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第三节 三角函数的图象与性质
一、基础知识
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
π 3π
在正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)， ，1 ，－1 2 ，(π，0)， 2 ，
(2π，0)．
π 3π
在余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)， ，0 ，(π，－1)， ，0 2 2 ，
(2π，1).
函数 y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值
点(最值点).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义
R R x
π
x∈R，且x≠kπ＋ ，k∈Z
域 2
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶
奇函数 偶函数 奇函数
性
π π
在 － ＋2kπ， ＋2kπ 2 2 (k 在[2kπ－π，2kπ](k∈
单
∈Z)上是递增函数，在 Z)上是递增函数，在 π π在 － ＋kπ， ＋kπ 2 2 (k∈Z)上是调
π 3π
性 ＋2kπ， ＋2kπ
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
2 2 (k∈ 递增函数
上是递减函数
Z)上是递减函数
周 周期是 2kπ(k∈Z 且
周 期 是 2kπ(k ∈ Z 且 周期是 kπ(k∈Z 且 k≠0)，最小
期 k≠0)，最小正周期是
k≠0)，最小正周期是 2π 正周期是π
性 2π
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π
对称轴是 x＝ ＋kπ(k∈ 对称轴是 x＝kπ(k∈
对 2 对称中心是
Z)，对称中心是
称 Z)，对称中心是(kπ，0)(k kπ，0
2 (k∈Z) 性 πkπ＋ ，0
∈Z 2 (k∈Z) )
三角函数性质的注意点
(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x 无单调递减区间；y
＝tan x 在整个定义域内不单调．
(2)要注意求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时 A 和 ω的符号，尽量化成 ω>0 的形式，
避免出现增减区间的混淆.
二、常用结论
1．对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，
相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的
距离是半个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
π
(1)若 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ＋ (k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ (k
2
∈Z)．
π
(2)若 y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ＋ (k
2
∈Z)．
(3)若 y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)．
第一课时 三角函数的单调性
考点一 求三角函数的单调区间
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[典例] (2017·浙江高考)已知函数 f(x)＝sin2x－cos2x－2 3sin xcos x(x∈R)．
2π
(1)求 f 3 的值；
(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解] 由题意， ＝－ － ＝－
3 1 π
(1) f(x) cos 2x 3sin 2x 2 sin 2x＋ cos 2x ＝－2sin 2x＋
2 2 6
，
2π 4π π 3π故 f 3 ＝－2sin
＋
3 6 ＝－2sin ＝2. 2
(2)由(1)知 f(x)＝－2sin
π
2x＋
6 .
则 f(x)的最小正周期是 π.
由正弦函数的性质，
π π 3π
令 ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ(k∈Z)，
2 6 2
π 2π
解得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)，
6 3
π 2π
所以 f(x)的单调递增区间是 ＋kπ， ＋kπ 6 3 (k∈Z)．
[题组训练]
π 3π
1．函数 y＝|tan x|在 － ， 2 2 上的单调递减区间为________．
解析：
π 3π
作出 y＝|tan x|的示意图如图，观察图象可知，y＝|tan x|在 － ， 2 2 上的单调递减区间
π π为 － ，0 ，π 2 和 2 .
答案：
π
－ ，0
π
， ，π 2 2
π π π
2．函数 g(x)＝－cos －2x＋ － ， 3 x∈ 2 2 的单调递增区间为________．
π π
解析：g(x)＝－cos －2x＋ ＝－cos 2x－ 3 3 ，
欲求函数 g(x)的单调递增区间，
π
只需求函数 y＝cos 2x－ 3 的单调递减区间．
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π
由 2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π(k∈Z)，
3
π 2π
得 kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)．
6 3
π 2π
故函数 g(x)的单调递增区间为 kπ＋ ，kπ＋ 6 3 (k∈Z)．
π π
因为 x∈ － ， 2 2 ，
π π π π所以函数 g(x)的单调递增区间为 － ，－ 2 3 ，
，
6 2 .
π π π π
答案： － ，－ ， ， 2 3 6 2
π π
3．(2019·金华适应性考试)已知函数 f(x)＝ 3cos 2x－2sin2(x－α)，其中 0<α< ，且 f ＝
2 2
－ 3－1.
(1)求 α的值；
(2)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间．
π π 1
解：(1)由已知得 f 2 ＝－ 3－2sin
2 －α
2 ＝－ 3－2cos
2α＝－ 3－1，整理得 cos2α＝ .
2
π 2 π
因为 0<α< ，所以 cos α＝ ，α＝ .
2 2 4
π
(2)由(1)知，f(x)＝ 3cos 2x－2sin2 x－ 4
π
＝ 3cos 2x－1＋cos 2x－ 2
＝ 3cos 2x＋sin 2x－1
π
＝2sin 2x＋ 3 －1.
易知函数 f(x)的最小正周期 T＝π.
π
令 t＝2x＋ ，
3
则函数 f(x)可转化为 y＝2sin t－1.
