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第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、基础知识
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非” 叫做逻辑联结词．
①用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到复合命题“p 且 q”，记作 p∧q；
②用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到复合命题“p 或 q”，记作 p∨q；
③对命题 p 的结论进行否定，得到复合命题“非 p”，记作非 p.
“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”
的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，
“非 p”只否定 p 的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.
“命题的否定”与“否命题”的区别
(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．
(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假
无必然联系．
(2)命题真值表：
p q p∧q p∨q 非 p
真 真 真 真 假
假 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 假 假 假 真
命题真假的判断口诀
p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p 与非 p→真假相反.
2．全称量词与存在量词
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
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存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
3.全称命题与特称命题
命题名称 命题结构 命题简记
全称命题 对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 x∈M，p(x)
特称命题 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立 x0∈M，p(x0)
4．全称命题与特称命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x) x0∈M，非 p(x0)
x0∈M，p(x0) x∈M，非 p(x)
二、常用结论
含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q 真 p，q 至少一个真 (非 p)∧(非 q)假．
(2)p∨q 假 p，q 均假 (非 p)∧(非 q)真．
(3)p∧q 真 p，q 均真 (非 p)∨(非 q)假．
(4)p∧q 假 p，q 至少一个假 (非 p)∨(非 q)真．
考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假
[典例] (1)(2017·山东高考)已知命题 p： x>0，ln(x＋1)>0；命题 q：若 a>b，则 a2>b2.
下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧非 q
C．非 p∧q D．非 p∧非 q
1
(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题 p： x0∈(0，＋∞)，x0＋ >3；命题 q： x∈(2，＋∞)，x0
x2>2x，则下列命题为真的是( )
A．p∧(非 q) B．(非 p)∧q
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C．p∧q D．(非 p)∨q
[解析] (1)当 x>0 时，x＋1>1，因此 ln(x＋1)>0，即 p 为真命题；取 a＝1，b＝－2，这
时满足 a>b，显然 a2>b2 不成立，因此 q 为假命题．由复合命题的真假性，知 B 为真命题．
1 17
(2)对于命题 p，当 x0＝4 时，x0＋ ＝ >3，故命题 p 为真命题；对于命题 q，当 x＝4x0 4
时，24＝42＝16，即 x ∈(2，＋∞)，使得2x ＝x20 0 0成立，故命题q为假命题，所以p∧ (非
q)为真命题，故选 A.
[答案] (1)B (2)A
[题组训练]
1．(2019·惠州调研)已知命题 p，q，则“非 p 为假命题”是“p∧q 是真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B 充分性：若非 p 为假命题，则 p 为真命题，由于不知道 q 的真假性，所以
推不出 p∧q 是真命题．必要性：p∧q 是真命题，则 p，q 均为真命题，则非 p 为假命题．所
以“非 p 为假命题”是“p∧q 是真命题”的必要不充分条件．
2．已知命题 p：“若 x2－x>0，则 x>1”；命题 q：“若 x，y∈R，x2＋y2＝0，则 xy＝0”．下
列命题是真命题的是( )
A．p∨(非 q) B．p∨q
C．p∧q D．(非 p)∧(非 q)
解析：选 B 若 x2－x>0，则 x>1 或 x<0，故 p 是假命题；若 x，y∈R，x2＋y2＝0，则 x
＝0，y＝0，xy＝0，故 q 是真命题．则 p∨q 是真命题．
考点二 全称命题与特称命题
[典例] (1)命题 x∈R，ex－x－1≥0 的否定是( )
A． x∈R，ex－x－1≤0
B． x∈R，ex－x－1≥0
x
C． x0∈R，e 0－x0－1≤0
x
D． x0∈R，e 0－x0－1<0
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x
(2)对命题 x >0，x2 00 0>2 ，下列说法正确的是( )
x
A．真命题，其否定是 x 2 00≤0，x0≤2
B．假命题，其否定是 x>0，x2≤2x
C．真命题，其否定是 x>0，x2≤2x
D．真命题，其否定是 x≤0，x2≤2x
[解析] (1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选 D.
(2)已知命题是真命题，如 32＝9>8＝23，其否定是 x>0，x2≤2x.故选 C.
[答案] (1)D (2)C
[题组训练]
1．命题“ x∈R， n∈N*，使得 n≤x2”的否定形式是( )
A． x∈R， n∈N*，使得 n>x2
B． x∈R， n∈N*，使得 n>x2
C． x0∈R， n∈N*，使得 n>x20
D． x *0∈R， n∈N ，使得 n>x20
解析：选 D 改写为 ， 改写为 ，n≤x2的否定是 n>x2，则该命题的否定形式为
“ x ∈R， n∈N*0 ，使得 n>x20”．
2．已知命题 p： n∈R，使得 f(x)＝nxn2＋2n 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；
命题 q：“ x 2 20∈R，x0＋2>3x0”的否定是“ x∈R，x ＋2<3x”．则下列命题为真命题的
是( )
A．p∧q B．(非 p)∧q
C．p∧(非 q) D．(非 p)∧(非 q)
解析：选 C 当 n＝1 时，f(x)＝x3 为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故 p 是真命题，
则非 p 是假命题；“ x 2 20∈R，x0＋2>3x0”的否定是“ x∈R，x ＋2≤3x”，故 q 是假命题，
非 q 是真命题．所以 p∧q，(非 p)∧q，(非 p)∧(非 q)均为假命题，p∧(非 q)为真命题，选
C.
