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第五章 平面向量
第一节 平面向量的概念及线性运算
一、基础知识
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以 A 为起点、B 为终点的向
―→
量记作 AB ，也可用黑体的单个小写字母 a，b，c，…来表示向量．
―→ ―→ ―→
(2)向量的长度(模)：向量 AB 的大小即向量 AB 的长度(模)，记为| AB |.
2．几种特殊向量
名称 定义 备注
零向量 长度为 0 的向量 零向量记作 0，其方向是任意的
a
单位向量 长度等于 1 个单位的向量 单位向量记作 a0，a0＝
|a|
方向相同或相反的非零向量(也叫共
平行向量 0 与任意向量共线
线向量)
相等向量一定是平行向量，平行向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量
不一定是相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 若 a，b 为相反向量，则 a＝－b
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量 a 平行的单位向量有
a a
两个，即向量 和－ .
|a| |a|
3．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
求两个向
加法 量和的运 (2)结合律：(a＋b)＋c＝a
三角形法则 平行四边形法则
算
＋(b＋c)
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求 a与 b的
相反向量
减法 －b 的和的 a－b＝a＋(－b)
运算叫做 a 三角形法则
与 b 的差
求实数 λ与 |λa|＝|λ||a|；当 λ＞0 时，λa 的方向与 a
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa
数乘 向量 a 的积 的方向相同；当 λ＜0 时，λa 的方向
＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
的运算 与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0
向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c 表示从始点指向终点的向
量，只关心始点、终点.
4．共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.
只有 a≠0 才保证实数 λ的存在性和唯一性.
二、常用结论
―→ 1 ―→ ―→
(1)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则 OP ＝ ( OA ＋ OB )．
2
―→ ―→ ―→
(2) OA ＝λOB ＋μOC (λ，μ为实数)，若点 A，B，C 三点共线，则 λ＋μ＝1.
考点一 平面向量的有关概念
[典例] 给出下列命题：
①若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
―→ ―→
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB ＝DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要
条件；
③a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b；
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④若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
其中正确命题的序号是________．
[解析] ①正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同，
又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同，
∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c.
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
②正确．∵ AB ＝ DC，∴| AB |＝| DC |且 AB ∥DC ，
又 A，B，C，D 是不共线的四点，
∴四边形 ABCD 为平行四边形；
反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
则 AB ∥ DC且| AB |＝| DC |，因此， AB ＝DC .
③不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b
不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．
④不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是①②.
[答案] ①②
[解题技法] 向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任意向量共线．
[题组训练]
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则 λ必为零；
③λ，μ为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选 D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当 a＝0 时，
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不论 λ为何值，λa＝0.③错误，当 λ＝μ＝0 时，λa＝μb＝0，此时，a 与 b 可以是任意向量．故
错误的命题有 3 个，故选 D.
2．设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|·a0；②若 a
与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0平行且|a|＝1，则 a＝a0，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选 D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，
故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向
时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题．
综上所述，假命题的个数是 3.
考点二 平面向量的线性运算
―→
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 EB
＝( )
3―→ 1―→ 1―→ 3―→
A. AB － AC B. AB － AC
4 4 4 4
3―→ 1―→ 1―→ 3―→
C. AB ＋ AC D. AB ＋ AC
4 4 4 4
―→ 1―→ ―→ ―→ ―→
(2)如图，在直角梯形 ABCD 中，DC ＝ AB ，BE ＝2 EC ， 且 AE ＝
4
―→ ―→
r AB ＋s AD ，则 2r＋3s＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
―→ ―→ ―→ 1―→ 1―→ 1
[解析] (1)作出示意图如图所示．EB ＝ ED ＋ DB ＝ AD ＋ CB ＝
2 2 2
1 ―→ ―→ 1 ―→ ―→ 3―→ 1―→
× ( AB ＋ AC )＋ ( AB － AC )＝ AB － AC .故选 A.
2 2 4 4
―→ ―→ ―→ ―→ 2―→ ―→ 2 ―→ ―→ ―→
(2)根据图形，由题意可得 AE ＝ AB ＋ BE ＝ AB ＋ BC ＝ AB ＋ ( BA ＋ AD ＋DC )＝
3 3
1―→ 2 ―→ ―→ 1―→ 2 ―→ 1―→ 1―→ 2―→
AB ＋ ( AD ＋DC )＝ AB ＋ AD ＋ AB 4 ＝ AB ＋ AD . 3 3 3 3 2 3
―→ ―→ ―→ 1 2
因为 AE ＝r AB ＋s AD ，所以 r＝ ，s＝ ，则 2r＋3s＝1＋2＝3.