显然函数 y＝2sin t－1 与 y＝sin t 的单调性相同，
当函数 y＝sin t 单调递减时，
π 3π
2kπ＋ ≤t≤2kπ＋ (k∈Z)，
2 2
π π 3π
即 2kπ＋ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)，
2 3 2
π 7π
解得 kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)．
12 12
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所以函数 f(x)的单调递减区间为
π 7π
kπ＋ ，kπ＋
12 12 (k∈Z)．
考点二 求三角函数的值域(最值)
π π
[典例] (1)函数 f(x)＝3sin 2x－ 0， 6 在区间 2 上的值域为( )
3 3 3A. － ， 2 2 B.
－ ，3
2
3 3 3 3 3 3
C. － ， D. － ，3
2 2 2
2 3 π(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝sin x＋ 3cos x－ x∈
0，
2 的最大值是________． 4
π
[解析] (1)当 x∈ 0， 2 时，
π π 5π π 1
2x－ ∈ － ， ，sin 2x－ ∈ － ，1 ，
6 6 6 6 2
π 3故 3sin 2x－ ∈ － ，3 6 2 ，
3
所以函数 f(x)的值域为 － ，3 2 .
2 3 1 3 (2)依题意，f(x)＝sin x＋ 3cos x－ ＝－cos2x＋ 3cos x＋ ＝－ cos x－ 2＋1， 4 4 2
因为 x∈
π
0，
2 ，所以 cos x∈[0,1]，
3
因此当 cos x＝ 时，f(x)max＝1. 2
[答案] (1)B (2)1
[变透练清]
π π
1.(变条件)若本例(1)中函数 f(x)的解析式变为：f(x)＝3cos 2x－ 0， 6 ，则 f(x)在区间 2 上
的值域为________．
π π π 5π
解析：当 x∈ 0， 时，2x－ ∈ － ， 2 6 6 ， 6
cos
π 3
2x－ ∈ 6 － ，1 ， 2
π 3 3
故 f(x)＝3cos 2x－ 6 ∈

－ ，3 .
2
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3 3
答案： － ，3
2
2.(变条件)若本例(2)中函数 f(x)的解析式变为：函数 f(x)＝sin x＋cos x＋sin xcos x，则 f(x)
的最大值为________．
解析：设 t＝sin x＋cos x(－ 2≤t≤ 2)，
t2－1
则 sin xcos x＝ ，
2
1 2 1 1y＝t＋ t － ＝ (t＋1)2－1，
2 2 2
1 1 1
当 t＝ 2时，y＝t＋ t2－ 取最大值为 2＋ .
2 2 2
2 2＋1
故 f(x)的最大值为 .
2
2 2＋1
答案：
2
π π 1
3．已知函数 f(x)＝sin x＋ － ，a － ，1 6 ，其中 x∈ 3 ，若 f(x)的值域是 2 ，则实数 a
的取值范围是________．
π π π π
解析：由 x∈ － ，a － ，a＋ 3 ，知 x＋ ∈ . 6 6 6
π π π 1
∵x＋ ∈ － ， 时，f(x)的值域是 － ，1
6 6 2 2 ，
π π 7π
∴由函数的图象知 ≤a＋ ≤ ，
2 6 6
π
∴ ≤a≤π.
3
π
答案： ，π 3
考点三 根据三角函数单调性确定参数
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)若 f(x)＝cos x－sin x 在[－a，a]是减函数，则 a 的最大值是
( )
π π
A. B.
4 2
3π
C. D．π
4
π 2π
(2)若 f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间 － ， 2 3 上是增函数，则 ω的取值范围是________．
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π
[解析] (1)f(x)＝cos x－sin x＝－ 2sin x－ 4 ，
π 3π π π π当 x∈ － ， 4 4 ，即 x－ ∈
－ ，
2 2 时， 4
π
y＝sin x－ 4 单调递增，
π
则 f(x)＝－ 2sin x－ 4 单调递减．
∵函数 f(x)在[－a，a]是减函数，
π 3π π∴[－a，a] － ， 4 4 ，∴0π
∴a 的最大值是 .
4
π 2π
(2)法一：因为 x∈ － ， 2 3 (ω>0)，
πω 2πω
所以 ωx∈ － ， 2 3 ，
π 2π
因为 f(x)＝2sin ωx 在 － ， 2 3 上是增函数，
πω π
－ ≥－ ，
2 2
3
所以 2πω π 故 0<ω≤ . ≤ ， 43 2 ω>0，
法二：画出函数 f(x)＝2sin ωx(ω>0)的图象如图所示．
π 2π
要使 f(x)在 － ， 2 3 上是增函数，
π π 2π π 3
需 － ≤－ ， ≤ ， ω>0，2ω 2 3 2ω 即 0<ω≤ . 4
3
[答案] (1)A (2) 0， 4
[解题技法]
已知三角函数的单调区间求参数范围的 3 种方法
(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
(2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的
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子集，列不等式(组)求解．
1
(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 周期列不等式(组)求解．
4
[题组训练]
π π 2π1．若函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，且|φ|< 2 在区间
，
6 3 上是单调递减函数，且函数值
π
从 1 减少到－1，则 f 4 ＝________.
