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第八节 解三角形的实际应用
一、基础知识
测量中的有关几个术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线
仰角与俯角 在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平
视线下方的叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标
方位角 方向线之间的夹角叫做方位角．方位角 θ的范
围是 0°≤θ<360°
例：(1)北偏东 α：(2)南偏西 α：
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，
方向角▲
通常表达为北(南)偏东(西)α
坡面与水平面的夹角叫做坡角(α)；坡面的垂直 坡角α
坡角与坡度
高度(h)与水平宽度(l)的比(i)叫做坡度 h
坡度i＝
l
▲相对于某一正方向的水平角
(1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α到达目标方向；
(2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α到达目标方向；
(3)南偏西等其他方向角类似．
考点一 测量高度问题
[典例] 如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王在点 A 处测得塔顶 D
的仰角为 30°，塔底 C 与 A 的连线同河岸成 15°角，小王向前走了 1 200 m 到达 M
处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60°角，则电视塔 CD 的高度为________m.
[解析] 在△ACM 中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，
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AM AC 1 200 AC
由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 AC＝600 6(m)．
sin∠MCA sin∠AMC 2 3
2 2
CD 3
在△ACD 中，∵tan∠DAC＝ ＝ ，
AC 3
3
∴CD＝600 6× ＝600 2(m)．
3
[答案] 600 2
[解题技法] 测量高度问题的 3 个注意点
(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它
是在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，
一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
[题组训练]
1.如图，为测一树的高度，在地面上选取 A，B 两点，在 A，B 两点
分别测得树顶 P 处的仰角为 30°，45°，且 A，B 两点之间的距离为 10 m，
则树的高度 h 为( )
A．(5＋5 3)m B．(30＋15 3)m
C．(15＋30 3)m D．(15＋3 3)m
10 PB
解析：选 A 在△PAB 中，由正弦定理，得 ＝ ，因为 sin(45°－30°)
sin(45°－30°) sin 30°
6－ 2
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝ ，所以 PB＝5( 6＋ 2)(m)，所以该树的高度 h＝
4
PBsin 45°＝(5＋5 3) m.
2.如图，在离地面高 400 m 的热气球上，观测到山顶 C 处的仰角
为 15°，山脚 A 处的俯角为 45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度 BC
为( )
A．700 m B．640 m
C．600 m D．560 m
解析：选 C 根据题意，可得在 Rt△AMD 中，
∠MAD＝45°，MD＝400(m)，
MD
所以 AM＝ ＝400 2(m)．
sin 45°
因为在△MAC 中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，
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∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，
3
400 2×
AMsin∠AMC 2
由正弦定理，得 AC＝ ＝ ＝400 3(m)，
sin∠MCA 2
2
3
在 Rt△ABC 中，BC＝ACsin∠BAC＝400 3× ＝600(m)．
2
考点二 测量距离问题
[典例] (2018·保定模拟)如图，某游轮在 A 处看灯塔 B 在 A 的北偏
东 75°方向上，距离为 12 6海里，灯塔 C 在 A 的北偏西 30°方向上，距
离为 8 3 海里，游轮由 A 处向正北方向航行到 D 处时，再看灯塔 B，B
在南偏东 60°方向上，则 C 与 D 的距离为( )
A．20 海里 B．8 3 海里
C．23 2 海里 D．24 海里
[解析] 在△ABD 中，因为灯塔 B 在 A 的北偏东 75°方向上，距离为 12 6 海里，游轮
由 A 处向正北方向航行到 D 处时，再看灯塔 B，B 在南偏东 60°方向上，所以 B＝180°－75°
AD AB
－60°＝45°，由正弦定理 ＝ ，
sin B sin∠ADB
2
12 6×
ABsin B 2
可得 AD＝ ＝ ＝24(海里)．
sin∠ADB 3
2
在△ACD 中，AD＝24(海里)，AC＝8 3(海里)，∠CAD＝30°，
3
由余弦定理得 CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8 3)2－2×24×8 3× ＝
2
192.
