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第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集 合
一、基础知识
1．集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．
(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为 .
(4)五个特定的集合及其关系图：
N*或 N＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实
数集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元
素，则称 A 是 B 的子集，记作 A B(或 B A)．
(2)真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，但集合 B 中至少有一个元素不属于 A，则称
A 是 B 的真子集，记作 A B 或 B A.
A B，
A B 既要说明 A 中任何一个元素都属于 B，也要说明 B 中存在一个元素不 A≠B.
属于 A.
(3)集合相等：如果 A B，并且 B A，则 A＝B.
A B，
两集合相等：A＝B A 中任意一个元素都符合 B 中元素的特性，B 中任意一 A B.
个元素也符合 A 中元素的特性．
(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子
集．记作 .
∈{ }， { }，0 ，0 { },0∈{0}， {0}．
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3．集合间的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的
交集，记作 A∩B，即 A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的
并集，记作 A∪B，即 A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}．
(3)补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合
A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 UA，即 UA＝{x|x∈U，且 x A}．
求集合 A 的补集的前提是“A 是全集 U 的子集”，集合 A 其实是给定的条件.从全集 U
中取出集合 A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为 UA.
二、常用结论
(1)子集的性质：A A， A，A∩B A，A∩B B.
(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B A，A∪B B，A∪A＝A，A∪ ＝ ∪A＝A.
(4)补集的性质：A∪ UA＝U，A∩ UA＝ ， U( UA)＝A， AA＝ ， A ＝A.
(5)含有 n 个元素的集合共有 2n 个子集，其中有 2n－1 个真子集，2n－1 个非空子集．
(6)等价关系：A∩B＝A A B；A∪B＝A A B.
考点一 集合的基本概念
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则 A∩B
中元素的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
b
(2)已知 a，b∈R，若 a， ，1 a ＝{a
2，a＋b,0}，则 a2 019＋b2 019 的值为( )

A．1 B．0
C．－1 D．±1
[解析] (1)因为 A 表示圆 x2＋y2＝1 上的点的集合，B 表示直线 y＝x 上的点的集合，直
线 y＝x 与圆 x2＋y2＝1 有两个交点，所以 A∩B 中元素的个数为 2.
b
(2)由已知得 a≠0，则 ＝0，所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a＝1 或 a＝－1.又根据集合中
a
元素的互异性可知 a＝1 应舍去，因此 a＝－1，故 a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.
[答案] (1)B (2)C
[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．
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[题组训练]
1．设集合 A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x A}，则集合 B 中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 A 若 x∈B，则－x∈A，故 x 只可能是 0，－1，－2，－3，当 0∈B 时，1－
0＝1∈A；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B 时，1
－(－3)＝4 A，所以 B＝{－3}，故集合 B 中元素的个数为 1.
2．若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a 等于( )
9 9
A. B.
2 8
9
C．0 D．0 或
8
解析：选 D 若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax2－3x＋2＝0 只有一个实根或有两个
相等实根．
2
当 a＝0 时，x＝ ，符合题意．
3
9
当 a≠0 时，由 Δ＝(－3)2－8a＝0，得 a＝ ，
8
9
所以 a 的值为 0 或 .
8
3.（2018·厦门模拟）已知 P={x|2围为 .
解析：因为 P 中恰有 3 个元素，所以 P=｛3，4，5｝，故 k 的取值范围为 5答案：（5，6］
考点二 集合间的基本关系
(1)(2019·湖北八校联考)已知集合 A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件 B A 的集合 B 的
个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
(2)已知集合 A＝{x|－1[解析]
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(1)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0B 的个数为 22＝4，故选 C.
(2)当 m≤0 时，B＝ ，显然 B A.