T 2π π π
解析：由题意知 ＝ － ＝ ，故 T＝π，
2 3 6 2
2π
所以 ω＝ ＝2，
T
π π
又因为 f 6 ＝1，所以 sin
＋φ
3 ＝1.
π π
因为|φ|< ，所以 φ＝ ，
2 6
π
即 f(x)＝sin 2x＋ 6 .
π π π π 3故 f 4 ＝sin
＋
2 6 ＝cos ＝ . 6 2
3
答案：
2
π π
2．（2019·贵阳检测）已知函数 f(x)＝sin ωx＋ ，π 4 (ω>0)在 2 上单调递减，则 ω的取
值范围是________．
π π π π π
解析：由 2 2 4 4 4
π π π π 3π
由题意知 ω＋ ，πω＋ 2 4 4
，
2 2 ，
π π π π 3π
所以 ω＋ ≥ ， πω＋ ≤ ，
2 4 2 4 2
1 5
解得 ≤ω≤ .
2 4
1 5
答案： ， 2 4
[课时跟踪检测]
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A 级
π
1．函数 f(x)＝tan 2x－ 3 的单调递增区间是( )
kπ π kπ 5π
A. － ， ＋ 2 12 2 12 (k∈Z)
kπ π kπ 5π
B. － ， ＋ 2 12 2 12 (k∈Z)
C.
π 5π
kπ－ ，kπ＋
12 12 (k∈Z)
D.
π 2π
kπ＋ ，kπ＋
6 3 (k∈Z)
π π π kπ π kπ 5π
解析：选 B 由 kπ－ ＜2x－ ＜kπ＋ (k∈Z)，得 － ＜x＜ ＋ (k∈Z)，所以函数
2 3 2 2 12 2 12
π kπ π kπ 5πf(x)＝tan 2x－ 3 的单调递增区间是
－ ， ＋
2 12 2 12 (k∈Z)．
2．y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )
π π
A. － ， 2 2 B．[0，π]
3π
C. π， D.
3π
，2π
2 2
解析：选 D 将 y＝cos x 的图象位于 x 轴下方的部分关于 x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或
x 轴上)的部分不变，即得 y＝|cos x|的图象(如图)．故选 D.
π
3．已知函数 y＝2cos x 的定义域为 ，π 3 ，值域为[a，b]，则 b－a 的值是( )
A．2 B．3
C. 3＋2 D．2－ 3
π 1
解析：选 B 因为 x∈ ，π 3 ，所以 cos x∈
－1，
2 ，故 y＝2cos x 的值域为[－2,1]，所
以 b－a＝3.
π
4．(2019·西安八校联考)已知函数 f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在 x＝ 时取得最小值，则 f(x)
3
在[0，π]上的单调递增区间是( )
π
A. ，π B.
π 2π
，
3 3 3
2π
C. 0， D.
2π
，π
3 3
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π π 4π π
解析：选 A 因为 0<θ<π，所以 < ＋θ< ，又因为 f(x)＝cos(x＋θ)在 x＝ 时取得最小
3 3 3 3
π 2π 2π 2π 2π 5π 2π
值，所以 ＋θ＝π，θ＝ ，所以 f(x)＝cos x＋ 3 .由 0≤x≤π，得 ≤x＋ ≤ .由 π≤x＋3 3 3 3 3 3
5π π π
≤ ，得 ≤x≤π，所以 f(x)在[0，π]上的单调递增区间是 ，π
3 3 3 .
π π
5．(2018·北京东城质检)函数 f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x 在区间 ， 4 2 上的最小值为( )
1－ 3
A．1 B.
2
3
C. D．1－ 3
2
1 1 3 π 1
解析：选 A 函数 f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x＝ － cos 2x＋ sin 2x＝sin 2x－
2 2 2 6 ＋ . 2
π π∵x∈ ，
π π 5π
4 2 ，∴2x－ ∈
，
3 6 . 6
π 5π
当 2x－ ＝ 时，函数 f(x)取得最小值为 1.
6 6
π
6．(2019·广西五市联考)若函数 f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间 0， 3 上的最大值为 1，则
ω＝( )
1 1
A. B.
4 3
1 3
C. D.
2 2
π π π
解析：选 C 因为 0<ω<1,0≤x≤ ，所以 0≤ωx< ，所以 f(x)在区间 0， 3 上单调递增，3 3
π ωπ ωπ 1 π ωπ π 1则 f(x)max＝f 3 ＝2sin ＝1，即 sin ＝ .又因为 0≤ωx< ，所以 ＝ ，解得 ω＝ . 3 3 2 3 3 6 2
7．函数 y＝ sin x－cos x的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需 sin x－cos x≥0，即 sin x≥cos x，
π 5π
由函数的图象得 2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ (k∈Z)，
4 4
π 5π
故原函数的定义域为 2kπ＋ ，2kπ＋ 4 4 (k∈Z)．
π 5π答案： 2kπ＋ ，2kπ＋ 4 4 (k∈Z)
π
8．函数 f(x)＝cos 2x＋6cos －x 2 的最大值为________．
π 3 11
解析：因为 f(x)＝cos 2x＋6cos －x 2 sin x－ 2 2 ＝1－2sin x＋6sin x＝－2 2 ＋ ，而 sin x2
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∈[－1,1]，所以当 sin x＝1 时，f(x)取最大值 5.