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围
[典例] 已知 p：存在 x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意 x∈R，x2＋mx＋1>0.若 p 或 q 为假
命题，求实数 m 的取值范围．
[解] 依题意知 p，q 均为假命题，
当 p 是假命题时，则 mx2＋1>0 恒成立，则有 m≥0；
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当 q 是真命题时，则 Δ＝m2－4<0，－2因此由 p，q 均为假命题得{m≥0， m≤－2或m≥2， 即 m≥2.
所以实数 m 的取值范围为[2，＋∞)．
[变透练清]
1.(变条件)若本例将条件“p 或 q 为假命题”变为“p 且 q 为真命题”，其他条件不变，
则实数 m 的取值范围为________．
解析：依题意，当 p 是真命题时，有 m<0；
当 q 是真命题时，有－2 m<0，
由 可得－2所以 m 的取值范围为(－2,0)．
答案：(－2,0)
2.(变条件)若本例将条件“p 或 q 为假命题”变为“p 且 q 为假，p 或 q 为真”，其他条
件不变，则实数 m 的取值范围为________．
解析：若 p 且 q 为假，p 或 q 为真，则 p，q 一真一假．
m<0，
当 p 真 q 假时 所以 m≤－2； m≥2或m≤－2，
m≥0，
当 p 假 q 真时
－2所以 m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．
答案：(－∞，－2]∪[0,2)
3.(变条件)若本例将条件 q 变为：存在 x ∈R，x20 0＋mx0＋1<0，其他条件不变，则实数 m
的取值范围为________．
解析：依题意，当 q 是真命题时，Δ＝m2－4>0，
m≥0，
所以 m>2 或 m<－2.由 得 0≤m≤2， －2≤m≤2，
所以 m 的取值范围为[0,2]．
答案：[0,2]
[课时跟踪检测]
x
1．(2019·西安摸底)命题“ x>0， >0”的否定是( )
x－1
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x0
A． x0≥0， ≤0 B． x0>0,0≤x0≤1
x0－1
x
C． x>0， ≤0 D． x<0,0≤x≤1
x－1
x x
解析：选 B ∵ >0，∴x<0 或 x>1，∴ >0 的否定是 0≤x≤1，
x－1 x－1
∴命题的否定是“ x0>0,0≤x0≤1”．
2．下列命题中，假命题的是( )
－
A． x∈R,21 x>0
B． a0∈R，y＝xa0 的图象关于 y 轴对称
C．函数 y＝xa 的图象经过第四象限
1
D．直线 x＋y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝ 相切
2
解析：选 C 对于 A，由指数函数的性质可知为真命题；对于 B，当 a＝2 时，其图象
关于 y 轴对称；对于 C，当 x>0 时，y>0 恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对
1
于 D，因为圆心(0,0)到直线 x＋y＋1＝0 的距离等于 ，等于圆的半径，命题成立．
2
3．(2019·陕西质检)已知命题 p：对任意的 x∈R，总有 2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不
必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(非 p)∧(非 q)
C．(非 p)∧q D．p∧(非 q)
解析：选 D 由指数函数的性质知命题 p 为真命题．易知 x>1 是 x>2 的必要不充分条件，
所以命题 q 为假命题．由复合命题真值表可知 p∧(非 q)为真命题．
4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( )
A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件
x
B．命题 p： x∈R,2x>0，则非 p： x0∈R,2 0<0
1 1
C．命题“若 a>b>0，则 < ”的逆命题是真命题
a b
D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件
解析：选 A 对于选项 A，由 a>1，b>1，易得 ab>1，故 A 正确．对于选项 B，全称命
x
题的否定是特称命题，所以命题 p： x∈R,2x>0 的否定是非 p： x0∈R,2 0≤0，故 B 错误．对
1 1
于选项 C，其逆命题：若 < ，则 a>b>0，可举反例，如 a＝－1，b＝1，显然是假命题，故
a b
C 错误．对于选项 D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如 a＝1，b＝－1，故 D 错误．故选 A.