所以 CD＝8 3(海里)．
[答案] B
[解题技法] 测量距离问题的 2 个策略
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接
求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
[题组训练]
1．一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60°方
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向，行驶 4 h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15°方向，这时船与灯塔的距离为( )
A．15 2 km B．30 2 km
C．45 2 km D．60 2 km
解析：选 B 作出示意图如图所示，依题意有 AB＝15×4＝60(km)，
∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，
∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.
60 BM
在△AMB 中，由正弦定理，得 ＝ ，解得 BM＝30 2(km)．
sin 45° sin 30°
2.如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距离，选择山坡上一
段长度为 300 3 m 且和 P，Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点
作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则 P，
Q 两点间的距离为________ m.
解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
∵∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又∵PB 为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.
在 Rt△PAB 中，PA＝AB·tan 60°＝900(m)，
故 PQ＝900(m)，
∴P，Q 两点间的距离为 900(m)．
答案：900
考点三 测量角度问题
[典例] 游客从某旅游景区的景点 A 处至景点 C 处有两条线路．线路
1 是从 A 沿直线步行到 C，线路 2 是先从 A 沿直线步行到景点 B 处，然后
从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度
11
的 倍，甲走线路 2，乙走线路 1，最后他们同时到达 C 处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝
9
500 m，则 sin∠BAC 等于________．
[解析] 依题意，设乙的速度为 x m/s，
11
则甲的速度为 x m/s，
9
因为 AB＝1 040 m，BC＝500 m，
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AC 1 040＋500
所以 ＝ ，解得 AC＝1 260 m.
x 11
x
9
在△ABC 中，由余弦定理得，
AB2＋AC2－BC2 1 0402＋1 2602－5002 12
cos∠BAC＝ ＝ ＝ ，
2AB·AC 2×1 040×1 260 13
12 5
所以 sin∠BAC＝ 1－cos2∠ BAC＝ 1－ 2 13 ＝ . 13
5
[答案]
13
[解题技法] 测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标
出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题
的解．
[题组训练]
1.甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东 60°的方向，相距 a 海里的 B
处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3 倍，甲船为了尽快追上乙船，
朝北偏东 θ方向前进，则 θ＝( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
AC
解析：选 B 设两船在 C 处相遇，则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且 ＝ 3，
BC
AC sin 120°
由正弦定理得 ＝ ＝ 3，
BC sin∠BAC
1
所以 sin∠BAC＝ .
2
又因为 0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.
所以甲船应沿北偏东 30°方向前进．
2.如图，甲船在海面上行驶，当甲船位于 A 处时，在其正东方向相距
40 海里的 B 处，有一艘游艇遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把
消息告知在甲船的南偏西 30°相距 20 海里的 C 处的乙船，乙船立即朝北
偏东 θ＋30°的方向沿直线前往 B 处营救，则 sin θ的值为________．
解析：连接 BC(图略)，根据余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝1 600
BC AB
＋400－2×40×20cos(90°＋30°)＝2 800.由题可知，∠ACB 即为角 θ，又∵ ＝ ，
sin∠CAB sin θ
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BC2 AB2 3 1 3 21
∴ ＝ 22 2 ，∴sin θ＝1 600× × ＝ ，∴sin θ＝ . sin ∠CAB sin θ 4 2 800 7 7
21
答案：
7
[课时跟踪检测]
1．在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则 A，C
两点之间的距离为( )
A. 6 km B. 2 km
C. 3 km D．2 km
解析：选 A 如图，在△ABC 中，
由已知可得∠ACB＝45°，
AC 2
∴ ＝ ，
sin 60° sin 45°
3
∴AC＝2 2× ＝ 6(km)．
2
2.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔
18 km，速度为 1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 30°，经过 1 min
后又看到山顶的俯角为 75°，则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km)( )
A．8.4 km B．6.6 km
C．6.5 km D．5.6 km
1 50
解析：选 B 因为 AB＝1 000× ＝ (km)，
60 3
AB 50
所以 BC＝ ·sin 30°＝ (km)．
sin 45° 3 2
50 50
所以航线离山顶的高度 h＝BC·sin 75°＝ ×sin 75°＝ ×sin(45°＋30°)≈11.4(km)．
3 2 3 2
所以山高为 18－11.4＝6.6(km)．
3.如图，在塔底 D 的正西方 A 处测得塔顶的仰角为 45°，在塔底 D 的
南偏东 60°的 B 处测得塔顶的仰角为 30°，A，B 的距离是 84 m，则塔高 CD
为( )
A．24 m B．12 5 m
C．12 7 m D．36 m
解析：选 C 设塔高 CD＝x m，
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则 AD＝x m，DB＝ 3x m.
