资源简介

第四节 平面向量的综合应用
考点一 平面向量与平面几何
―→ ―→
[典例] (2019·石家庄模拟)在平行四边形 ABCD 中，| AB |＝12，| AD |＝8.若点 M，N 满
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
足BM＝3 MC， DN＝2 NC ，则AM ·NM＝( )
A．20 B．15
C．36 D．6
―→ ―→ ―→ ―→ 3
[解析] 法一：由BM＝3MC，DN ＝2 NC 知，点 M 是 BC 的一个四等分点，且 BM＝
4
2 ―→ ―→ ―→ ―→ 3―→ ―→
BC，点 N 是 DC 的一个三等分点，且 DN＝ DC，所以AM＝ AB ＋BM＝ AB ＋ AD ，AN
3 4
―→ ―→ ―→ 2―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 3―→ ―→ 2―→ 1―→ 1＝ AD ＋ DN＝ AD ＋ AB ，所以NM＝AM－ AN ＝ AB ＋ AD － AD ＋ AB 3 ＝ AB － 3 4 3 4
―→ ―→ ―→ ―→ 3―→ 1―→ 1―→ 1 ―→ 3―→ ―→ 3―→ 1
AD ，所以AM ·NM＝ AB ＋ AD · AB － AD AB ＋ AD 4 3 4 ＝ 4 ·
AB － AD
4 ＝ 3 3
―→ 9―→ 1 9AB 2－ AD 2 ＝ 144－ ×64 16 16 ＝36，故选 C. 3
法二：不妨设∠DAB 为直角，以 AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为
―→
y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则 M(12,6)，N(8,8)，所以AM＝(12,6)，
―→ ―→ ―→
NM＝(4，－2)，所以AM ·NM＝12×4＋6×(－2)＝36，故选 C.
[答案] C
[题组训练]
―→ ―→ ―→ ―→ ―→
1．若 O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足( OB －OC )·( OB ＋OC－2 OA )＝0，则
△ABC 的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
―→ ―→ ―→ ―→ ―→
解析：选 A 由( OB －OC )·( OB ＋OC－2 OA )＝0，
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
得 CB ·( AB ＋ AC )＝0，∵ AB － AC ＝ CB ，
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
∴( AB － AC )·( AB ＋ AC )＝0，即| AB |＝| AC |，
∴△ABC 是等腰三角形．
第 398页/共1004页
―→ ―→ ―→ ―→ ―→
2．(2018·西安质检)已知 P 为△ABC 所在平面内一点，AB ＋ PB ＋ PC ＝0，| AB |＝| PB
―→
|＝| PC |＝2，则△ABC 的面积等于( )
A. 3 B．2 3
C．3 3 D．4 3
―→ ―→
解析：选 B 由| PB |＝| PC |得，△PBC 是等腰三角形，取 BC 的中点 D，连接 PD(图略)，
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 1
则 PD⊥BC，又 AB ＋ PB ＋ PC ＝0，所以 AB ＝－( PB ＋ PC )＝－2 PD ，所以 PD＝ AB
2
―→ ―→ ―→
＝1，且 PD∥AB，故 AB⊥BC，即△ABC 是直角三角形，由| PB |＝2，| PD |＝1 可得| BD |
―→ 1
＝ 3，则| BC |＝2 3，所以△ABC 的面积为 ×2×2 3＝2 3.
2
3.如图，在扇形 OAB 中，OA＝2，∠AOB＝90°，M 是 OA 的中点，点 P
―→ ―→
在弧 AB 上，则PM ·PB 的最小值为________．
―→ ―→
解析：如图，以 O 为坐标原点， OA 为 x 轴的正半轴， OB 为 y 轴的正
半轴建立平面直角坐标系，则
π
M(1,0)，B(0,2)，设 P(2cos θ，2sin θ)，θ∈ 0， 2 ，
―→ ―→
所以PM ·PB ＝(1－2cos θ，－2sin θ)·(－2cos θ，2－2sin θ)＝4－2cos θ－ 4sin
5 2 5
θ＝4－2(cos θ＋2sin θ)＝4－2 5sin(θ＋φ) 其中sin φ＝ ，cos φ＝ 5 5 ，所以
―→ ―→
PM ·PB 的最小值为 4－2 5.
