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第二节 平面向量基本定理及坐标表示
一、基础知识
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向
量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量 e1e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(1)基底 e1，e2 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；
λ1＝μ1，
(3)如果对于一组基底 e1，e2，有 a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
λ2＝μ2.
2．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x2 21＋y1.
若a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
―→
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB ＝(x2－x1，y2－y1)，
―→
| AB |＝ (x2－x1)2＋(y 22－y1) .
3．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b x1y2－x2y1＝0.
x1 y1
当且仅当 x2y2≠0 时，a∥b 与 ＝ 等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐x2 y2
标成比例．
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考点一 平面向量基本定理及其应用
―→ ―→
[典例] 如图，以向量 OA ＝a，OB ＝b 为邻边作平行四边形 OADB，
―→ 1―→ ―→ 1―→ ―→ ―→ ―→
BM＝ BC ， CN ＝ CD，用 a，b 表示OM，ON，MN .
3 3
―→ ―→ ―→
[解] ∵ BA ＝ OA － OB ＝a－b，
―→ 1―→ 1 1
BM＝ BA ＝ a－ b，
6 6 6
―→ ―→ ―→ 1 5
∴OM＝ OB ＋BM＝ a＋ b.
6 6
―→
∵OD＝a＋b，
―→ ―→ 1―→
∴ON＝OC＋ CD
3
1―→ 1―→
＝ OD＋ OD
2 6
2―→ 2 2
＝ OD＝ a＋ b，
3 3 3
―→ ―→ ―→ 2 2 1 5 1 1
∴MN＝ON－OM＝ a＋ b－ a－ b＝ a－ b.
3 3 6 6 2 6
―→ 1 5 ―→ 2 2 ―→ 1 1
综上，OM＝ a＋ b，ON＝ a＋ b，MN＝ a－ b.
6 6 3 3 2 6
[解题技法]
1．平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运
算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平
面几何的一些性质定理．
2．应用平面向量基本定理应注意的问题
(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量
的加减运算或数乘运算．
[题组训练]
1 1 ―→
1．在△ABC 中，P，Q 分别是 AB，BC 的三等分点，且 AP＝ AB，BQ＝ BC，若 AB ＝
3 3
―→ ―→
a， AC ＝b，则PQ＝( )
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1 1 1 1
A. a＋ b B．－ a＋ b
3 3 3 3
1 1 1 1
C. a－ b D．－ a－ b
3 3 3 3
―→ ―→ ―→ 2―→ 1―→ 2―→ 1 ―→ ―→ 1―→
解析：选 A 由题意知PQ＝ PB ＋BQ＝ AB ＋ BC ＝ AB ＋ ( AC － AB )＝ AB ＋
3 3 3 3 3
1―→ 1 1
AC ＝ a＋ b.
3 3 3
―→ ―→ ―→
2．已知在△ABC 中，点 O 满足 OA ＋ OB ＋OC＝0，点 P 是 OC 上异于端点的任意一
―→ ―→ ―→
点，且 OP ＝m OA ＋n OB ，则 m＋n 的取值范围是________．
―→ ―→
解析：依题意，设 OP ＝λOC (0<λ<1)，
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
由 OA ＋ OB ＋OC＝0，知OC＝－( OA ＋ OB )，
―→ ―→ ―→
所以 OP ＝－λOA －λOB ，由平面向量基本定理可知，
m＋n＝－2λ，所以 m＋n∈(－2,0)．
答案：(－2,0)
考点二 平面向量的坐标运算
―→ ―→ ―→ ―→
[典例] 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 AB ＝a，BC ＝b，CA ＝c，且CM
―→
＝3c， CN ＝－2b，
(1)求 3a＋b－3c；
―→
(2)求 M，N 的坐标及向量MN的坐标．
[解] 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
―→ ―→ ―→
(2)设 O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，
―→ ―→
∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
―→ ―→ ―→
∴M(0,20)．又∵ CN ＝ON－OC＝－2b，
―→ ―→
∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
―→
∴N(9,2)，∴MN＝(9，－18)．
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[变透练清]
1.(变结论)本例条件不变，若 a＝mb＋nc，则 m＝________，n＝________.
解析：∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，a＝(5，－5)，
－6m＋n＝5，
∴
－3m＋8n＝－5，
m＝－1，
解得
n＝－1.