答案：5
π π
9．函数 f(x)＝2sin x－ 6 3 (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．
π 3π
解析：因为 0≤x≤9，所以 0≤ x≤ ，
6 2
π π π 7π
即－ ≤ x－ ≤ ，
3 6 3 6
3 π π
所以－ ≤sin x－ ≤1，
2 6 3
故 f(x)的最大值为 2，最小值为－ 3，它们之和为 2－ 3.
答案：2－ 3
π π π
10．若函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间 0， ， 3 上单调递增，在区间 3 2 上单调递减，则
ω＝________.
解析：法一：由于函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数
π 1 2π 4π 3
的图象可知， 为函数 f(x)的 周期，故 ＝ ，解得 ω＝ .
3 4 ω 3 2
π π
法二：由题意，得 f(x) max＝f 3 ＝sin ω＝1. 3
π π 3
由已知并结合正弦函数图象可知， ω＝ ，解得 ω＝ .
3 2 2
3
答案：
2
π
11．已知函数 f(x)＝ 2sin 2x＋ 4 .
(1)求函数 f(x)的单调递增区间；
π 3π
(2)当 x∈ ， 4 4 时，求函数 f(x)的最大值和最小值．
π π π
解：(1)令 2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
2 4 2
3π π
则 kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z.
8 8
3π π
故函数 f(x)的单调递增区间为 kπ－ ，kπ＋ 8 8 ，k∈Z.
π 3π 3π π 7π
(2)因为当 x∈ ， 4 4 时， ≤2x＋ ≤ ， 4 4 4
π 2
所以－1≤sin 2x＋ 4 ≤ ，所以－ 2≤f(x)≤1， 2
π 3π
所以当 x∈ ， 4 4 时，函数 f(x)的最大值为 1，最小值为－ 2.
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1 3 3
12．已知函数 f(x)＝ sin 2x－ cos 2x－ .
2 2 2
(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值；
π 2π
(2)讨论函数 f(x)在 ， 6 3 上的单调性．
1 3 3 π 3
解：(1)因为函数 f(x)＝ sin 2x－ cos 2x－ ＝sin 2x－ － ，
2 2 2 3 2
2－ 3
所以函数 f(x)的最小正周期为 π，最大值为 .
2
π 2π π(2)当 x∈ ， 6 3 时，0≤2x－ ≤π， 3
π π π 5π
从而当 0≤2x－ ≤ ，即 ≤x≤ 时，f(x)单调递增；
3 2 6 12
π π 5π 2π
当 ≤2x－ ≤π，即 ≤x≤ 时，f(x)单调递减．
2 3 12 3
π 5π 5π 2π综上可知，f(x)在 ， 6 12 上单调递增，在
，
12 3 上单调递减．
B 级
7π π π π
1．已知函数 f(x)＝2sin x＋ 3 ，设 a＝f 7 ，b＝f
，c＝f 6 3 ，则 a，b，c 的大小关系
是________(用“<”表示)．
π π
解析：函数 f(x)＝2sin x＋ ＋2π 3 ＝2sin
x＋
3 ，
a＝f
π 10π
7 ＝2sin ， 21
π π
b＝f 6 ＝2sin ， 2
c＝f
π 2π π
3 ＝2sin ＝2sin ， 3 3
π π 10π π因为 y＝sin x 在 0， 2 上单调递增，且 < < ， 3 21 2
π 10π π
所以 sin 3 21 2
即 c答案：c π π π π2．(2018·四川双流中学模拟)已知函数 f(x)＝sin ωx＋ 4 (ω>0)，f

6 ＝f 3 ，且 f(x)在
，π
2
上单调递减，则 ω＝________.
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π π π解析：由 f 6 ＝f

3 ，可知函数 f(x) 的图象关于直线 x＝ 对称， 4
π π π
∴ ω＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，
4 4 2
∴ω＝1＋4k，k∈Z，
π
又∵f(x)在 ，π 2 上单调递减，
T π π
∴ ≥π－ ＝ ，T≥π，
2 2 2
2π
∴ ≥π，∴ω≤2，
ω
又∵ω＝1＋4k，k∈Z，∴当 k＝0 时，ω＝1.
答案：1
π
3．已知函数 f(x)＝ 2asin x＋ 4 ＋a＋b.