答案：4－2 5
考点二 平面向量与解析几何
[典例] (2017·江苏高考)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]．
(1)若 a∥b，求 x 的值；
(2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值．
[解] (1)因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b，
3
所以－ 3cos x＝3sin x．则 tan x＝－ .
3
5π
又 x∈[0，π]，所以 x＝ .
6
第 399页/共1004页
＝a b＝
π
(2)f(x) · (cos x，sin x)·(3，－ 3)＝3cos x－ 3sin x＝2 3cos x＋ 6 .
π π 7π
因为 x∈[0，π]，所以 x＋ ∈ ，
6 6 6 ，
π 3从而－1≤cos x＋ 6 ≤ . 2
π π
于是，当 x＋ ＝ ，即 x＝0 时，f(x)取到最大值 3；
6 6
π 5π
当 x＋ ＝π，即 x＝ 时，f(x)取到最小值－2 3.
6 6
[题组训练]
―→ ―→ ―→
1．已知向量 OA ＝(k,12)， OB ＝(4,5)，OC＝(10，k)，且 A，B，C 三点共线，当 k<0
时，若 k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
解析：∵ AB ＝ OB － OA ＝(4－k，－7)， BC ＝OC－ OB ＝(6，k－5)，且 AB ∥ BC ，
∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得 k＝－2 或 k＝11.由 k<0，可知 k＝－2，则过点(2，－1)且斜
率为－2 的直线方程为 y＋1＝－2(x－2)，即 2x＋y－3＝0.
答案：2x＋y－3＝0
x2 y2
2．若点 O 和点 F 分别为椭圆 ＋ ＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，
4 3
―→ ―→
则 OP ·FP 的最大值为________．
x20 y
2
0 x
2
0 ―→
解析：由题意，得 － F( 1,0)，设 P(x0，y0)，则有 ＋ ＝1，解得 y20＝3 1－ 4 ，因为 FP4 3
2
―→ ―→ ―→ x x2
＝
0
(x0＋1，y0)，OP ＝(x0，y0)，所以 OP ·FP ＝x0(x0＋1)＋y20＝x20＋x0＋3 1－
0
4 ＝ ＋x ＋3，4 0
―→ ―→
对应的抛物线的对称轴方程为 x0＝－2，因为－2≤x0≤2，故当 x0＝2 时，OP ·FP 取得最大
22
值 ＋2＋3＝6.
4
答案：6
考点三 平面向量与三角函数
[典例] 已知点 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上运动，且 AB⊥BC.若点 P 的坐标为(2,0)，则
―→ ―→ ―→
| PA ＋ PB ＋ PC |的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 由 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上，且 AB⊥BC，
第 400页/共1004页
知线段 AC 为圆的直径，设圆心为 O，
―→ ―→ ―→
故 PA ＋ PC ＝2 PO ＝(－4,0)，
―→
设 B(a，b)，则 a2＋b2＝1 且 a∈[－1,1]， PB ＝(a－2，b)，
―→ ―→ ―→
所以 PA ＋ PB ＋ PC ＝(a－6，b)．
―→ ―→ ―→
故| PA ＋ PB ＋ PC |＝ －12a＋37，
―→ ―→ ―→
所以当 a＝－1 时，| PA ＋ PB ＋ PC |取得最大值 49＝7.
[答案] B
[解题技法]
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直
的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思
路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．
[题组训练]
1．(2019·南昌模拟)已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么 a·b＝0 是 α
π
＝kπ＋ (k∈Z)的( )
4
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 B ∵a·b＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos2α－sin2α＝cos 2α，若 a·b＝0，
π π π
则 cos 2α＝0，∴2α＝2kπ± (k∈Z)，解得 α＝kπ± (k∈Z)．∴a·b＝0 是 α＝kπ＋ (k∈Z)的必
2 4 4
要不充分条件．故选 B.
2．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝( 3，－1)，n＝ (cos
A，sin A)．若 m⊥n，且 acos B＋bcos A＝csin C，则角 A，B 的大小分别为( )
π π 2π π
A. ， B. ，
6 3 3 6
第 401页/共1004页
π π π π
C. ， D. ，
3 6 3 3
解析：选 C 由 m⊥n，得 m·n＝0，即 3cos A－sin A＝0，由题意得 cos A≠0，∴tan A
π
＝ 3，又 A∈(0，π)，∴A＝ .又 acos B＋bcos A＝2Rsin Acos B＋2Rsin Bcos A＝2Rsin(A＋B)
3
＝2Rsin C＝c(R 为△ABC 外接圆半径)，且 acos B＋bcos A＝csin C，所以 c＝csin C，所以
π π π π
sin C＝1，又 C∈(0，π)，所以 C＝ ，所以 B＝π－ － ＝ .