答案：－1 －1
―→ ―→ ―→ ―→ ―→
2．已知 O 为坐标原点，向量 OA ＝(2,3)， OB ＝(4，－1)，且 AP ＝3 PB ，则| OP |＝
________.
―→ ―→
解析：设 P(x，y)，由题意可得 A，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由 AP ＝3 PB ，
x－2＝12－3x，
可得
y－3＝－3y－3，
7 x＝ ， ―→ 7
解得 2 故| OP |＝ . 2 y＝0，
7
答案：
2
[解题技法]
1．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有
向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行
求解．
2．向量坐标运算的注意事项
(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．
(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．
(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分．
考点三 平面向量共线的坐标表示
[典例] 已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线；
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―→ ―→
(2)若 AB ＝2a＋3b， BC ＝a＋mb，且 A，B，C 三点共线，求 m 的值．
[解] (1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b 与 a＋2b 共线，
1
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－ .
2
―→
(2) AB ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
―→
BC ＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
―→ ―→
∵A，B，C 三点共线，∴ AB ∥ BC ，
3
∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝ .
2
[解题技法]
1．平面向量共线的充要条件的 2 种形式
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2－x2y1＝0.
(2)若 a∥b(b≠0)，则 a＝λb.
2．两个向量共线的充要条件的作用
判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的
充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．
[题组训练]
1．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数 k 的取值为( )
1 1
A．－ B.
3 3
C．－3 D．3
解析：选 A ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
则由(ka＋b)∥(a－3b)得
1
(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，所以 k＝－ .
3
2．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系 xOy 中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3 三
―→ ―→ ―→ ―→
点共线且向量OP3与向量 a＝(1，－1)共线，若OP3＝λOP1＋(1－λ)OP2，则 λ＝( )
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A．－3 B．3
C．1 D．－1
―→ ―→ ―→ ―→
解析：选 D 设OP3＝(x，y)，则由OP3∥a 知 x＋y＝0，于是OP3＝(x，－x)．若OP3＝
―→ ―→ 4λ－1＝x，
λOP1＋(1－λ)OP2，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即
3－2λ＝－x，
所以 4λ－1＋3－2λ＝0，解得 λ＝－1，故选 D.
3．在梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 DC＝2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点
D 的坐标为________．
解析：∵在梯形 ABCD 中，DC＝2AB，AB∥CD，
―→ ―→
∴DC ＝2 AB .
―→ ―→
设点 D 的坐标为(x，y)，则DC ＝(4－x,2－y)， AB ＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
4－x＝2， x＝2，
∴ 解得 故点 D 的坐标为(2,4)．
2－y＝－2， y＝4，
答案：(2,4)
[课时跟踪检测]
1．(2019·昆明调研)已知向量 a＝(－1,2)，b＝(1,3)，则|2a－b|＝( )
A. 2 B．2
C. 10 D．10
解析：选 C 由已知，易得 2a－b＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a－b|＝ (－3)2＋12
＝ 10.故选 C.
2．已知向量 a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若 3a－2b＋c＝0，则 c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
解析：选A 由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，
23＋x＝0， x＝－23，
所以 解得 所以 c＝(－23，－12)． 12＋y＝0， y＝－12，
3．(2018·石家庄模拟)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的
( )
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A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A 若 a∥b，则 m2＝1，即 m＝±1，故“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条
件，选 A.
―→ ―→ ―→
4．已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且 EC ＝2 AE ，则EM＝( )
1―→ 1―→ 1―→ 1―→
A. AC ＋ AB B. AC ＋ AB
2 3 2 6
1―→ 1―→ 1―→ 3―→
C. AC ＋ AB D. AC ＋ AB
6 2 6 2
―→ ―→ ―→ 2―→ ―→
解析：选 C 如图，因为 EC ＝2 AE ，所以 EC ＝ AC ，所以EM＝
3
―→ ―→ 2―→ 1―→ 2―→ 1 ―→ ―→ 1―→ 1―→
EC ＋CM＝ AC ＋ CB ＝ AC ＋ ( AB － AC )＝ AB ＋ AC .
3 2 3 2 2 6
5．已知点 A(8，－1)，B(1，－3)，若点 C(2m－1，m＋2)在直线 AB 上，则实数 m＝( )
A．－12 B．13
C．－13 D．12
―→ ―→ ―→ ―→
解析：选 C 因为点 C 在直线 AB 上，所以 AC 与 AB 同向．又 AB ＝(－7，－2)，AC ＝
2m－9 m＋3
(2m－9，m＋3)，故 ＝ ，所以 m＝－13.故选 C.
