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选修 4－4 坐标系与参数方程
第一节 坐标系
一、基础知识
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
x′＝λ·x(λ＞0)，
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ： 的作用下，
y′＝μ·y(μ＞0)
点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变
换．
2．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线
Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正
方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
①极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为 ρ.
②极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ).
一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数.
3．极坐标与直角坐标的互化
设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
ρ2＝x2＋y2，
x＝ρcos θ，
y
y＝ρsin θ； tan θ＝ (x≠0). x
4．简单曲线的极坐标方程
曲线 极坐标方程
圆心为极点，半径为 r 的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)
π π
圆心为(r,0)，半径为 r 的圆 ρ＝2rcos θ － ≤θ≤ 2 2
π
圆心为 r， 2 ，半径为 r 的圆
ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)
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过极点，倾斜角为 α的直线 θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R)
π π
过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a － <θ< 2 2
π
过点 a， 2 ，与极轴平行的直线
ρsin θ＝a(0<θ<π)
考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
y2 x′＝3x，
[典例] 求双曲线 C：x2－ ＝1 经过 φ： 变换后所得曲线 C′的焦点坐标． 64 2y′＝y
[解] 设曲线 C′上任意一点 P(x′，y′)，
1 x＝ x′， y2
由上述可知，将 3 代入 x2－ ＝1， 64 y＝2y′
x′2 4y′2 x′2 y′2 x2 y2
得 － ＝1，化简得 － ＝1，即 － ＝1 为曲线 C′的方程，
9 64 9 16 9 16
可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求．
[解题技法] 伸缩变换后方程的求法
x′＝λx(λ>0)，
平面上的曲线 y＝f(x)在变换 φ： 的作用下的变换方程的求法是将 y′＝μy(μ>0)
x′
x＝ ，λ y′ x′ 代入 y＝f(x)，得 ＝f ，整理之后得到 y′＝h(x′)，即为所求变换之后y′ μ λ y＝ μ
的方程．
[提醒] 应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．
[题组训练]
x′＝2x，
1．若函数 y＝f(x)的图象在伸缩变换 φ： 的作用下得到曲线的方程为 y′＝
y′＝3y
π
3sin x′＋ 6 ，求函数 y＝f(x)的最小正周期．
π
解：由题意，把变换公式代入曲线 y′＝3sin x′＋ 6 得
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π π
3y＝3sin 2x＋ 2x＋ 6 ，整理得 y＝sin 6 ，
π
故 f(x)＝sin 2x＋ 6 .
所以函数 f(x)的最小正周期为 π.
x2 y2 x′＝λx，
2．将圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆 ＋ ＝1 的一个伸缩变换公式 φ： (λ，μ>0)，
25 16 y′＝μy
求 λ，μ的值．
x2 y2 x′2 y′2
解：将变换后的椭圆 ＋ ＝1 改写为 ＋ ＝1，
25 16 25 16
x′＝λx，
把伸缩变换公式 φ： (λ，μ>0)代入上式得： y′＝μy
λ2x2 μ2y2 λ μ
＋ ＝1 即 2 5 x
2＋ 2 2 2 2
25 16 4 y ＝1，与 x ＋y ＝1，
λ
2 5 ＝1， λ＝5，比较系数得 所以 μ 2 μ＝4. 4 ＝1，
考点二 极坐标与直角坐标的互化
π
[典例] (2018·江苏高考)在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρsin －θ 6 ＝2，曲线 C 的方
程为 ρ＝4cos θ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．
[解] 因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
所以曲线 C 是圆心为(2,0)，直径为 4 的圆．
π
因为直线 l 的极坐标方程为 ρsin － θ 6 ＝2，
3
化成直角坐标方程为 y＝ (x－4)，
3
π
则直线 l 过 A(4,0)，倾斜角为 ，
6
所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点．
π
设另一个交点为 B，则∠OAB＝ .
6
如图，连接 OB.
π
因为 OA 为直径，从而∠OBA＝ ，
2
π
所以 AB＝4cos ＝2 3.
6
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所以直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3.
[解题技法]
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 x＝ρcos θ及 y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程
并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式，
再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形技
巧．
2．极角的确定
由 tan θ确定角 θ时，应根据点 P 所在象限取最小正角．
y
(1)当 x≠0 时，θ角才能由 tan θ＝ 按上述方法确定．
x
(2)当 x＝0 时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：
π
当 x＝0，y＝0 时，θ可取任何值；当 x＝0，y>0 时，可取 θ＝ ；当 x＝0，y<0 时，可
2
3π
取 θ＝ .
