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第三节 平面向量的数量积
一、基础知识
1．向量的夹角
―→ ―→
(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，如图所示，作 OA ＝a， OB ＝b，
则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉．
只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．
(2)范围：夹角 θ的范围是[0，π]．
当 θ＝0 时，两向量 a，b 共线且同向；
π
当 θ＝ 时，两向量 a，b 相互垂直，记作 a⊥b；
2
当 θ＝π 时，两向量 a，b 共线但反向．
2．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b| cos θ叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作
a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ是 a 与 b 的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．
3．平面向量数量积的几何意义
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影
设 θ是 a，b 的夹角，则|b|cos θ叫做向量 b 在向量 a 的方向上的投影，|a|cos θ叫做向
量 a 在向量 b 的方向上的投影．
(2)a·b 的几何意义
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
投影和两向量的数量积都是数量，不是向量.
4．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于 a·(b·c)，这是由于(a·b)·c
表示一个与 c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线．
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5．平面向量数量积的性质
设 a，b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量，θ是 a 与 e 的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a.
a·b
(4)cos θ＝ .
|a||b|
(5)|a·b|≤|a||b|.
6．平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 a 与 b 的夹角，则
(1)|a|＝ x2＋y21 1； (3)a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
x1x2＋y1y2
(2)a·b＝x1x2＋y1y2;_ (4)cos θ＝ .
x21＋y2 21 x2＋y22
二、常用结论汇总
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角为 0 时不成立)；
(2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立(因为夹角为 π 时不成立)．
考点一 平面向量的数量积的运算
[典例] (1)(2018·新乡二模)若向量 m＝(2k－1，k)与向量 n＝(4,1)共线，则 m·n＝( )
A．0 B．4
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9 17
C．－ D．－
2 2
(2)(2018·天津高考)在如图所示的平面图形中，已知 OM＝1，ON
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
＝2，∠MON＝120°，BM＝2 MA，CN ＝2 NA ，则 BC ·OM的值为( )
A．－15 B．－9
C．－6 D．0
1
[解析] (1)∵向量 m＝(2k－1，k)与向量 n＝(4,1)共线，∴2k－1－4k＝0，解得 k＝－ ，
2
1
∴ ＝ －2，－ m 2 ，
1 17
∴m·n＝－ × ＋ － 2 4 2 ×1＝－ . 2
(2)法一：如图，连接 MN.
―→ ―→ ―→ ―→
∵BM＝2 MA， CN ＝2 NA ，
AM AN 1
∴ ＝ ＝ .
AB AC 3
MN 1
∴MN∥BC，且 ＝ .
BC 3
―→ ―→ ―→ ―→
∴ BC ＝3 MN＝3( ON－OM )．
―→ ―→ ―→ ―→ ―→
∴ BC ·OM＝3( ON ·OM－OM 2)
＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.
法二：在△ABC 中，不妨设∠A＝90°，取特殊情况 ON⊥AC，以 A 为
坐标原点，AB，AC 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角
3 3 3
坐标系，因为∠MON＝120°，ON＝2，OM＝1，所以 O 2， 0， 2 ，C ，2
5，0
15
，0 M 2 ，B 2 .
―→ ―→ 15 3 3 1 3 15 9
故 BC ·OM＝ － ， · ，－ ＝－ － ＝－6. 2 2 2 2 4 4
[答案] (1)D (2)C
[解题技法] 求非零向量 a，b 的数量积的策略
(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量
的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．
(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量 a，b，
然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．
(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出 a，b 的坐标，通过坐标运算
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求解．
[题组训练]
―→ ―→
1．(2019·济南模拟)已知矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝1，则 AC ·CB ＝( )
A．1 B．－1
C. 6 D．2 2
―→ ―→
解析：选 B 设 AB ＝a， AD ＝b，则 a·b＝0，
∵|a|＝ 2，|b|＝1，
―→ ―→
∴ AC ·CB ＝(a＋b)·(－b)＝－a·b－b2＝－1.