－7 －2
6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限的点，且
π ―→ ―→ ―→
∠AOC＝ ，|OC|＝2，若OC＝λOA ＋μOB ，则 λ＋μ＝( )
4
A．2 2 B. 2
C．2 D．4 2
π ―→ ―→ ―→
解析：选 A 因为|OC|＝2，∠AOC＝ ，所以 C( 2， 2)，又因为OC＝λOA ＋μOB ，
4
所以( 2， 2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以 λ＝μ＝ 2，λ＋μ＝2 2.
―→ ―→ ―→ ―→ ―→
7．已知| OA |＝1，| OB |＝ 3，OA ⊥ OB ， 点 C 在线段 AB 上，∠AOC＝30°.设OC＝
―→ ―→ m
m OA ＋n OB (m，n∈R)，则 等于( )
n
1
A. B．3
3
3
C. D. 3
3
―→ ―→ ―→ ―→
解析：选 B 如图，由已知| OA |＝1，| OB |＝ 3， OA ⊥ OB ，可得 AB＝
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2，∠A＝60°，因为点 C 在线段 AB 上，∠AOC＝30°，所以 OC⊥AB，过点 C 作 CD⊥OA，
3 3 ―→ 3―→ ―→ 1―→ ―→ 3―→ 1―→
垂足为点 D，则 OD＝ ，CD＝ ，所以OD＝ OA ，DC ＝ OB ，即OC＝ OA ＋ OB ，
4 4 4 4 4 4
m
所以 ＝3.
n
―→
8.(2019·深圳模拟)如图，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若 AC
―→ ―→
＝λAM＋μ BD ，则 λ＋μ＝( )
4 5
A. B.
3 3
15
C. D．2
8
―→ ―→
解析：选 B 以点 A 为坐标原点，分别以 AB ， AD 的方向为 x 轴，y 轴的正方向，建
立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
所以 AC ＝(2,2)，AM＝(2,1)，BD ＝(－2,2)，所以 λAM＋μ BD ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为 AC
4
λ＝ ，
―→ ―→ 2λ－2μ＝2， 3 5
＝λAM＋μ BD ，所以 解得 所以 λ＋μ＝ . λ＋2μ＝2， 1
μ＝ ， 33
9．已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值
为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
2m＋n＝9， m＝2，
∴ ∴
m－2n＝－8， n＝5，
∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
10．已知向量 a＝(1，m)，b＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，则实数 m＝________.
解析：因为 a＋b＝(5,2m)≠0，
所以由(2|a|－|b|)(a＋b)＝0 得 2|a|－|b|＝0，
所以|b|＝2|a|，
所以 42＋m2＝2 12＋m2，解得 m＝±2.
答案：±2
11．(2019·南昌模拟)已知向量 a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2 5，a＝λb(λ<0)，则
m－n＝________.
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解析：∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，
∴由|a|＝2 5，得 m2＋n2＝20， ①
m<0，

由 a＝λb(λ<0)，得 n>0， ②
－ － ＝ ， 2m n 0
由①②，解得 m＝－2，n＝4.
∴m－n＝－6.
答案：－6
12．已知向量 a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且 u∥v，则实数 x 的值为
________．
解析：因为 a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
所以 u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．
又因为 u∥v，所以 3(2x＋1)－4(2－x)＝0，
1
即 10x＝5，解得 x＝ .
2
1
答案：
2
13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点 P(x，y)在△ABC 三
边围成的区域(含边界)上．
―→ ―→ ―→ ―→
(1)若 PA ＋ PB ＋ PC ＝0，求| OP |；
―→ ―→ ―→
(2)设 OP ＝m AB ＋n AC (m，n∈R)，用 x，y 表示 m－n.
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
解：(1)∵ PA ＋ PB ＋ PC ＝0， PA ＋ PB ＋ PC ＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2
－y)＝(6－3x,6－3y)，
6－3x＝0，
∴ 解得 x＝2，y＝2，
6－3y＝0，
―→ ―→
即 OP ＝(2,2)，故| OP |＝2 2.
―→ ―→ ―→ ―→ ―→
(2)∵ OP ＝m AB ＋n AC ， AB ＝(1,2)， AC ＝(2,1)．
∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，
x＝m＋2n，
即 两式相减，得 m－n＝y－x.
y＝2m＋n，
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