5．(2019·唐山五校联考)已知命题 p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题 q： x0∈R，|x0
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＋1|≤x0，则( )
A．(非 p)∨q 为真命题 B．p∧(非 q)为假命题
C．p∧q 为真命题 D．p∨q 为真命题
解析：选 D 由题意可知命题 p 为真命题．因为|x＋1|≤x 的解集为空集，所以命题 q
为假命题，所以 p∨q 为真命题．
6．下列说法错误的是( )
A．命题“若 x2－5x＋6＝0，则 x＝2”的逆否命题是“若 x≠2，则 x2－5x＋6≠0”
B．若命题 p：存在 x ∈R，x20 0＋x0＋1<0，则非 p：对任意 x∈R，x2＋x＋1≥0
x＋y
C．若 x，y∈ R，则“x＝y”是“xy≥ 2”的充要条件
2
D．已知命题 p 和 q，若“p 或 q”为假命题，则命题 p 与 q 中必一真一假
解析：选 D 由原命题与逆否命题的关系，知 A 正确；由特称命题的否定知 B 正确；
由 ≥
x＋y
xy 2 4xy≥(x＋y)2 4xy≥x2＋y2＋2xy (x－y)2≤0 x＝y，知 C 正确；对于 D，
2
命题“p 或 q”为假命题，则命题 p 与 q 均为假命题，所以 D 不正确．
7．(2019·长沙模拟)已知命题“ x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数 a 的取值范
围是( )
A．(4，＋∞) B．(0,4]
C．(－∞，4] D．[0,4)
解析：选 C 当原命题为真命题时，a>0 且 Δ<0，所以 a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.
8．下列命题为假命题的是( )
A．存在 x>y>0，使得 ln x＋ln y<0
π
B．“φ＝ ”是“函数 y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件
2
C． x0∈(－∞，0)，使 3x0<4x0 成立
D．已知两个平面 α，β，若两条异面直线 m，n 满足 m α，n β且 m∥β，n∥α，则 α
∥β
1
解析：选 C 对于 A 选项，令 x＝1，y＝ ，则 ln x＋ln y＝－1<0 成立，故排除 A.对于
e
π
B 选项，“φ＝ ”是“函数 y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除 B.
2
对于 C 选项，根据幂函数 y＝xα，当 α<0 时，函数单调递减，故不存在 x0∈(－∞，0)，使
3x0<4x0 成立，故 C 错误．对于 D 选项，已知两个平面 α，β，若两条异面直线 m，n 满足
m α，n β且 m∥β，n∥α，可过 n 作一个平面与平面 α相交于直线 n′.由线面平行的性质
定理可得 n′∥n，再由线面平行的判定定理可得 n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可
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得 α∥β，故排除 D，选 C.
9．若命题 p 的否定是“ x∈ (0，＋∞)， x＞ x＋ 1”，则命题 p 可写为
________________________．
解析：因为 p 是非 p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案： x0∈(0，＋∞)， x0≤x0＋1
10．已知命题 p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“非 q”同时为假命题，则 x
＝________.
解析：若 p 为真，则 x≥－1 或 x≤－3，
因为“非 q”为假，则 q 为真，即 x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以 p 为假，故－3＜x＜－1，
由题意，得 x＝－2.
答案：－2
11．已知 p：a<0，q：a2>a，则非 p 是非 q 的________条件(填：充分不必要、必要不充
分、充要、既不充分也不必要)．
解析：由题意得非 p：a≥0，非 q：a2≤a，即 0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1} {a|a≥0}，所
以非 p 是非 q 的必要不充分条件．
答案：必要不充分
12．已知命题 p：a2≥0(a∈R)，命题 q：函数 f(x)＝x2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，
则下列命题：
①p∨q；②p∧q；③(非 p)∧(非 q)；④(非 p)∨q.
其中为假命题的序号为________．
解析：显然命题 p 为真命题，非 p 为假命题．
1 1∵f(x)＝x2－x＝ x－ 2 2 － ， 4
1
∴函数 f(x)在区间 ，＋∞ 2 上单调递增．
∴命题 q 为假命题，非 q 为真命题．
∴p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，(非 p)∧(非 q)为假命题，(非 p)∨q 为假命题．
答案：②③④
1
13．设 t∈R，已知命题 p：函数 f(x)＝x2－2tx＋1 有零点；命题 q： x∈[1，＋∞)，
x
－x≤4t2－1.
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(1)当 t＝1 时，判断命题 q 的真假；
(2)若 p∨q 为假命题，求 t 的取值范围．
1
解：(1)当 t＝1 时， －x
1
x max＝0， －x≤3 在[1，＋∞)上恒成立，故命题 q 为真命题． x
(2)若 p∨q 为假命题，则 p，q 都是假命题．
当 p 为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－11
当 q 为真命题时， －x 2 2 x max≤4t －1，即 4t －1≥0，
1 1
解得 t≤－ 或 t≥ ，
2 2
1 1
∴当 q 为假命题时，－ 2 2
1 1
∴t 的取值范围是 － ， 2 2 .
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