2．(2019·南昌调研)已知向量 a，b 满足 a·(b＋a)＝2，且 a＝(1,2)，则向量 b 在 a 方向
上的投影为( )
5 5
A. B．－
5 5
2 5 3 5
C．－ D．－
5 5
解析：选 D 由 a＝(1,2)，可得|a|＝ 5，
由 a·(b＋a)＝2，可得 a·b＋a2＝2，
∴a·b＝－3，
a·b 3 5
∴向量 b 在 a 方向上的投影为 ＝－ .
|a| 5
―→ ―→ ―→ ―→
3．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知 AB 与 AC 的夹角为 90°，| AB |＝2，| AC |＝1，
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ λ
M 为 BC 上的一点，且AM＝λ AB ＋μ AC (λ，μ∈R)，且AM ·BC ＝0，则 的值为________．
μ
―→ ―→ ―→ ―→ ―→
解析：法一：∵ BC ＝ AC － AB ，AM ·BC ＝0，
―→ ―→ ―→ ―→
∴(λ AB ＋μ AC )·( AC － AB )＝0，
―→ ―→ ―→ ―→
∵ AB 与 AC 的夹角为 90°，| AB |＝2，| AC |＝1，
―→ 2 ―→ 2 λ 1∴－λ| AB | ＋μ| AC | ＝0，即－4λ＋μ＝0，∴ ＝ .
μ 4
法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(0,2)，
―→ ―→ ―→ ―→
C(1,0)，所以 AB ＝(0,2)，AC ＝(1,0)，BC ＝(1，－2)．设 M(x，y)，则AM＝
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―→ ―→ ―→ ―→ ―→
(x，y)，所以AM ·BC ＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以 x＝2y，又AM＝λ AB ＋μ AC ，即
1
y
λ 2 1
(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以 x＝μ，y＝2λ，所以 ＝ ＝ .
μ 2y 4
1
答案：
4
考点二 平面向量数量积的性质
考法(一) 平面向量的模
[典例] (1)(2019·昆明适应性检测)已知非零向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝3，且 a 与 a
π
＋b 的夹角为 ，则|b|＝( )
4
A．6 B．3 2
C．2 2 D．3
1
(2)(2019·福州四校联考)已知向量 a，b 为单位向量，且 a·b＝－ ，向量 c 与 a＋b 共线，
2
则|a＋c|的最小值为( )
1
A．1 B.
2
3 3
C. D.
4 2
π
[解析] (1)∵a·b＝0，|a|＝3，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|cos ，∴|a＋b|＝3 2，将
4
|a＋b|＝3 2两边平方可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选 D.
(2)∵向量 c 与 a＋b 共线，∴可设 c＝t(a＋b)(t∈R)，
∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)·a·b＋t2b2，
1
∵向量 a，b 为单位向量，且 a·b＝－ ，
2
3
∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥ ，
4
3 3
∴|a＋c|≥ ，∴|a＋c|的最小值为 ，故选 D.
2 2
[答案] (1)D (2)D
考法(二) 平面向量的夹角
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π 1
[典例] (1)已知平面向量 a，b的夹角为 ，且|a|＝1，|b|＝ ，则 a＋2b与b的夹角是( )
3 2
π 5π
A. B.
6 6
π 3π
C. D.
4 4
(2)已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m)且 b 在 a 方向上的投影为－3，则向量 a 与 b 的夹
角为________．
1 π
[解析] (1)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1× ×cos ＝3，
2 3
所以|a＋2b|＝ 3.
1 π 1 1 1 3
又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1× ×cos ＋2× ＝ ＋ ＝ ，
2 3 4 4 2 4
3
(a＋2b)·b 4 3
所以 cos〈a＋2b，b〉＝ ＝ ＝ ，
|a＋2b||b| 1 23×
2
π
所以 a＋2b 与 b 的夹角为 .
6
(2)因为 b 在 a 方向上的投影为－3，所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝ 12＋( 3)2＝2，
所以 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又 a·b＝3＋ 3m，所以 3＋ 3m＝－6，解得 m＝－3 3，
a·b －6
则 b＝(3，－3 3)，所以|b|＝ 32＋(－3 3)2＝6，所以 cos 〈a，b〉＝ ＝ ＝－
|a||b| 2×6
1 2π
，因为 0≤〈a，b〉≤π，所以 a 与 b 的夹角为 .