2
[题组训练]
π 2
1．(2019·郑州质检)在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线 l：ρsin θ－ 4 ＝ 2
(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；
(2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标．
解：(1)圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ，即 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
故圆 O 的直角坐标方程为 x2＋y2－x－y＝0，
π 2
直线 l：ρsin θ－ 4 ＝ ，即 ρsin θ－ρcos θ＝1， 2
则直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋1＝0.
x2＋y2 －x－y＝0， x＝0，
(2)将两直角坐标方程联立得 解得 x－y＋1＝0， y＝1，
即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
π
将(0,1)转化为极坐标为 1， 2 即为所求．
π
2．已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ＝2，ρ2－2 2ρ·cos θ－ 4 ＝2.
(1)求圆 O1 和圆 O2 的直角坐标方程；
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(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由 ρ＝2 知 ρ2＝4，
所以圆 O1 的直角坐标方程为 x2＋y2＝4.
π
因为 ρ2－2 2ρcos θ－ 4 ＝2，
π π
所以 ρ2－2 2ρ cos θcos ＋sin θsin 4 4 ＝2，
所以圆 O 的直角坐标方程为 x22 ＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为 x＋y＝1.
化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ＝1，
π 2
即 ρsin θ＋ 4 ＝ . 2
考点三 曲线的极坐标方程的应用
[典例] (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 ρcos θ＝4.
(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹
C2 的直角坐标方程；
(2)设点 A 的极坐标为
π
2，
3 ，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值．
[解] (1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．
4
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝ . cos θ
由|OM|·|OP|＝16，得 C2的极坐标方程 ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
因此 C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB 的面积
1 π π 3
S＝ |OA|·ρ
2 B
·sin∠AOB＝4cos α· sin
α－
3 ＝2 sin 2α－ － . 3 2
π
即当 α＝－ 时，S 取得最大值 2＋ 3.
12
所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3.
[解题技法]
1．求简单曲线的极坐标方程的方法
(1)设点 M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、
余弦定理求解|OM|与 θ的关系．
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(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方
程化为极坐标方程．
2．利用极坐标系解决问题的技巧
(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标
表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直
角坐标系中求最值的运算量小．
[提醒] 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．
[题组训练]
x＝cos φ，
1．(2019·青岛质检)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 (其中 φ
y＝1＋sin φ
为参数)．以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆 C 的极坐标方程；
π π
(2)设直线 l 的极坐标方程是 ρsin θ＋ 3 ＝2，射线 OM：θ＝ 与圆 C 的交点为 P，与直线6
l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长．
解：(1)圆 C 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，又 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ.
π
(2)把 θ＝ 代入圆的极坐标方程可得 ρP＝1， 6
π
把 θ＝ 代入直线 l 的极坐标方程可得 ρQ＝2， 6
所以|PQ|＝|ρP－ρQ|＝1.
9
2．(2018·湖北八校联考)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ2＝ 2 2 ，以极点为平面cos θ＋9sin θ
直角坐标系的原点 O，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线 C 的直角坐标方程；
1 1
(2)A，B 为曲线 C 上两点，若 OA⊥OB，求 2＋ 2的值． |OA| |OB|
9
解：(1)由 ρ2＝ 2 2 2 2
cos2θ＋9sin2
得 ρ cos θ＋9ρ sin θ＝9，
θ
x2
将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得到曲线 C 的直角坐标方程是 ＋y2＝1.
9
9 1 cos2θ
(2)因为 ρ2＝ 2 ，所以 2＝ ＋sin
2θ，
cos θ＋9sin2θ ρ 9
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π
由 OA⊥OB，设 A(ρ1，α)，则点 B 的坐标可设为 ρ 2
，α±
2 ，
1 1 1 1 cos2α sin2α 1 10
所以 2＋ 2＝ 2＋ 2＝ ＋sin2α＋ ＋cos2α＝ ＋1＝ . |OA| |OB| ρ1 ρ2 9 9 9 9
[课时跟踪检测]
π1．在极坐标系中，求直线 ρcos θ＋ 6 ＝1 与圆 ρ＝4sin θ的交点的极坐标．
π
解：ρcos θ＋ 6 ＝1 化为直角坐标方程为 3x－y＝2，
即 y＝ 3x－2.
ρ＝4sin θ可化为 x2＋y2＝4y，
把 y＝ 3x－2 代入 x2＋y2＝4y，
得 4x2－8 3x＋12＝0，
即(x－ 3)2＝0，
所以 x＝ 3，y＝1.
π
所以直线与圆的交点坐标为( 3，1)，化为极坐标为 2， 6 .
π π 3
2．在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P 2， 4 ，圆心为直线 ρsin
θ－
3 ＝－ 与极轴2
的交点，求圆 C 的极坐标方程．
解：在 ρsin
π 3
θ－
3 ＝－ 中，令 θ＝0，得 ρ＝1， 2
所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)．
π
因为圆 C 经过点 P 2， 4 ，
π
所以圆 C 的半径|PC|＝ ( 2)2＋12－2×1× 2cos ＝1，于是圆 C 过极点，
4
所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.