(1)若 a＝－1，求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)若 x∈[0，π]，函数 f(x)的值域是[5,8]，求 a，b 的值．
π
解：(1)当 a＝－1 时，f(x)＝－ 2sin x＋ 4 ＋b－1，
π π 3π
由 2kπ＋ ≤x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)，
2 4 2
π 5π
得 2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ (k∈Z)，
4 4
π 5π
所以 f(x)的单调递增区间为 2kπ＋ ，2kπ＋ 4 4 (k∈Z)．
π π 5π
(2)因为 0≤x≤π，所以 ≤x＋ ≤ ，
4 4 4
2 π
所以－ ≤sin x＋ 4 ≤1，依题意知 a≠0. 2
①当 a>0 时，有{ 2a＋a＋b＝8， b＝5，
所以 a＝3 2－3，b＝5.
②当 a<0 时，有{b＝8， 2a＋a＋b＝5，
所以 a＝3－3 2，b＝8.
综上所述，a＝3 2－3，b＝5 或 a＝3－3 2，b＝8.
第二课时 三角函数的周期性、奇偶性及对称性
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考点一 三角函数的周期性
tan x
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数 f(x)＝ 2 的最小正周期为( ) 1＋tan x
π π
A. B.
4 2
C．π D．2π
π
(2)若函数 f(x)＝2tan kx＋ 3 的最小正周期 T 满足 1sin x sin x
tan x cos x cos x 1
[解析] (1)由已知得 f(x)＝ 2 ＝ ＝ 2 2 ＝sin xcos x＝ sin 2x，所1＋tan x sin x1＋ 2
cos x＋sin x 2
cos x cos2x
2π
以 f(x)的最小正周期为 T＝ ＝π.
2
π π
(2)由题意知 1< <2，即 k 2
又因为 k∈N*，所以 k＝2 或 k＝3.
[答案] (1)C (2)2 或 3
[解题技法]
1．三角函数最小正周期的求解方法
(1)定义法；
2π
(2)公式法：函数 y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期 T＝ ，函数 y＝Atan(ωx
|ω|
π
＋φ)的最小正周期 T＝ ；
|ω|
(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象
得出周期．
2．有关周期的 2 个结论
π
(1)函数 y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为 T＝ .
|ω|
2π
(2)函数 y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为 T＝ .
|ω|
[题组训练]
π π
1．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos 2x＋ 6 ，④y＝tan
2x－
4 中，最小正周
期为 π 的所有函数为( )
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A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
解析：选 A 因为 y＝cos|2x|＝cos 2x，
2π
所以该函数的周期为 ＝π；
2
由函数 y＝|cos x|的图象易知其周期为 π；
π 2π
函数 y＝cos 2x＋ 6 的周期为 ＝π； 2
π π
函数 y＝tan 2x－ 4 的周期为 ，故最小正周期为 π 的函数是①②③. 2
π π
2．若 x＝ 是函数 f(x)＝ 2sin ωx－ 4 ，x∈R 的一个零点，且 0<ω<10，则函数 f(x)的最8
小正周期为________．
π ωπ π
解析：依题意知，f － 8 ＝ 2sin 8 4 ＝0，
ωπ π
即 － ＝kπ，k∈Z，整理得 ω＝8k＋2，k∈Z.
8 4
又因为 0<ω<10，
1
所以 0<8k＋2<10，得－ 4
而 k∈Z，所以 k＝0，ω＝2，
π
所以 f(x)＝ 2sin 2x－ 4 ，f(x)的最小正周期为 π.
答案：π
考点二 三角函数的奇偶性
π
[典例] 函数 f(x)＝3sin 2x－ ＋φ 3 ，φ∈(0，π)满足 f(|x|)＝f(x)，则 φ的值为( )
π π
A. B.
6 3
5π 2π
C. D.
6 3
[解析] 因为 f(|x|)＝f(x)，
π
所以函数 f(x)＝3sin 2x－ ＋φ 3 是偶函数，
π π
所以－ ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，
3 2
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5π
所以 φ＝kπ＋ ，k∈Z，
6
5π
又因为 φ∈(0，π)，所以 φ＝ .
6
[答案] C
[解题技法] 判断三角函数奇偶性的方法
三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx 或 y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为 y
＝Acos ωx＋b 的形式．
[题组训练]
π π
1．(2018·日照一中模拟)下列函数中，周期为 π，且在 ， 4 2 上单调递增的奇函数是( )
3π πA．y＝sin 2x＋ 2 B．y＝cos
2x－
2
π πC．y＝cos 2x＋ －x 2 D．y＝sin 2
解析：选 C y＝sin
3π π
2x＋
2 ＝－cos 2x 为偶函数，排除 A；y＝cos
2x－
2 ＝sin 2x 在
π π π π π，
4 2 上为减函数，排除 B；y＝cos
2x＋
2 ＝－sin 2x 为奇函数，在
，
4 2 上单调递增，且
π
周期为 π，符合题意；y＝sin －x 2 ＝cos x 为偶函数，排除 D.故选 C.
2．若函数 f(x)＝ 3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则 tan θ等于________．
解析：f(x)＝ 3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)
π
＝2sin －3x＋θ 3
π
＝－2sin 3x－ －θ 3 ，
因为函数 f(x)为奇函数，
π
所以－ －θ＝kπ，k∈Z，
3
π
即 θ＝－kπ－ ，k∈Z，
3
π
故 tan θ＝tan －kπ－ 3 ＝－ 3.