2 3
2π
[答案] (1)A (2)
3
考法(三) 平面向量的垂直
2 2
[典例] (1)若非零向量 a，b 满足|a|＝ |b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则 a 与 b 的夹角
3
为( )
π π
A. B.
4 2
3π
C. D．π
4
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
(2)已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120°，且| AB |＝3，| AC |＝2.若 AP ＝λ AB ＋ AC ，且 AP
―→
⊥ BC ，则实数 λ的值为________．
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2 2
[解析] (1)设 a 与 b 的夹角为 θ，因为|a|＝ |b|，(a－b)⊥(3a＋2b)，
3
8 2 2
所以(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b＝ |b|2－2|b|2－ |b|2cos θ＝0，
3 3
2 π
解得 cos θ＝ ，因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝ .
2 4
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
(2)由 AP ⊥ BC ，知 AP ·BC ＝0，即 AP ·BC ＝(λ AB ＋ AC )·( AC － AB )＝(λ－
―→ ―→ ―→2 ―→ 1 71) AB ·AC －λ AB ＋ AC 2＝(λ－1)×3×2× － 2 －λ×9＋4＝0，解得 λ＝ . 12
7
[答案] (1)A (2)
12
[解题技法]
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数
量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
[题组训练]
1．(2018·深圳高级中学期中)已知向量 m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，
则 λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：选 B ∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝
0，解得 λ＝－3.故选 B.
2．(2018·永州二模)已知非零向量 a，b 的夹角为 60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝( )
1
A. B．1
2
C. 2 D．2
1 |a|
解析：选 A ∵非零向量 a，b 的夹角为 60°，且|b|＝1，∴a·b＝|a|×1× ＝ ，∵|2a
2 2
1
－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝ ，故选
2
A.
3．(2019·益阳、湘潭调研)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1， 3)，记向量
a，b 的夹角为 θ，则 tan θ＝________.
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解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1， 3)，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝1＋3，
1 a·b 1 1 15 sin θ
∴a·b＝－ ，∴ cos θ＝ ＝－ ，∴sin θ＝ 1－ － 2
2 |a|·|b| 4 4
＝ ，∴tan θ＝ ＝－ 15.
4 cos θ
答案：－ 15
[课时跟踪检测]
17π
1．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2 3，a 与 b 的夹角的余弦值为 sin ，则 b·(2a
3
－b)等于( )
A．2 B．－1
C．－6 D．－18
17π 3
解析：选 D ∵a 与 b 的夹角的余弦值为 sin ＝－ ，
3 2
∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
2．已知平面向量 a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量 λa＋b 与 b 垂直，则实数 λ的值为( )
4 4
A. B．－
13 13
5 5
C. D．－
4 4
解析：选 D ∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa＋b 与 b 垂直，
5
∴(λa＋b)·b＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得 λ＝－ .
4
3．已知向量 a，b 满足|a|＝1，b＝(2,1)，且 a·b＝0，则|a－b|＝( )
A. 6 B. 5
C．2 D. 3
解析：选 A 因为|a|＝1，b＝(2,1)，且 a·b＝0，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－0
＝6，所以|a－b|＝ 6.故选 A.
4．已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量 c 满足(a＋c)∥b，c⊥(a＋b)，则 c＝( )
7 7 7 7
A. ， － ，－ 9 3 B. 3 9
7 7，
7 7
C. － ，－ 3 9 D. 9 3
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解析：选 D 设 c＝(m，n)，
则 a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，
因为(a＋c)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，
即 3m＋2n＝－7，又 c⊥(a＋b)，则有 3m－n＝0，
7
m＝－ ，
3m＋2n＝－7， 9
联立 解得
3m－n＝0. 7
n＝－ . 3
所以 c＝
7 7
－ ，－
9 3 .
5．(2018·襄阳调研)已知 i，j 为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且 a 与 b 的
夹角为锐角，则实数 λ的取值范围是( )
2 2 1
A. －2， ，＋∞ ，＋∞ 3 ∪ 3 B. 2
1 1
C．(－∞，－2)∪ －2， －∞， 2 D. 2
解析：选 C 不妨令 i＝(1,0)，j＝(0,1)，则 a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，因为它们的夹角
1
为锐角，所以 a·b＝1－2λ>0 且 a，b 不共线，所以 λ< 且 λ≠－2，故选 C.