3．在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x－ 3)2＋(y＋1)2＝9，以 O 为极点，x 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆 C 的极坐标方程；
π
(2)直线 OP：θ＝ (ρ∈R)与圆 C 交于点 M，N，求线段 MN 的长．
6
解：(1)(x－ 3)2＋(y＋1)2＝9 可化为 x2＋y2－2 3x＋2y－5＝0，
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故其极坐标方程为 ρ2－2 3ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0.
π
(2)将 θ＝ 代入 ρ2－2 3ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，
6
得 ρ2－2ρ－5＝0，
所以 ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，
所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝ 4＋20＝2 6.
4．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C 的极
π
坐标方程为 ρcos θ－ 3 ＝1，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．
(1)求 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；
(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．
π 1 3解： 由 (1) ρcos θ－ 3 ＝1 得 ρ cos θ＋ sin θ ＝1. 2 2
1 3
从而 C 的直角坐标方程为 x＋ y＝1，即 x＋ 3y＝2.
2 2
当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)．
π 2 3 2 3 π
当 θ＝ 时，ρ＝ ，所以 N .
2 3 ， 3 2
2 3
(2)由(1)知 M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为 0， .
3
3 2 3 π
所以点 P 的直角坐标为 1， ，则点 P 的极坐标为 ， ，
3 3 6
π
所以直线 OP 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)．
6
5．(2018·南昌摸底调研)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为(x－ 3)2＋(y－2)2
3
＝4，直线 C2 的方程为 y＝ x，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 3
(1)求曲线 C1和直线 C2 的极坐标方程；
(2)若直线 C2与曲线 C1 交于 P，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值．
解：(1)∵曲线 C 2 21 的普通方程为(x－ 3) ＋(y－2) ＝4，
即 x2＋y2－2 3x－4y＋3＝0，
∴曲线 C 21 的极坐标方程为 ρ －2 3ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.
3
∵直线 C2 的方程为 y＝ x， 3
π
∴直线 C2 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)． 6
(2)设 P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，
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π
将 θ＝ (ρ∈R)代入 ρ2－2 3ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0，
6
得 ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.
6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 C 的极坐标方程；
π π
(2)设 l1：θ＝ ，l2：θ＝ ，若 l ，l 与曲线 C 分别交于异于原点的 A，B 两点，求△AOB6 3 1 2
的面积．
解：(1)∵曲线 C 的普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，
即 x2＋y2－6x－8y＝0.
∴曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝6cos θ＋8sin θ.
π π
(2)设 A ρ ， ρ ， 1 6 ，B 2 3 .
π
把 θ＝ 代入 ρ＝6cos θ＋8sin θ，得 ρ
6 1
＝4＋3 3，
π
∴A 4＋3 3， 6 .
π
把 θ＝ 代入 ρ＝6cos θ＋8sin θ，得 ρ2＝3＋4 3， 3
∴B
π
3＋4 3，
3 .
1
∴S△AOB＝ ρ1ρ2sin∠AOB 2
1 π π
＝ (4＋3 3)(3＋4 3)sin －
2 3 6
25 3
＝12＋ .
4
x＝tcos α，
7．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： (t 为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π.在以 y＝tsin α
O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2 3cos θ.
(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；
(2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0，
曲线 C3 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 3x＝0.
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x2＋y2 －2y＝0，
联立
x2＋y2－2 3x＝0，
x＝0，
3
x＝ ，
2
解得 或
y＝0 3
y＝ . 2
3 3
所以 C2 与

C3交点的直角坐标为(0,0)和 ， . 2 2
(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π.
因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α)．
π
所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4 α－ sin 3 .
5π
当 α＝ 时，|AB|取得最大值，最大值为 4.
6
8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线 C 2 21 的普通方程为 x ＋y ＋2x－4＝0，
曲线 C2 的方程为 y2＝x，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 C1，C2 的极坐标方程；
(2)求曲线 C1与 C2 交点的极坐标，其中 ρ≥0,0≤θ<2π.
x＝ρcos θ，
解：(1)依题意，将 代入 x2＋y2＋2x－4＝0 可得 ρ2＋2ρcos θ－4＝0.
y＝ρsin θ
x＝ρcos θ，
将 代入 y2＝x，得 ρsin2θ＝cos θ.
y＝ρsin θ
故曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin2θ＝cos θ.
(2)将 y2＝x 代入 x2＋y2＋2x－4＝0，得 x2＋3x－4＝0，解得 x＝1，x＝－4(舍去)，
当 x＝1 时，y＝±1，所以曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1,1)，(1，－1)，记 A(1,1)，
B(1，－1)，
所以 ρA＝ 1＋1＝ 2，ρB＝ 1＋1＝ 2，tan θA＝1，tan θB＝－1，
因为 ρ≥0,0≤θ<2π，点 A 在第一象限，点 B 在第四象限，
π 7π π 7π
所以 θA＝ ，θB＝ ，故曲线 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 2， 2， 4 4 4 ， 4 .
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