2 3 2 6
[课时跟踪检测]
A 级
π π 5π 5π
1．已知向量 a＝ cos ，sin cos ，sin 6 6 ，b＝ 6 6 ，则|a－b|＝( )
6
A．1 B.
2
10
C. 3 D.
2
π 5π π 5π解析：选 C 因为 a－b＝ cos －cos ，sin －sin 6 6 6 6 ＝( 3，0)，所以|a－b|＝ 3，故
选 C.
―→ ―→
2．若向量OF1＝(1,1)，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力 F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A. 10 B．2 5
C. 5 D. 15
解析：选 C 由于 F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，
所以|F1＋F2|＝ (－2)2＋(－1)2＝ 5.
―→
3．(2019·牡丹江第一高级中学月考)已知圆 O 是△ABC 的外接圆，其半径为 1，且 AB ＋
―→ ―→ ―→ ―→
AC ＝2 AO ，AB＝1，则 CA ·CB ＝( )
3
A. B．3
2
C. 3 D．2 3
―→ ―→ ―→
解析：选 B 因为 AB ＋ AC ＝2 AO ，所以点 O 是 BC 的中点，即 BC 是圆 O 的直径，
―→ ―→ ―→ ―→
又 AB＝1，圆的半径为 1，所以∠ACB＝30°，且 AC＝ 3，则 CA ·CB ＝| CA |·| CB |cos∠ACB
＝3.
第 402页/共1004页
1
4．已知向量 m＝ sin A， 2 与向量 n＝(3，sin A＋ 3cos A)共线，其中 A 是△ABC 的内
角，则角 A 的大小为( )
π π
A. B.
6 4
π π
C. D.
3 2
3
解析：选 C 因为 m∥n，所以 sin A(sin A＋ 3cos A)－ ＝0，
2
所以 2sin2A＋2 3sin Acos A＝3.可化为 1－cos 2A＋ 3sin 2A＝3，
所以
π π π 11π
sin 2A－ 6 ＝1，因为 A∈(0，

π)，所以 2A－ ∈ － ，
6 6 6 .
π π π
因此 2A－ ＝ ，解得 A＝ .
6 2 3
5．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则
―→ ―→ ―→
PA ·( PB ＋ PC )的最小值是( )
3
A．－2 B．－
2
4
C．－ D．－1
3
解析：选 B 如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x
轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， 3)，
―→ ―→
B(－1,0)，C(1,0)，设 P(x，y)，则 PA ＝(－x, 3－y)， PB ＝(－1－x，
―→ ―→ ―→ ―→
－y)，PC ＝(1－x，－y)，所以 PA ·( PB ＋ PC )＝(－x， 3－y)·(－2x，
2 3 3 3 ―→ ―→ ―→ 3－2y)＝2x ＋2 y－ 2 － ，当 x＝0，y＝ 时， PA ·( PB ＋ PC )取得最小值，为－ . 2 2 2 2
6．已知向量 a＝(4,0)，b＝(2,2 3)，非零向量 c 满足(a－c)·(b－c)＝0，|c|的最大值与
最小值分别为 m，n，则 m－n 的值为( )
A．1 B．3
C．2 D．4
解析：选 D 设 c＝(x，y)，因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(4－x，－y)·(2－x,2 3－y)＝x2
＋y2－6x－2 3y＋8＝0，所以(x－3)2＋(y－ 3)2＝4，所以满足条件的向量 c 的终点落在以(3，
3)为圆心，2 为半径的圆上，所以|c|的最大值与最小值分别为 m＝2＋2 3，n＝2 3－2，
所以 m－n＝4.
―→ ―→ ―→
7．已知△ABC 中，D 为边 BC 上的点，且 BD＝2DC， AD ＝x AB ＋y AC ，则 x－y＝
第 403页/共1004页
________.
―→ ―→ ―→ ―→ 2―→ ―→ 2 ―→ ―→
解析：由向量的加法法则知 AD ＝ AB ＋ BD ＝ AB ＋ BC ＝ AB ＋ ( AC － AB )＝
3 3
1―→ 2―→ 1 2 1
AB ＋ AC ，所以 x＝ ，y＝ ，所以 x－y＝－ .