当 m>0 时，因为 A＝{x|－1若 B A，在数轴上标出两集合，如图，
－m≥－1，

所以 m≤3，
－ 所以 0综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．
[答案] (1)C (2)(－ ∞，1]
[变透练清]
1.(变条件)若本例(1)中 A 不变，C＝{x|0的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 D 因为 A＝{1,2}，由题意知 C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的 B 可为{1,2}，
{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
2.(变条件)若本例(2)中，把条件“B A”变为“A B”，其他条件不变，则 m 的取值
范围为________．
－m≤－1，
解析：若 A B，由 得 m≥3，
m≥3
∴m 的取值范围为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
3．已知集合 A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若 B A，则实数 m 的取值范围
为________．
解析：①若 B＝ ，则 Δ＝m2－4<0，解得－2②若 1∈B，则 12＋m＋1＝0，
解得 m＝－2，此时 B＝{1}，符合题意；
③若 2∈B，则 22＋2m＋1＝0，
5 1
解得 m＝－ ，此时 B＝ 2， 2 ，不合题意． 2
综上所述，实数 m 的取值范围为[－2,2)．
答案：[－2,2)
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考点三 集合的基本运算
考法(一) 集合的运算
[典例] (1)(2018·天津高考)设集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜
2}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{－1,1} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{2,3,4}
(2)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部
分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2 或 x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
[解析] (1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，
∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．
又 C＝{x∈R|－1≤x＜2}，
∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．
(2)依题意得 A＝{x|x<－1 或 x>4}，
因此 RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为( RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．
[答案] (1)C (2)D
考法(二) 根据集合运算结果求参数
[典例] (1)已知集合 A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若 A∩B＝{x|x>4}，则实数 m
的取值范围是( )
A．(－4,3) B．[－3,4]
C．(－3,4) D．(－∞，4]
(2)(2019·河南名校联盟联考)已知 A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若 A∩B＝{4}，则 a＝
( )
A．3 B．2
C．2 或 3 D．3 或 1
[解析] (1)集合 A＝{x|x<－3 或 x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选 B.
(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4 或 2a＝4.若 a＋1＝4，则 a＝3，此时 B＝{4,6}，符合题意；
若 2a＝4，则 a＝2，此时 B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选 A.
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[答案] (1)B (2)A
[题组训练]
1．已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选 C 因为集合 B＝{x|－1{0,1,2,3}．
2．(2019·重庆六校联考)已知集合 A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lg x<2}，则( RA)∩B＝
( )
1 1A. ，100 B. ，2 2 2
1
C. ，100 2 D．
1 1
解析：选 A 由题意得 A＝ －1， 2 ，B＝(0,100)，则 RA＝(－∞，－1)∪
，＋∞
2 ，
1
所以( RA)∩B＝ ，100 2 .
1
3．(2019·合肥质量检测)已知集合 A＝[1，＋∞)，B＝ x∈R a≤x≤2a－1
2 ，若 A∩B≠
，则实数 a 的取值范围是( )
1
A．[1，＋∞) B. ，1 2
2C. ，＋∞ 3 D．(1，＋∞)
解析：选 A 因为 A∩B≠ ，
1
所以 2a－1≥1， 2a－1≥ a，
2 解得 a≥1.
[课时跟踪检测]
1．(2019·福州质量检测)已知集合 A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 B 依题意，集合 A 是由所有的奇数组成的集合，故 A∩B＝{1,3}，所以集合
A∩B 中元素的个数为 2.
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2．设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则 U(A∪B)＝( )
A．{2,6} B．{3,6}
C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}
解析：选 A 因为 A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以 A∪B＝{1,3,4,5}．又 U＝{1,2,3,4,5,6}，
所以 U(A∪B)＝{2,6}．
3．(2018·天津高考)设全集为 R，集合 A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则 A∩( RB)＝( )
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
解析：选 B ∵全集为 R，B＝{x|x≥1}，
∴ RB＝{x|x＜1}．
∵集合 A＝{x|0＜x＜2}，
∴A∩( RB)＝{x|0＜x＜1}．
4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合 M＝{x|x<4}，集合 N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正
确的是( )
A．M∩N＝M B．M∪( RN)＝M
C．N∪( RM)＝R D．M∪N＝M
解析：选 D 由题意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以 M∪N＝M.