答案：－ 3
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考点三 三角函数的对称性
π
[典例] (1)已知函数 f(x)＝2sin ωx＋ 6 (ω>0)的最小正周期为 4π，则该函数的图象( )
π 5π
A．关于点 ，0 3 对称 B．关于点
，0
3 对称
π 5π
C．关于直线 x＝ 对称 D．关于直线 x＝ 对称
3 3
π π π
(2)(2018·江苏高考)已知函数 y＝sin(2x＋φ) － <φ< 2 2 的图象关于直线 x＝ 对称，则 φ3
的值为________．
π 2π
[解析] (1)因为函数 f(x)＝2sin ωx＋ 6 (ω>0)的最小正周期是 4π，而 T＝ ＝4π，所以 ωω
1
＝ ，
2
x π
即 f(x)＝2sin ＋ 2 6 .
x π π 2π
令 ＋ ＝ ＋kπ(k∈Z)，解得 x＝ ＋2kπ(k∈Z)，
2 6 2 3
2π
故 f(x)的对称轴为 x＝ ＋2kπ(k∈Z)，
3
x π π
令 ＋ ＝kπ(k∈Z)，解得 x＝－ ＋2kπ(k∈Z)．
2 6 3
π
故 f(x)的对称中心为 － ＋2kπ，0 3 (k∈Z)，对比选项可知 B 正确．
π 2π(2)由题意得 f ＝sin ＋φ 3 3 ＝±1，
2π π π
∴ ＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，∴φ＝kπ－ (k∈Z)．
3 2 6
∵φ∈
π π
－ ，
π
2 2 ，∴φ＝－ . 6
π
[答案] (1)B (2)－
6
[解题技法]
三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法
求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为 y＝Asin(ωx＋φ)或 y
＝Acos(ωx＋φ)的形式，再把(ωx＋φ)整体看成一个变量，若求 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象
π
的对称轴，则只需令 ωx＋φ＝ ＋kπ(k∈Z)，求 x；若求 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称
2
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中心的横坐标，则只需令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求 x.
[题组训练]
4π
1．若函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 ，0 3 对称，则|φ|的最小值为( )
π π
A. B.
6 4
π π
C. D.
3 2
4π 2π 2π解析：选 A 由题意得 3cos 2× ＋φ 3 ＝3cos
＋φ＋2π
3 ＝3cos
＋φ
3 ＝0，
2π π π
∴ ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，∴φ＝kπ－ ，k∈Z.
3 2 6
π
取 k＝0，得|φ|的最小值为 .
6
π
2．(2018·长春质检)函数 f(x)＝2sin(2x＋φ) 0<φ< 2 ，且 f(0)＝1，则下列结论中正确的是
( )
A．f(φ)＝2
π
B. ，0 6 是 f(x)图象的一个对称中心
π
C．φ＝
3
π
D．x＝－ 是 f(x)图象的一条对称轴
6
π π π
解析：选 A 由 f(0)＝1 且 0<φ< ，可得 φ＝ ，故选项 C 错误；可得 f(x)＝2sin 2x＋
2 6 6 ，
π π π
把 x＝ 代入 f(x)＝2sin 2x＋ 6 ，得 f(φ)＝2，选项 A 正确；f

6 6 ＝2，f(x)取得最大值，选项 B
π
错误；而 f － 6 ＝－1，非最值，选项 D 错误，故选 A.
π π π
3．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意 x 都有 f ＋x ＝f －x 6 6 ，则 f 6 的值为
________．
π π π π
解析：∵f ＋x ＝f －x 6 6 ，∴x＝ 是函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴，∴f

6 ＝±2. 6
答案：2 或－2
[课时跟踪检测]
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A 级
1．下列函数中，周期为 2π 的奇函数为( )
x x
A．y＝sin cos B．y＝sin2x
2 2
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
π
解析：选 A y＝sin2x 为偶函数；y＝tan 2x 的周期为 ；y＝sin 2x＋cos 2x 为非奇非偶函
2
数，故 B、C、D 都不正确，故选 A.
π
2．已知函数 f(x)＝sin 3x＋ 6 －1，则 f(x)的图象的一条对称轴方程是( )
π π
A．x＝ B．x＝
9 6
π π
C．x＝ D．x＝
3 2
π π
解析：选 A 令 3x＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，
6 2
kπ π π
解得 x＝ ＋ ，k∈Z，当 k＝0 时，x＝ .
3 9 9
π
因此函数 f(x)的图象的一条对称轴方程是 x＝ .
