝ .
3
第 352页/共1004页
π
(2)因为 B＝ ，
3
1 3 π
所以 f(x)＝ sin 2x－ cos 2x＝sin 2x－
2 2 3 ，
π π 5π
令 2x－ ＝2kπ＋ (k∈Z)，得 x＝kπ＋ (k∈Z)，
3 2 12
5π
即当 x＝kπ＋ (k∈Z)时，f(x)取得最大值 1.
12
[课时跟踪检测]
A 级
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则 △
ABC 的面积为( )
1 1
A. B.
2 4
C．1 D．2
1
解析：选 A 由 cos 2A＝sin A，得 1－2sin2A＝sin A，解得 sin A＝ (负值舍去)，由 bc
2
1 1 1 1
＝2，可得△ABC 的面积 S＝ bcsin A＝ ×2× ＝ .
2 2 2 2
2．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，若(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，
则角 B 的大小为( )
π π
A. B.
6 3
2π 5π
C. D.
3 6
解析：选 C 由已知条件和正弦定理，得(2sin A＋sin C)cos B＋sin Bcos C＝0.化简，得
1
2sin Acos B＋sin A＝0.因为角 A 为三角形的内角，所以 sin A≠0，所以 cos B＝－ ，所以 B
2
2π
＝ .
3
2 2
3．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sin A＝ ，a＝3， S
3
△ABC＝2 2，则 b 的值为( )
A．6 B．3
C．2 D．2 或 3
1
解析：选 D 因为 S△ABC＝ bcsin A＝2 2，所以 bc＝6， 2
第 353页/共1004页
2 2 π又因为 sin A＝ ，A∈ 0，
3 2 ，
1
所以 cos A＝ ，因为 a＝3，
3
所以由余弦定理得 9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得 b＝2 或 b＝3.
4．(2018·昆明检测)在△ABC 中，已知 AB＝ 2，AC＝ 5，tan∠BAC＝－3，则 BC 边
上的高等于( )
A．1 B. 2
C. 3 D．2
3 1
解析：选 A 法一：因为 tan∠BAC＝－3，所以 sin∠BAC＝ ，cos∠BAC＝－ .
10 10
1
由余弦定理，得 BC2＝AC2＋ AB2－2AC·ABcos∠BAC＝5＋2－2× 5× 2× － ＝9，所
10
1 1 3 3
以 BC＝3，所以 S△ABC＝ AB·ACsin∠BAC＝ × 2× 5× ＝ ，所以 BC 边上的高 h＝2 2 10 2
3
2×
2S△ABC 2
＝ ＝1.
BC 3
法二：在△ABC 中，因为 tan∠BAC＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此 BC 边上的高小
于 2，结合选项可知选 A.
5．(2018·重庆九校联考)已知 a，b，c 分别是△ABC 的内角 A，B，C 的对边，且 asin B
＝ 3bcos A，当 b＋c＝4 时，△ABC 面积的最大值为( )
3 3
A. B.
3 2
C. 3 D．2 3
解析：选 C 由 asin B＝ 3bcos A，得 sin Asin B＝ 3sin Bcos A，∴tan A＝ 3，∵0π 1 3 3 b＋c
∴ ＝ ，故 ＝ A S△ABC bcsin A＝ bc≤ 2＝ 3(当且仅当 b＝c＝2 时取等号)，故选 C. 3 2 4 4 2
6．(2019·安徽名校联盟联考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bc
＝1，b＋2ccos A＝0，则当角 B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )
A．2＋ 3 B．2＋ 2
C．3 D．3＋ 2
b2＋c2－a2
解析：选 A 由 b＋2ccos A＝0，得 b＋2c· ＝0，整理得 2b2＝a2－c2.由余弦定
2bc
a2＋c2－b2 a2＋3c2 2 3ac 3
理，得 cos B＝ ＝ ≥ ＝ ，当且仅当 a＝ 3c 时等号成立，此时角 B
2ac 4ac 4ac 2
取得最大值，将 a＝ 3c 代入 2b2＝a2－c2 可得 b＝c.又因为 bc＝1，所以 b＝c＝1，a＝ 3，
第 354页/共1004页
故△ABC 的周长为 2＋ 3.
7．在△ABC 中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC 的面积为________．
解析：由余弦定理知 72＝52＋BC2－2×5×BC×cos 120°，
即 49＝25＋BC2＋5BC，解得 BC＝3(负值舍去)．
1 1 3 15 3
故 S△ABC＝ AB·BCsin B＝ ×5×3× ＝ . 2 2 2 4
15 3
答案：
4
8．(2019·长春质量检测)在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
1
bcos A＝sin B，且 a＝2 3，b＋c＝6，则△ABC 的面积为________．
2
cos A sin B sin A
解析：由题意可知 ＝ ＝ ，因为 a＝2 3，所以 tan A＝ 3，因为 02 b a
π
所以 A＝ ，由余弦定理得 12＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又因为 b＋c＝6，所以 bc＝8，从
3
1 1 π
而△ABC 的面积为 bcsin A＝ ×8×sin ＝2 3.
2 2 3
答案：2 3
π
9．已知在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，∠BAC＝ ，点 D 在边 BC
2
sin B
上，AD＝1，且 BD＝2DC，∠BAD＝2∠DAC，则 ＝________.
sin C
π π π
解析：由∠BAC＝ 及∠BAD＝2∠DAC，可得∠BAD＝ ，∠DAC＝ .由 BD＝2DC，令
2 3 6
1 x 1
DC＝x，则 BD＝2x.因为 AD＝1，在△ADC 中，由正弦定理得 ＝ ，所以 sin C＝ ，
sin C π 2x
sin
6
π 3
sin
3 3 sin B 4x 3
在△ABD 中，sin B＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ .
2x 4x sin C 1 2
2x
3
答案：
2
π
10．(2018·河南新乡二模)如图所示，在△ABC 中，C＝ ，BC＝4，点 D
3
在边 AC 上，AD＝DB，DE⊥AB，E 为垂足，若 DE＝2 2，则 cos A＝________.
解析：∵AD＝DB，∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A.设 AD＝DB＝x，
BC DB 4 x
∴在△BCD 中， ＝ ，可得 ＝ . ①
sin∠BDC sin C sin 2A π
sin
3
第 355页/共1004页
DE AD 2 2 x
在△AED 中， ＝ ，可得 ＝ . ②
sin A sin∠AED sin A 1
2 2
4 sin A 6
联立①②可得 ＝ ，解得 cos A＝ .
2sin Acos A 3 4
2
6
答案：
4
11．(2019·南宁摸底联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 c(1
＋cos B)＝b(2－cos C)．
(1)求证：2b＝a＋c；
π
(2)若 B＝ ，△ABC 的面积为 4 3，求 b.
3
解：(1)证明：∵c(1＋cos B)＝b(2－cos C)，
∴由正弦定理可得 sin C＋sin Ccos B＝2sin B－sin Bcos C，
即 sin Ccos B＋sin Bcos C＋sin C＝sin(B＋C)＋sin C＝2sin B，
∴sin A＋sin C＝2sin B，∴a＋c＝2b.
π 1 3
(2)∵B＝ ，∴△ABC 的面积 S＝ acsin B＝ ac＝4 3，∴ac＝16.
3 2 4
由余弦定理可得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.
∵a＋c＝2b，∴b2＝4b2－3×16，解得 b＝4.
4 π
12．在△ABC 中，AC＝6，cos B＝ ，C＝ .
5 4
(1)求 AB 的长；
π
(2)求 cos A－ 6 的值．
4 3
解：(1)因为 cos B＝ ，05 5
2
6×
AC AB AC·sin C 2
由正弦定理得 ＝ ，所以 AB＝ ＝ ＝5 2.
sin B sin C sin B 3
5
(2)在△ABC 中，因为 A＋B＋C＝π，所以 A＝π－(B＋C)，
4 3
又因为 cos B＝ ，sin B＝ ，
5 5
π π π 4 2 3 2
所以 cos A＝－cos(B＋C)＝－cos B＋ 4 ＝－cos Bcos ＋sin Bsin ＝－ × ＋ × ＝4 4 5 2 5 2
2
－ .
10
第 356页/共1004页
2 7 2因为 010
π π π 2 3 7 2 1 7 2－ 6因此，cos A－ 6 ＝cos Acos ＋sin Asin ＝－ × ＋ × ＝ . 6 6 10 2 10 2 20
B 级
2b
1．在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝2A，则 的取
a
值范围是( )
A．( 2，2) B．(2， 6)
C．( 2， 3) D．( 6，4)
b
解析：选 B ∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A＝2sin Acos A，∴ ＝2cos A．又 C＝π－3A，C
a
π π π π π π π 2
为锐角，∴0<π－3A< 2 6 3 2 4 6 4 2
3 b 2b
A< ，∴ 2< < 3，∴2< < 6.
2 a a
2．△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a，
则角 A 的取值范围是________．
解析：由已知及正弦定理得 sin2Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即 sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin
b2＋c2－a2 4a2＋c2－a2 3a2＋c2
A，∴sin B＝2sin A，∴b＝2a，由余弦定理得 cos A＝ ＝ ＝
2bc 4ac 4ac
2 3ac 3
≥ ＝ ，当且仅当 c＝ 3a 时取等号．∵A 为三角形的内角，且 y＝cos x 在(0，π)上
4ac 2
π π
是减函数，∴06 6 .
π
答案： 0， 6
3．(2018·昆明质检)如图，在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AB＝2，
BD＝ 5，∠BCD＝2∠ABD，△ABD 的面积为 2.
(1)求 AD 的长；
(2)求△CBD 的面积．
1 1
解：(1)由已知 S△ABD＝ AB·BD·sin∠ABD＝ ×2× 5×sin∠ABD＝2，可得 sin∠ABD＝2 2
2 5 π 5
，又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈ 0，
5 2 ，所以 cos∠ABD＝ . 5
在△ABD 中，由余弦定理 AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得 AD2＝5，所以
AD＝ 5.
π
(2)由 AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝ ，
2
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5
所以 sin∠CBD＝cos∠ABD＝ .
5
又∠BCD＝2∠ABD，
4
所以 sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝ ，
5
π π
∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－ －∠ABD 2 －2∠ABD＝ －∠ABD＝∠CBD， 2
所以△CBD 为等腰三角形，即 CB＝CD.
BD CD
在△CBD 中，由正弦定理 ＝ ，
sin∠BCD sin∠CBD
5
5×
BD·sin∠CBD 5 5
得 CD＝ ＝ ＝ ，
sin∠BCD 4 4
5
1 1 5 5 4 5
所以 S△CBD＝ CB·CD·sin∠BCD＝ × × × ＝ . 2 2 4 4 5 8
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