2
6．(2019·石家庄质检)若两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量 a＋b 与
a 的夹角为( )
π π
A. B.
6 3
2π 5π
C. D.
3 6
解析：选 A ∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，∴|a＋
(a＋b)·a a2＋a·b |a|2 |a|
b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝ 3|b|，cos〈a＋b，a〉＝ ＝ ＝ ＝ ＝
|a＋b||a| |a＋b||a| 2|b||a| 2|b|
3 π
，故 a＋b 与 a 的夹角为 .
2 6
7．(2018·宝鸡质检)在直角三角形 ABC 中，角 C 为直角，且 AC＝BC＝1，点 P 是斜边
―→ ―→ ―→ ―→
上的一个三等分点，则 CP ·CB ＋ CP ·CA ＝( )
A．0 B．1
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9 9
C. D．－
4 4
―→ ―→
解析：选 B 以点 C 为坐标原点，分别以 CA ， CB 的方向为 x 轴，y 轴的正方向建立
1 2
平面直角坐标系
―→ ―→ ―→ ―→
(图略)，则 C(0,0)，A(1，0)，B(0,1)，不妨设 P ， 3 3 ，所以 CP ·CB ＋ CP ·CA
―→ ―→ ―→ 1 2
＝ CP ·( CB ＋ CA )＝ ＋ ＝1.故选 B.
3 3
8．(2019·武汉调研)已知平面向量 a，b，e 满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，
则 a·b 的最大值为( )
A．－1 B．－2
5 5
C．－ D．－
2 4
解析：选 D 不妨设 e＝(1,0)，则 a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，则 a＋b＝(－1，
m＋n)，所以|a＋b|＝ 1＋(m＋n)2＝2，所以(m＋n)2＝3，即 3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝
3 5
4mn，当且仅当 m＝n 时等号成立，所以 mn≤ ，所以 a·b＝－2＋mn≤－ ，综上可得 a·b
4 4
5
的最大值为－ .
4
9．已知平面向量 a，b 满足 a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量 a 与 b 的夹角的正
弦值为________．
解析：∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，
1
∴cos〈a，b〉＝－ ，又〈a，b〉∈[0，π]，
2
3
∴sin〈a，b〉＝ 1－cos2〈a，b〉＝ .
2
3
答案：
2
2π
10．(2018·湖北八校联考)已知平面向量 a，b 的夹角为 ，且|a|＝1，|b|＝2，若(λa＋
3
b)⊥(a－2b)，则 λ＝________.
2π 1
解析：∵|a|＝1，|b|＝2，且 a，b 的夹角为 ，∴a ·b＝1×2× － ＝－1，又∵(λa＋
3 2
b)⊥(a－2b)，∴(λa＋b)·(a－2b)＝0，即(λa＋b)·(a－2b)＝λa2－2b2＋(1－2λ)a·b＝λ－8－(1
－2λ)＝0，解得 λ＝3.
答案：3
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11．(2018·合肥一检)已知平面向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝ 3，则 a 在 b 方
向上的投影等于________．
解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝ 3，
∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，
∴a·b＝－1，
a·b 1
∴a 在 b 方向上的投影为 ＝－ .
|b| 2
1
答案：－
2
―→ ―→
12.如图所示，在等腰直角三角形 AOB 中，OA＝OB＝1， AB ＝4 AC ，则
―→ ―→ ―→
OC ·( OB － OA )＝________.
―→ ―→ 2
解析：由已知得| AB |＝ 2，| AC |＝ ，
4
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 3π 2
则 OC ·( OB － OA )＝( OA ＋ AC )·AB ＝ OA ·AB ＋ AC ·AB ＝ 2cos ＋ × 2＝
4 4
1
－ .
2
1
答案：－
2
13．(2019·南昌质检)设向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，且|2a－b|＝ 5.
(1)求|2a－3b|的值；
(2)求向量 3a－b 与 a－2b 的夹角 θ.
解：(1)∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4－4a·b＋1＝5，∴a·b＝0，
∴|2a－3b|＝ 4a2－12a·b＋9b2＝ 4＋9＝ 13.
(3a－b)·(a－2b) 3a2＋2b2 5 2
(2)cos θ＝ ＝ ＝ ＝ ，
|3a－b||a－2b| 9a2＋b2× a2＋4b2 10× 5 2
π
∵θ∈[0，π]，∴θ＝ .
4
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