9
3．(2018·南宁二中、柳州高中联考)同时具有以下性质：“①最小正周期是 π；②图象
π π π π
关于直线 x＝ 对称；③在 － ， 6 3 上是增函数；④图象的一个对称中心为
，0
3 12 ”的一个
函数是( )
x π π
A．y＝sin ＋ 2 6 B．y＝sin
2x＋
3
π π
C．y＝sin 2x－ 6 D．y＝sin
2x－
3
π
解析：选 C 因为最小正周期是 π，所以 ω＝2，排除 A 选项；当 x＝ 时，对于 B，y
3
＝sin
π π π π 3 π
2× ＋
3 3 ＝0，对于 D，y＝sin
2× －
3 3 ＝ ，因为图象关于直线 x＝ 对称，所以排2 3
π π π π π π
除 B、D 选项，对于 C，sin 2× － ＝1，sin 2× － 3 6 12 6 ＝0，且在
－ ，
6 3 上是增函数，
故 C 满足条件．
π
4．函数 f(x)＝cos ωx＋ 6 (ω>0)的最小正周期为 π，则 f(x)满足( )
π π
A．在 0， 3 上单调递增 B．图象关于直线 x＝ 对称 6
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π 3 5π
C．f 3 ＝ D．当 x＝ 时有最小值－1 2 12
π
解析：选 D 由函数 f(x)＝cos ωx＋ 6 (ω>0)的最小正周期为 π，得 ω＝2，则 f(x)＝
π π π π 5π
cos 2x＋ 6 .当 x∈
0， ，
3 时，2x＋ ∈ 6 6 ，显然此时 f(x)不单调递增，故 A 错误；当 x6
π π＝ 时，f
π π 5π 3 5π 5π
6 ＝cos ＝0，故 B 错误；f

3 ＝cos ＝－ ，故 C 错误；当 x＝ 时，f
＝
6 2 6 2 12 12
cos
5π π
＋
6 6 ＝cos π＝－1，故 D 正确．
π
5．设函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ) ω>0，|φ|< 2 的最小正周期为 π，且 f(－x)＝f(x)，
则( )
A．f(x)在
π
0，
2 内单调递减
π 4π
B．f(x)在 ， 4 3 内单调递减
π
C．f(x)在 0， 2 内单调递增
π 4π
D．f(x)在 ， 4 3 内单调递增
π
解析：选 A 由题意知 f(x)＝ 2sin ωx＋φ＋ 4 .
∵f(x)的最小正周期为 π，∴ω＝2，
π
∴f(x)＝ 2sin 2x＋φ＋ 4 .
由 f(x)＝f(－x)知 f(x)是偶函数，
π π
因此 φ＋ ＝kπ＋ (k∈Z)．
4 2
π π
又∵|φ|< ，∴φ＝ ，
2 4
∴f(x)＝ 2cos 2x.
π
当 0<2x<π，即 02
2π π6．(2018·昆明调研)已知函数 f(x)＝sin ωx的图象关于点 ，0 3 对称，且 f(x)在
0，
4 上
为增函数，则 ω＝( )
3
A. B．3
2
9
C. D．6
2
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2π 2ω
解析：选 A 因为函数 f(x)＝sin ωx的图象关于点 ，0 3 对称，所以 π＝kπ(k∈Z)，3
3
即 ω＝ k(k∈Z)，①
2
π
又因为函数 f(x)＝sin ωx在区间 0， 4 上为增函数，
π π
所以 ≤ 且 ω>0，所以 0<ω≤2，②
4 2ω
3
由①②得 ω＝ .
2
π π
7．若函数 f(x)＝cos ωx＋ * ，0 6 (ω∈N )的一个对称中心是 6 ，则 ω 的最小值为
________．
π π π
解析：因为 f 6 ＝0，所以 cos
ω＋
6 6 ＝0，
πω π π
即 ＋ ＝ ＋kπ(k∈Z)，故 ω＝2＋6k(k∈Z)，
6 6 2
又因为 ω∈N*，故 ω的最小值为 2.
答案：2
π π
8．若函数 y＝2sin(3x＋φ) |φ|< 2 图象的一条对称轴为 x＝ ，则 φ＝________. 12
π
解析：因为 y＝sin x 图象的对称轴为 x＝kπ＋ (k∈Z)，
2
π π
所以 3× ＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，
12 2
π
得 φ＝kπ＋ (k∈Z)．
4
π
又因为|φ|< ，
2
π
所以 k＝0，故 φ＝ .
4
π
答案：
4
π π
9．若函数 f(x)＝ sin ωx＋ 3 (ω>0)的最小正周期为 π，则 f

3 ＝________.
π π π
解析：由题设及周期公式得 T＝ ＝π，所以 ω＝1，即 f(x)＝ sin
x＋
3 ，所以 f

3 ＝ω
2πsin
3
3 ＝ . 2
3
答案：
2
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π π
10．设函数 f(x)＝3sin x＋ 2 4 ，若存在这样的实数 x1，x2，对任意的 x∈R，都有
f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
π π 2
解析：f(x)＝3sin x＋ 2 4 的周期 T＝2π× ＝4， π
f(x1)，f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大值，
T
故|x1－x2|的最小值为 ＝2. 2
答案：2
π
11．已知函数 f(x)＝2sin 2x－ 4 .
