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第二节 参数方程
一、基础知识
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
x＝f(t)，
并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上， y＝g(t)，
那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变数，简称参
数．
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 F(x，y)＝0 叫做普通方程．
2．参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．
(2)普通方程化参数方程：如果 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的
x＝f(t)，
关系 y＝g(t)，则得曲线的参数方程 y＝g(t).
3．直线、圆、椭圆的参数方程
x＝x0＋tcos α，
(1)过点 M(x0，y0)，倾斜角为 α的直线 l 的参数方程为 (t 为参数)． y＝y0＋tsin α
直线参数方程的标准形式的应用
x＝x0＋tcos α，
过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α的直线 l 的参数方程是 若 M1，M2是 l 上 y＝y0＋tsin α.
的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则
①|M1M2|＝|t1－t2|.
t1＋t2
②若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝ ，中点 M 到定点 M0 的距离|MM2 0|
t1＋t2＝ |t|＝ .
2
③若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
x＝x0＋rcos θ，
(2)圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为 (θ为参数)．
y＝y0＋rsin θ
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x2 y2 x＝acos φ，
(3)椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的参数方程为 (φ为参数)． a b y＝bsin φ
考点一 参数方程与普通方程的互化
x＝a－2t，
[典例] 已知直线 l 的参数方程为
y＝－4t (t 为参数)，圆 C 的参数方程为
x＝4cos θ，
(θ为参数)． y＝4sin θ
(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；
(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围．
[解] (1)直线 l 的普通方程为 2x－y－2a＝0，
圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16.
(2)因为直线 l 与圆 C 有公共点，
|－2a|
故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝ ≤4，
5
解得－2 5≤a≤2 5.
即实数 a 的取值范围为[－2 5，2 5 ]．
[解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法
将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见
的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常
利用同角三角函数关系式消参(如 sin2θ＋cos2θ＝1 等)．
[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．
[题组训练]
1．将下列参数方程化为普通方程．
1
t －x＝ (e ＋e t)，2
(1) (t 为参数)． 1 －
y＝ (e
t－e t)
2
x＝2tan
2θ，
(2) (θ为参数)．
y＝2tan θ
－
解：(1)由参数方程得 et＝x＋y，e t＝x－y，
所以(x＋y)(x－y)＝1，即 x2－y2＝1.
x＝2tan
2θ， ①
(2)因为曲线的参数方程为 (θ为参数)，
y＝2tan θ ②
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y
由 y＝2tan θ，得 tan θ＝ ，代入①得 y2＝2x.
2
2.如图，以过原点的直线的倾斜角 θ为参数，求圆 x2＋y2－x＝0 的参
数方程．
1
解：圆的半径为 ，
2
1
记圆心为 C ，0 2 ，连接 CP，
则∠PCx＝2θ，
1 1
故 xP＝ ＋ cos 2θ＝cos2θ， 2 2
1
yP＝ sin 2θ＝sin θcos θ. 2
2 x＝cos θ，
所以圆的参数方程为 (θ为参数)．
y＝sin θcos θ
考点二 参数方程的应用
[ 典例 ] (2019·广州高中综合测试 )已知过点 P(m,0)的直线 l 的参数方程是
3x＝m＋ t，2
(t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立1 y＝ t2
极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.
(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，且|PA|·|PB|＝2，求实数 m 的值．
[解] (1)消去参数 t，可得直线 l 的普通方程为 x＝ 3y＋m，即 x－ 3y－m＝0.
因为 ρ＝2cos θ，所以 ρ2＝2ρcos θ.
可得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2＝2x，即 x2－2x＋y2＝0.
3x＝m＋ t，2
(2)把 代入 x2－2x＋y2＝0， 1 y＝ t2
得 t2＋( 3m－ 3)t＋m2－2m＝0.
由 Δ>0，得－1设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t 22，则 t1·t2＝m －2m.
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因为|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝2，所以 m2－2m＝±2，
解得 m＝1± 3.
因为－1[解题技法]
1．应用直线参数方程的注意点
在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、
余弦值，否则参数不具备该几何含义．
2．圆和圆锥曲线参数方程的应用
有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们
的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是
解此类题的关键．
[题组训练]
1． (2019·湖北八校联考 )在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
x＝ 3cos α，
(α为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 y＝sin α
π
的极坐标方程为 ρsin θ＋ 4 ＝ 2.
(1)求曲线 C1的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程；
(2)设 P 为曲线 C1 上的动点，求点 P 到 C2 的距离的最大值，并求此时点 P 的坐标．
x2
解：(1)曲线 C1 的普通方程为 ＋y2＝1， 3
π
由 ρsin θ＋ 4 ＝ 2，得 ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲线 C2 的直角坐标方程为 x＋y－2＝0.
(2)设点 P 的坐标为( 3cos α，sin α)，
2sin
π
α＋
＋ － 3 －2

| 3cos α sin α 2|
则点 P 到 C2的距离为 ＝ ，
2 2
π π π 5π当 sin α＋ 3 ＝－1，即 α＋ ＝－ ＋2kπ(k∈Z)，α＝－ ＋2kπ(k∈Z)时，所求距离最大，3 2 6
最大值为 2 2，
3 1
此时点 P 的坐标为 － ，－ 2 2 .
x＝2cos θ，
2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy中，曲线 C 的参数方程为 (θ为参数)，
y＝4sin θ
x＝1＋tcos α，
直线 l 的参数方程为 (t 为参数)．
y＝2＋tsin α
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
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(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率．
x2 y2
解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为 ＋ ＝1.
4 16
当 cos α≠0 时，直线 l 的直角坐标方程为 y＝tan α·x＋2－tan α，
当 cos α＝0 时，直线 l 的直角坐标方程为 x＝1.