又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD 中，由余弦定理，
得 842＝x2＋( 3x)2－2 3·x2cos 150°，
解得 x＝12 7(负值舍去)，故塔高为 12 7 m.
4.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB，C 是该小
区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿
OD 走到 D 用了 2 min，从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min.若此人步行的速
度为 50 m/min，则该扇形的半径的长度为( )
A．50 5 m B．50 7 m
C．50 11 m D．50 19 m
解析：选 B 设该扇形的半径为 r，连接 CO，如图所示．
由题意，得 CD＝150(m)，OD＝100(m)，∠CDO＝60°，
在△CDO 中，由余弦定理得，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，
1
即 1502＋1002－2×150×100× ＝r2，
2
解得 r＝50 7(m)．
5.如图所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15°方
向，与海轮相距 20 n mile 的 B 处，海轮按北偏西 60°的方向航行了 30 min
后到达 C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75°的方向上，则海轮的速度为
________n mile/min.
解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，
AC AB
由正弦定理得 ＝ ，
sin B sin∠ACB
AB·sin B 20×sin 60°
所以 AC＝ ＝ ＝10 6(n mile)，
sin∠ACB sin 45°
10 6 6
所以海轮航行的速度为 ＝ (n mile/min)．
30 3
6
答案：
3
6.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A
处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30°方向上，15 min 后到点 B 处，测得
电视塔 S 在电动车的北偏东 75°方向上，则点 B 与电视塔的距离是
________km.
15
解析：如题图，由题意知 AB＝24× ＝6(km)，在△ABS 中，∠BAS
60
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BS AB
＝30°，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知 ＝ ，
sin 30° sin 45°
AB·sin 30°
∴BS＝ ＝3 2(km)．
sin 45°
答案：3 2
7.一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75°的方向航行(2 3－2)n mile 到达海岛
B，然后从 B 出发，沿北偏东 15°的方向航行 4 n mile 到达海岛 C.
(1)求 AC 的长；
(2)如果下次航行直接从 A 出发到达 C，求∠CAB 的大小．
解：(1)由题意，在△ABC 中，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝(2 3－2)n mile，BC＝4 n mile，
根据余弦定理得，
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC
＝(2 3－2)2＋42＋(2 3－2)×4＝24，
所以 AC＝2 6.
故 AC 的长为 2 6 n mile.
3
4×
BC×sin∠ABC 2 2
(2)由正弦定理得，sin∠CAB＝ ＝ ＝ ，所以∠CAB＝45°.
AC 2 6 2
8.已知在东西方向上有 M，N 两座小山，山顶各有一座发射塔 A，B，
塔顶 A，B 的海拔高度分别为 AM＝100 m 和 BN＝200 m，一测量车在小
山 M 的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30°，该测量车向北
偏西 60°方向行驶了 100 3 m 后到达点 Q，在点 Q 处测得发射塔顶 B 处
的仰角为 θ，且∠BQA＝θ，经测量 tan θ＝2，求两发射塔顶 A，B 之间的距离．
解：在 Rt△AMP 中，∠APM＝30°，AM＝100，
∴PM＝100 3.连接 QM，在△PQM 中，∠QPM＝60°，PQ＝100 3，
∴△PQM 为等边三角形，∴QM＝100 3.
在 Rt△AMQ 中，
由 AQ2＝AM2＋QM2，得 AQ＝200.
在 Rt△BNQ 中，tan θ＝2，BN＝200，
5
∴BQ＝100 5，cos θ＝ .
5
在△BQA 中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100 5)2，
∴BA＝100 5.
即两发射塔顶 A，B 之间的距离是 100 5 m.
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