3 3 3 3 3
1
答案：－
3
1
8．设 e1，e2，e3 为单位向量，且 e3＝ e1＋ke2(k>0)，若以向量 e1，e2 为邻边的三角形2
1
的面积为 ，则 k＝________.
2
1 1
解析：设 e1，e2 的夹角为 θ，则由以向量 e1，e2 为邻边的三角形的面积为 ，得 ×1×1× 2 2
1 1
sin θ＝ ，得 sin θ＝1，所以 θ＝90°，所以 e1·e2＝0，从而对 e3＝ e1＋ke2两边同时平方得 12 2
1 2 3 3 3＝ ＋k ，解得 k＝ 或－ (舍去)，所以 k＝ .
4 2 2 2
3
答案：
2
―→
9.如图，在△ABC 中，O 为 BC 的中点，若 AB＝1，AC＝3， AB 与
―→ ―→
AC 的夹角为 60°，则| OA |＝________.
―→ ―→ ―→ ―→ 1 3 ―→ 1 ―→ ―→ ―→
解析： AB ·AC ＝| AB |·| AC |cos 60°＝1×3× ＝ ，又 AO ＝ ( AB ＋ AC )，所以 AO 2
2 2 2
1 ―→ ―→ 1 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 1 13 ―→ 13
＝ ( AB ＋ AC )2＝ ( AB 2＋2 AB ·AC ＋ AC 2)，即 AO 2＝ (1＋3＋9)＝ ，所以| OA |＝ .
4 4 4 4 2
13
答案：
2
―→ ―→ ―→
10．在平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(1,3)，O 为坐标原点，且OM＝αOA ＋βOB (α
―→
＋β＝1)，N(1,0)，则| MN |的最小值为________．
―→ ―→ ―→
解析：∵OM＝αOA ＋βOB (α＋β＝1)，∴A，B，M 三点共线，∵A(－2,0)，B(1,3)，
|1－0＋2|
∴直线 AB 的方程为 x－y＋2＝0，∵N(1,0)，设点 N 到直线 AB 的距离为 d，∴d＝ ＝
2
3 2 ―→ 3 2
，∴| MN |的最小值为 N 到直线 AB 的距离 .
2 2
3 2
答案：
2
2 2 π
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m＝ ，－ ，n＝

(sin x，cos x)，x∈ 0，
2 2 2 .
第 404页/共1004页
(1)若 m⊥n，求 tan x 的值；
π
(2)若 m 与 n 的夹角为 ，求 x 的值．
3
2 2
解：(1)∵m＝ ，－ ，n＝(sin x，cos x)，m⊥n， 2 2
2 2
∴m·n＝ sin x－ cos x＝0，即 sin x＝cos x，
2 2
sin x
∴tan x＝ ＝1.
cos x
2 2 2 (2)由题意知，|m|＝ － 2 ＋ ＝1， 2 2
|n|＝ sin2x＋cos2x＝1，
2 2
m n＝
π
· sin x－ cos x＝sin x－
2 2 4 .
π 1
而 m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉＝cos ＝ ，
3 2
π 1
∴ x－ sin 4 ＝ . 2
又∵ ∈
π π π π
x 0， 2 ， － ∈

x － ，
4 4 4 ，
π π 5π
∴x－ ＝ ，∴x＝ .
4 6 12
―→ ―→
12．(2019·河南中原名校质检)在△ABC 中， AB ⊥ AC ，M 是 BC 的中点．
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
(1)若| AB |＝| AC |，求向量 AB ＋2 AC 与向量 2 AB ＋ AC 的夹角的余弦值；
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
(2)若 O 是线段 AM 上任意一点，且| AB |＝| AC |＝ 2，求 OA ·OB ＋OC ·OA 的最小值．
―→ ―→ ―→ ―→
解 ： (1) 设 向 量 AB ＋ 2 AC 与 向 量 2 AB ＋ AC 的 夹 角 为 θ， 则 cos θ＝
―→ ―→ ―→ ―→ 2 2
( AB ＋2 AC )·(2 AB ＋ AC ) ―→ ―→ 2a ＋2a 4
，令| AB |＝| AC |＝a，则 cos θ＝ ＝ .