2 3
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[答案] (1)A (2)C
[解题技法] 向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形
法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边
形或三角形中求解．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
(4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法
则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
[题组训练]
―→ ―→
1．设 D 为△ABC 所在平面内一点， BC ＝3 CD，则( )
―→ 1―→ 4―→ ―→ 1―→ 4―→
A． AD ＝－ AB ＋ AC B． AD ＝ AB － AC
3 3 3 3
―→ 4―→ 1―→ ―→ 4―→ 1―→
C． AD ＝ AB ＋ AC D． AD ＝ AB － AC
3 3 3 3
―→ ―→ ―→ ―→ 1―→ ―→ 1―→ 1―→ 1―→
解析：选 A 由题意得 AD ＝ AC ＋CD＝ AC ＋ BC ＝ AC ＋ AC － AB ＝－ AB ＋
3 3 3 3
4―→
AC .
3
―→ ―→
2．(2019·太原模拟)在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若 AC ＝λAM＋
―→
μ AN ，则实数 λ＋μ＝________.
―→ ―→ ―→ ―→ 1―→ ―→ 1―→
解析：如图，∵AM＝ AB ＋BM＝ AB ＋ BC ＝ DC＋ BC ，①
2 2
―→ ―→ ―→ ―→ 1―→
AN ＝ AD ＋DN ＝ BC ＋ DC ，②
2
―→ 4―→ 2―→ ―→ 4―→ 2―→
由①②得 BC ＝ AN － AM，DC ＝ AM－ AN ，
3 3 3 3
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 4―→ 2―→ 4―→ 2―→ 2―→ 2―→
∴ AC ＝ AB ＋ BC ＝DC ＋ BC ＝ AM－ AN ＋ AN － AM＝ AM＋ AN ，
3 3 3 3 3 3
―→ ―→ ―→ 2 2 4
∵ AC ＝λAM＋μ AN ，∴λ＝ ，μ＝ ，λ＋μ＝ .
3 3 3
4
答案：
3
考点三 共线向量定理的应用
[典例] 设两个非零向量 a 与 b 不共线，
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―→ ―→ ―→
(1)若 AB ＝a＋b， BC ＝2a＋8b，CD＝3a－3b，
求证：A，B，D 三点共线；
(2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 同向．
―→ ―→ ―→
[解] (1)证明：∵ AB ＝a＋b， BC ＝2a＋8b，CD＝3a－3b，
―→ ―→ ―→ ―→
∴ BD ＝ BC ＋CD＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5 AB ，
―→ ―→
∴ AB ， BD 共线．
又∵它们有公共点 B，
∴A，B，D 三点共线．
(2)∵ka＋b 与 a＋kb 同向，
∴存在实数 λ(λ>0)，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，
即 ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b 是不共线的非零向量，
k－λ＝0， k＝1， k＝－1，
∴ 解得 或
λk－1＝0， λ＝1 λ＝－1，
又∵λ>0，∴k＝1.
1.向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的
其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与
联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
[题组训练]
―→ ―→ ―→
1．在四边形 ABCD 中，AB ＝a＋2b，BC ＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形 ABCD
的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
解析：选 C 由已知，得 AD ＝ AB ＋ BC ＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2 BC ，故 AD
―→ ―→ ―→
∥ BC .又因为 AB 与CD不平行，所以四边形 ABCD 是梯形．
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2．已知向量 e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量 a 与向量 b 共线，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或 λ＝0
解析：选 D 因为向量 e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因为向量 a 和 b 共线，
存在实数 k，使得 a＝kb，所以 e1＋λe2＝2ke1，所以 λe2＝(2k－1)e1，所以 e1∥e2 或 λ＝0.
―→ 1 ―→ ―→ ―→ ―→
3．已知 O 为△ABC 内一点，且 AO ＝ ( OB ＋OC )， AD ＝t AC ，若 B，O，D 三点共
2
线，则 t＝( )
1 1
A. B.
4 3
1 2
C. D.
2 3
1 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
解析：选 B 设 E 是 BC 边的中点，则 ( OB ＋OC )＝ OE ，由题意得 AO ＝ OE ，所以
2
―→ 1―→ 1 ―→ ―→ 1―→ 1―→ 1 1
AO ＝ AE ＝ ( AB ＋ AC )＝ AB ＋ AD ，又因为 B，O，D 三点共线，所以 ＋ ＝1，解
2 4 4 4t 4 4t
1
得 t＝ ，故选 B.