(1)求函数的最大值及相应的 x 值集合；
(2)求函数 f(x)的图象的对称轴与对称中心．
解：(1)当 sin
π π π2x－
4 ＝1 时，2x－ ＝2kπ＋ ，k∈Z， 4 2
3π
即 x＝kπ＋ ，k∈Z，此时函数取得最大值为 2.
8
3π
故 f(x)的最大值为 2，使函数取得最大值的 x 的集合为 x x＝ ＋kπ，k∈Z
8 .
π π 3π 1
(2)由 2x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，得 x＝ ＋ kπ，k∈Z，
4 2 8 2
3π 1
即函数 f(x)的图象的对称轴为 x＝ ＋ kπ，k∈Z.
8 2
π π 1
由 2x－ ＝kπ，k∈Z，得 x＝ ＋ kπ，k∈Z，
4 8 2
π 1
即对称中心为 ＋ kπ，0 8 2 ，k∈Z.
2π12．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，0<φ< 3 的最小正周期为 π.
(1)求当 f(x)为偶函数时 φ的值；
若
π 3
(2) f(x)的图象过点 ， ，求 f(x)的单调递增区间．
6 2
2π
解：由 f(x)的最小正周期为 π，得 T＝ ＝π，
ω
所以 ω＝2，所以 f(x)＝sin(2x＋φ)．
π
(1)当 f(x)为偶函数时，有 φ＝ ＋kπ(k∈Z)．
2
2π π
因为 0<φ< ，所以 φ＝ .
3 2
π 3
(2)因为 f 6 ＝ ， 2
第 293页/共1004页
π 3
所以 sin 2× ＋φ 6 ＝ ， 2
π π π 2π
即 ＋φ＝ ＋2kπ 或 ＋φ＝ ＋2kπ(k∈Z)，
3 3 3 3
π
故 φ＝2kπ 或 φ＝ ＋2kπ(k∈Z)，
3
2π π
又因为 0<φ< ，所以 φ＝ ，
3 3
π即 f(x)＝sin 2x＋ 3 .
π π π
由－ ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ(k∈Z)，
2 3 2
5π π
得 kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
12 12
5π π
故 f(x)的单调递增区间为 kπ－ ，kπ＋ 12 12 (k∈Z)．
B 级
4π π π
1．若函数 f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点 ，0 3 成中心对称，且－ <φ< ，则函数 y＝2 2
π
f x＋ 3 为( )
π
A．奇函数且在 0， 4 内单调递增
π
B．偶函数且在 0， 2 内单调递增
π
C．偶函数且在 0， 2 内单调递减
πD．奇函数且在 0， 4 内单调递减
4π解析：选 D 因为函数 f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点 ，0 3 成中心对称，
8π π
所以 ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，
3 2
13π
即 φ＝kπ－ ，k∈Z.
6
π π π
又因为－ <φ< ，所以 φ＝－ ，
2 2 6
π π π π
则 y＝f x＋ 2 x＋ 2x＋ 3 ＝cos 3
－ ＝cos 2 ＝－sin 2x， 6
π
所以该函数为奇函数且在 0， 4 内单调递减，故选 D.
第 294页/共1004页
π
2．已知函数 f(x)＝sin ωx＋ 4 (ω>0，x∈R)．若函数 f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，
且函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ω对称，则 ω的值为( )
1
A. B．2
2
π π
C. D.
2 2
解析：选 D 因为 f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线 x＝ω 对称，
所以 f(ω)必为一个周期上的最大值，
π π
所以有 ω·ω＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z，
4 2
π
所以 ω2＝ ＋2kπ，k∈Z.
4
1 2π
又 ω－(－ω)≤ · ，
2 ω
2 π π π即 ω ≤ ，即 ω2＝ ，所以 ω＝ .
2 4 2
π
3．已知函数 f(x)＝2sin2 ＋x 4 － 3cos 2x－1，x∈R.
(1)求 f(x)的最小正周期；
π
(2)若 h(x)＝f(x＋t)的图象关于点 － ，0 6 对称，且 t∈(0，π)，求 t 的值；
π π(3)当 x∈ ， 4 2 时，不等式|f(x)－m|<3 恒成立，求实数 m 的取值范围．
π
解：(1)因为 f(x)＝－cos ＋2x 2 － 3cos 2x
＝sin 2x－ 3cos 2x
1 3＝ 2 sin 2x－ cos 2x
2 2
π
＝2sin 2x－ 3 ，
2π
故 f(x)的最小正周期为 T＝ ＝π.
2
π
(2)由(1)知 h(x)＝2sin 2x＋2t－ 3 .
π π
令 2× － 6 ＋2t－ ＝kπ(k∈Z)， 3
kπ π
得 t＝ ＋ (k∈Z)，
2 3
π 5π
又 t∈(0，π)，故 t＝ 或 .
3 6
第 295页/共1004页
π π π π 2π
(3)当 x∈ ， ， 4 2 时，2x－ ∈ 6 3 ， 3
所以 f(x)∈[1,2]．
又|f(x)－m|<3，
即 f(x)－3所以 2－3即－1故实数 m 的取值范围是(－1,4)．
第 296页/共1004页

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