―→ ―→ ―→ ―→ 5
| AB ＋2 AC |·|2 AB ＋ AC | 5a· 5a
―→ ―→ ―→
(2)∵| AB |＝| AC |＝ 2，∴| AM |＝1，
―→ ―→
设| OA |＝x(0≤x≤1)，则|OM |＝1－x.
―→ ―→ ―→
而 OB ＋OC＝2OM，
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
∴ OA ·OB ＋ OC ·OA ＝ OA ·( OB ＋ OC )＝2 OA ·OM＝2| OA |·| OM |cos π＝2x2－2x＝
1 1
2 x－ 2 2 － . 2
第 405页/共1004页
1 ―→ ―→ ―→ ―→ 1
∴当 x＝ 时， OA ·OB ＋OC ·OA 取得最小值，最小值是－ .
2 2
B
―→ ―→ ―→
1．(2019·武汉调研)设 A，B，C 是半径为 1 的圆 O 上的三点，且 OA ⊥ OB ，则( OC－
―→ ―→ ―→
OA )·( OC－ OB )的最大值是( )
A．1＋ 2 B．1－ 2
C. 2－1 D．1
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
解析：选 A 如图，作出OD，使得 OA ＋ OB ＝OD，则( OC－ OA )·( OC
―→ ―→2 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→－ OB )＝OC － OA ·OC－ OB ·OC＋ OA ·OB ＝1－( OA ＋ OB )·OC＝1－
―→ ―→ ―→ ―→
OD ·OC，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，OD ·OC
―→ ―→ ―→ ―→
取得最小值，最小值为－ 2，此时( OC－ OA )·( OC－ OB )取得最大值，最大值为 1＋ 2，
故选 A.
―→ ―→
2．在△ABC 中，BC＝5，G，O 分别为△ABC 的重心和外心，且OG ·BC ＝5，则△ABC
的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
解析：选 B 如图，在△ABC 中，G，O 分别为△ABC 的重心和外心，
1 ―→
取 BC 的中点 D，连接 AD，OD，OG，则 OD⊥BC，GD＝ AD，结合OG
3
―→ ―→ ―→ 1 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 1 ―→
＝OD＋DG，AD ＝ ( AB ＋ AC )，OG ·BC ＝5，得( OD＋DG )·BC ＝DG ·BC ＝－ ( AB
2 6
―→ ―→ 1 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
＋ AC )·BC ＝5，即－ ( AB ＋ AC )·( AC － AB )＝5，∴ AC 2－ AB 2＝－30.又 BC＝5，则| AB
6
2 ―→ 6―→ ―→ ―→ π| ＝| AC |2＋ | BC |2>| AC |2＋| BC |2，结合余弦定理有 cos C<0，∴ 5 2
角形．故选 B.
1
3．已知向量 a＝ (cos x，－1)，b＝ 3sin x，－ 2 ，函数 f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间；
1
(2)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知函数 f(x)的图象经过点 A， 2 ，
―→ ―→
b，a，c 成等差数列，且 AB ·AC ＝9，求 a 的值．
1 1
解：(1)∵f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2＝cos2x＋1＋ 3sin xcos x＋ －2＝ (cos 2x＋
2 2
第 406页/共1004页
3 3 1 3 π
1)＋1＋ sin 2x－ ＝ cos 2x＋ sin 2x＝sin 2x＋ ，
2 2 2 2 6
2π
∴f(x)的最小正周期 T＝ ＝π.
2
π π π
由 2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)，
2 6 2
π π
得 kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
3 6
π π
∴f(x)的单调递增区间为 kπ－ ，kπ＋ 3 6 (k∈Z)．
π 1
(2)由 f(A)＝sin 2A＋ 6 ＝ ， 2
π π π 5π
得 2A＋ ＝ ＋2kπ 或 2A＋ ＝ ＋2kπ(k∈Z)，
6 6 6 6
π
又 03
∵b，a，c 成等差数列，∴2a＝b＋c.
―→ ―→ 1
∵ AB ·AC ＝bccos A＝ bc＝9，∴bc＝18.
2
(b＋c)2－a2 4a2－a2 a2 1
由余弦定理，得 cos A＝ －1＝ －1＝ －1＝ ，∴a＝3 2(负值舍去)．
2bc 36 12 2
第 407页/共1004页

展开更多......

收起↑