1
5．设集合 A＝ x ≤2x< 2
2 ，B＝{x|ln x≤0}，则 A∩B 为( )
1A. 0， 2 B．[－1,0)
C.
1
，1
2 D．[－1,1]
1
1 1 1
解析：选 A ∵ ≤2x
－
< 2，即 2 1≤2x<2 2 ，∴－1≤x< ，∴A＝ x －1≤x< 2 .∵ln x≤0，2 2
1
即 ln x≤ln 1，∴06．(2019·郑州质量测试)设集合 A＝{x|1范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，1]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选 D 由 A∩B＝A，可得 A B，又因为 A＝{x|17．已知全集 U＝A∪B 中有 m 个元素，( UA)∪( UB)中有 n 个元素．若 A∩B 非空，则
A∩B 的元素个数为( )
A．mn B．m＋n
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C．n－m D．m－n
解析：选 D 因为( UA)∪( UB)中有 n 个元素，如图中阴影部分所示，
又 U＝A∪B 中有 m 个元素，故 A∩B 中有 m－n 个元素．
A m
8．定义集合的商集运算为 ＝ x x＝ ，m∈A，n∈B n ，已知集合 A＝{2,4,6}，B＝B
k B x x＝ －1，k∈A ，则集合 ∪B 中的元素个数为( )
2 A
A．6 B．7
C．8 D．9
B 1 1 1 1 B
解析：选 B 由题意知， B ＝ {0,1,2} ， ＝ 0， ， ， ，1， 2 4 6 3 ，则 ∪ B ＝A A
1 1 1 1
0， ， ， ，1， ，2 ，共有 7 个元素．
2 4 6 3
9．设集合 A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且 x∈Z}，则 A∩B＝________.
解析：依题意得 A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此 A∩B＝{x|－1≤x<1，x
∈Z}＝{－1,0}．
答案：{－1,0}
10．已知集合 U＝R，集合 A＝[－5,2]，B＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为
________．
解析：∵A＝[－5,2]，B＝(1,4)，∴ UB＝{x|x≤1 或 x≥4}，则题图中阴影部分所表示的
集合为( UB)∩A＝{x|－5≤x≤1}．
答案：{x|－5≤x≤1}
11．若集合 A＝{(x，y)|y＝3x2－3x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则集合 A∩B 中的元素个数
为________．
解析：法一：由集合的意义可知，A∩B 表示曲线 y＝3x2－3x＋1 与直线 y＝x 的交点构
成的集合．
1
x＝ ，
y＝3x
2－3x＋1， 3 x＝1，
联立得方程组 解得 或 y＝x， 1 y＝1， y＝3
1 1 故 A∩B＝ ，
3 3
，(1，1) ，所以 A∩B 中含有 2 个元素．

法二：由集合的意义可知，A∩B 表示曲线 y＝3x2－3x＋1 与直线 y＝x 的交点构成的集
合．因为 3x2－3x＋1＝x 即 3x2－4x＋1＝0 的判别式 Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，
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所以 A∩B 中含有 2 个元素．
答案：2
12．已知集合 A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若 A B，则实数 a 的取值范围是
__________．
解析：由 log2x≤2，得 0＜x≤4，
即 A＝{x|0＜x≤4}，而 B＝{x|x＜a}，
由于 A B，在数轴上标出集合 A，B，如图所示，则 a＞4.
答案：(4，＋∞)
13．设全集 U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2(1)分别求 A∩B，A∪( UB)；
(2)若 B∪C＝B，求实数 a 的取值范围．
解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2x≥4}，所以 A∪( UB)＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2 或 x≥4}＝{x|x≤3 或 x≥4}．
(2)由 B∪C＝B，可知 C B，画出数轴(图略)，
易知 2故实数 a 的取值范围是(2,3)．
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