3
―→
―→ ―→ AB
4．已知 O，A，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且 OP ＝ OA ＋ ，则( )
―→
| AB |
A．点 P 在线段 AB 上
B．点 P 在线段 AB 的延长线上
C．点 P 在线段 AB 的反向延长线上
D．点 P 在射线 AB 上
―→ ―→
―→ ―→ AB ―→ ―→ AB ―→ 1 ―→
解析：选 D 由 OP ＝ OA ＋ ，得 OP － OA ＝ ，∴ AP ＝ ·AB ，∴点 P
―→ ―→ ―→
| AB | | AB | | AB |
在射线 AB 上，故选 D.
[课时跟踪检测]
―→ ―→
1．设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 EB ＋ FC ＝( )
―→ 1―→
A． AD B. AD
2
1―→ ―→
C. BC D． BC
2
―→ ―→ 1 ―→ ―→ 1 ―→ ―→ 1 ―→ ―→ ―→
解析：选 A 由题意得 EB ＋ FC ＝ ( AB ＋ CB )＋ ( AC ＋ BC )＝ ( AB ＋ AC )＝ AD .
2 2 2
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2．已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 共线反向，则实
数 λ的值为( )
1
A．1 B．－
2
1 1
C．1 或－ D．－1 或－
2 2
解析：选 B 由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 c＝kd(k＜0)，
于是 λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b].
整理得 λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
λ＝k，
由于 a，b 不共线，所以有
2λk－k＝1，
1
整理得 2λ2－λ－1＝0，解得 λ＝1 或 λ＝－ .
2
1
又因为 k＜0，所以 λ＜0，故 λ＝－ .
2
―→ ―→ ―→
3．设向量 a，b 不共线， AB ＝2a＋pb，BC ＝a＋b，CD＝a－2b，若 A，B，D 三点
共线，则实数 p 的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
―→ ―→ ―→ ―→ ―→
解析：选 B 因为 BC ＝a＋b，CD＝a－2b，所以 BD ＝ BC ＋CD＝2a－b.又因为 A，
―→ ―→ ―→ ―→
B，D 三点共线，所以 AB ，BD 共线．设 AB ＝λ BD ，所以 2a＋pb＝λ(2a－b)，所以 2＝2λ，
p＝－λ，即 λ＝1，p＝－1.
―→ ―→ ―→
4．(2019·甘肃诊断)设 D 为△ABC 所在平面内一点， BC ＝－4 CD，则 AD ＝( )
1―→ 3―→ 1―→ 3―→
A. AB － AC B. AB ＋ AC
4 4 4 4
3―→ 1―→ 3―→ 1―→
C. AB － AC D. AB ＋ AC
4 4 4 4
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
解析：选 B 法一：设 AD ＝x AB ＋y AC ，由 BC ＝－4 CD可得， BA ＋ AC ＝－4 CA
1
x＝ ，
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ －4x＝－1， 4 ―→ 1
－4 AD ，即－ AB －3 AC ＝－4x AB －4y AC ，则 解得 即 AD ＝ －4y＝－3， 3 4 y＝ ，4
―→ 3―→
AB ＋ AC ，故选 B.
4
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―→ ―→ 1―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 1―→
法二：在△ABC 中，BC ＝－4 CD，即－ BC ＝CD，则 AD ＝ AC ＋CD＝ AC － BC
4 4
―→ 1 ―→ ―→ 1―→ 3―→
＝ AC － ( BA ＋ AC )＝ AB ＋ AC ，故选 B.
4 4 4
―→
―→ 3―→ 1―→ | BC |
5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A，B，C 三点满足OC＝ OA ＋ OB ，则
4 4 ―→
| AC |
等于( )
A．1 B．2
3
C．3 D.
2
―→ ―→ ―→ 3―→ 1―→ ―→ 3―→ ―→ ―→ ―→ 3
解析：选 C 因为 BC ＝OC－ OB ＝ OA ＋ OB － OB ＝ BA ， AC ＝OC－ OA ＝
4 4 4 4
―→
―→ 1―→ ―→ 1―→ | BC |
OA ＋ OB － OA ＝ AB ，所以 ＝3.故选 C.
4 4 ―→
| AC |
―→ ―→ ―→ ―→ ―→
6．已知△ABC 的边 BC 的中点为 D，点 G 满足 GA ＋ BG ＋CG＝0，且 AG ＝λGD，
则 λ的值是( )
1
A. B．2
2
1
C．－2 D．－
2
―→ ―→ ―→
解析：选 C 由 GA ＋ BG ＋CG＝0，得 G 为以 AB，AC 为邻边的平行四边形的第四个
―→ ―→
顶点，因此 AG ＝－2 GD，则 λ＝－2.故选 C.
7．下列四个结论：
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
① AB ＋ BC ＋ CA ＝0；② AB ＋MB＋ BO ＋OM＝0；
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
③ AB － AC ＋ BD －CD＝0；④NQ＋QP＋MN－MP＝0，
其中一定正确的结论个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
解析：选 C ① AB ＋ BC ＋ CA ＝ AC ＋ CA ＝0，①正确；② AB ＋MB＋ BO ＋OM＝
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
AB ＋MO＋OM＝ AB ，②错误；③ AB － AC ＋ BD －CD＝ CB ＋ BD ＋ DC ＝CD＋ DC
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
＝0，③正确；④NQ＋QP＋MN－MP＝ NP ＋ PN ＝0，④正确．故①③④正确．
―→
8.如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 AB，AD 上的点，且AM
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3―→ ―→ 2―→ ―→ ―→
＝ AB ， AN ＝ AD ，AC，MN 交于点 P.若 AP ＝λ AC ，则 λ的值为( )
4 3
3 3
A. B.
5 7
3 6
C. D.
16 17
―→ 3―→ ―→ 2―→ ―→ ―→ ―→ ―→
解析：选 D ∵ AM ＝ AB ， AN ＝ AD ，∴ AP ＝ λ AC ＝ λ( AB ＋ AD )＝
4 3
4―→ 3―→ 4 ―→ 3 ―→ 4 3 6
λ AM＋ AN 3 2 ＝ λAM＋ λ AN .∵点 M，N，P 三点共线，∴ λ＋ λ＝1，则 λ＝ .故选 D. 3 2 3 2 17
9．设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝________.
解析：因为向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，
λ＝k， 1
所以可设 λa＋b＝k(a＋2b)，则 所以 λ＝ .
1＝2k， 2
1
答案：
2
―→ 1―→ ―→ ―→
10．若 AP ＝ PB ， AB ＝(λ＋1) BP ，则 λ＝________.
2
―→ 1―→
解析：如图，由 AP ＝ PB ，可知点 P 是线段 AB 上靠近点 A 的三等分点，
2
―→ 3―→ 3 5
则 AB ＝－ BP ，结合题意可得 λ＋1＝－ ，所以 λ＝－ .
2 2 2
5
答案：－
2
―→ ―→ ―→
11．已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且 OA ＝a，OB ＝b，则 DC
―→
＝________， BC ＝________.(用 a，b 表示)
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
解析：如图，DC ＝ AB ＝ OB － OA ＝b－a，BC ＝OC－ OB ＝－ OA
―→
－ OB ＝－a－b.
答案：b－a －a－b
―→ ―→ ―→
12．(2019·长沙模拟)在平行四边形 ABCD 中，M 为 BC 的中点．若 AB ＝λAM＋μ DB ，
则 λ－μ＝________.
―→ ―→ ―→ ―→
解析：如图，在平行四边形 ABCD 中， AB ＝DC ，所以 AB ＝AM＋
―→ ―→ 1―→ ―→ 1 ―→ ―→ ―→ 1 ―→ ―→ ―→ 1
MB ＝ AM ＋ CB ＝ AM ＋ ( DB － DC )＝ AM ＋ ( DB － AB )＝ AM ＋
2 2 2 2
第 376页/共1004页
―→ 1―→ 3―→ ―→ 1―→ ―→ 2―→ 1―→ 2 1
DB － AB ，所以 AB ＝AM＋ DB ，所以 AB ＝ AM＋ DB ，所以 λ＝ ，μ＝ ，所以 λ
2 2 2 3 3 3 3
1
－μ＝ .
3
1
答案：
3
―→ ―→ ―→
13．设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知 AB ＝2e1－8e2， CB ＝e1＋3e2，CD＝2e1
－e2.
(1)求证：A，B，D 三点共线；
―→
(2)若 BF ＝3e1－ke2，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值．
―→ ―→ ―→
解：(1)证明：由已知得 BD ＝CD－ CB ＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
―→
∵ AB ＝2e1－8e2，
―→ ―→
∴ AB ＝2 BD .
―→ ―→
又∵ AB 与 BD 有公共点 B，
∴A，B，D 三点共线．
―→
(2)由(1)可知 BD ＝e1－4e2，
―→
∵ BF ＝3e1－ke2，且 B，D，F 三点共线，
―→ ―→
∴存在实数 λ，使 BF ＝λ BD ，
即 3e1－ke2＝λe1－4λe2，
λ＝3，
得
－k＝－4λ.
解得 k＝12.
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