(2)将直线 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(1＋3cos2α)t2＋
4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，
所以①有两个解，设为 t1，t2，则 t1＋t2＝0.
4(2cos α＋sin α)
又由①得 t1＋t2＝－
1＋3cos2
，
α
故 2cos α＋sin α＝0，
于是直线 l 的斜率 k＝tan α＝－2.
考点三 极坐标、参数方程的综合应用
[典例] (2018·河北保定一中摸底)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为
x＝－5＋ 2cos t，
(t 为参数)，在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标
y＝3＋ 2sin t
2 π系中，直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ＋ 4 ＝－1. 2
(1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
(2)设直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是圆 C 上任一点，求 A，B 两点的
极坐标和△PAB 面积的最小值．
x＝－5＋ 2cos t，
[解] (1)由 消去参数 t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，所以圆 C 的普通 y＝3＋ 2sin t
方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.
2 π
由 ρcos θ＋ 4 ＝－1，得 ρcos θ－ρsin θ＝－2， 2
所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋2＝0.
(2)直线 l 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A(－2,0)，B(0,2)，
π
则点 A，B 的极坐标分别为(2，π＋2kπ)(k∈Z)， 2， ＋2kπ 2 (k∈Z)．
设点 P 的坐标为(－5＋ 2cos α，3＋ 2sin α)，
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πα＋
|－5＋ 2cos α－ － －6＋2cos3 2sin α＋2| 4
则点 P 到直线 l 的距离 d＝ ＝ ，
2 2
当 cos
π π π
α＋
4 ＝1，即 α＋ ＝2kπ(k∈Z)，α＝－ ＋2kπ(k∈Z)时，点 P 到直线 l 的距离取4 4
4
得最小值，所以 dmin＝ ＝2 2，又|AB|＝2 2，
2
1 1
所以△PAB 面积的最小值 S＝ ×dmin×|AB|＝ ×2 2×2 2＝4. 2 2
[解题技法] 极坐标、参数方程综合问题的解题策略
(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解．
(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．
(3)求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角
坐标方程来研究问题．
[题组训练]
1．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
3
曲线 C 21：ρ －4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线 C2：ρ＝ ，θ∈[0,2π]． π
4sin －θ 6
(1)求曲线 C1的一个参数方程；
(2)若曲线 C1和曲线 C2 相交于 A，B 两点，求|AB|的值．
解：(1)由 ρ2－4ρcos θ＋3＝0，得 x2＋y2－4x＋3＝0，
所以(x－2)2＋y2＝1.
令 x－2＝cos α，y＝sin α，
x＝2＋cos α，
所以 C1 的一个参数方程为 (α为参数)． y＝sin α
π π
(2)因为 C2：4ρ sin cos θ－cos sin θ 6 6 ＝3，
1 3
所以 4 x－ y ＝3，即 2x－2 3y－3＝0，
2 2
因为直线 2x－2 3y－3＝0 与圆(x－2)2＋y2＝1 相交于 A，B 两点，
|4－0－3| 1
所以圆心到直线的距离为 d＝ ＝ ，
22＋(－2 3)2 4
1
所以|AB|＝2 1－ 2
15 15
4 ＝2× ＝ . 4 2
x＝2＋tcos φ，
2 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为
y＝ 3＋tsin φ
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π
t为参数，φ∈
0，
3 ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知
π
圆 C 的圆心 C 的极坐标为 2， 3 ，半径为 2，直线 l 与圆 C 交于 M，N 两点．
(1)求圆 C 的极坐标方程；
(2)当 φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．
解：(1)由已知，得圆心 C 的直角坐标为(1， 3)，圆的半径为 2，
∴圆 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝4，
即 x2＋y2－2x－2 3y＝0，
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcos θ－2 3ρsin θ＝0，
π
故圆 C 的极坐标方程为 ρ＝4cos －θ 3 .
(2)由(1)知，圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2 3y＝0，
将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，
(2＋tcos φ)2＋( 3＋tsin φ)2－2(2＋tcos φ)－2 3( 3＋tsin φ)＝0，
整理得，t2＋2tcos φ－3＝0，
设 M，N 两点对应的参数分别为 t1，t2，
则 t1＋t2＝－2cos φ，t1·t2＝－3，
∴|MN|＝|t1－t2|＝ (t1＋t2)2－4t 21·t2＝ 4cos φ＋12.
π 1
∵φ∈ 0， 3 ，∴cos φ∈
，1
2 ，∴|MN|∈[ 13，4]．
故弦长|MN|的取值范围为[ 13，4]．
[课时跟踪检测]
x＝tcos α， x＝4＋2cos θ，
1．若直线 (t 为参数)与圆 (θ为参数)相切，求直线的倾斜
y＝tsin α y＝2sin θ
角 α.
x＝tcos α，
解：直线 (t 为参数)的普通方程为 y＝xtan α. y＝tsin α
x＝4＋2cos θ，
圆 (θ为参数)的普通方程为(x－4)2＋y2＝4. y＝2sin θ
|4tan α|
由于直线与圆相切，则 ＝2，
1＋tan2α
1 3
即 tan2α＝ ，解得 tan α＝± ，
3 3
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π 5π
由于 α∈[0，π)，故 α＝ 或 .
6 6
x＝－8＋t，
2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 t (t 为参数)，曲 y＝ 2
x＝2s
2，
线 C 的参数方程为 (s 为参数)，设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离 y＝2 2s
的最小值．
解：直线 l 的普通方程为 x－2y＋8＝0.
因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2s2,2 2s)，
|2s2－4 2s＋8| 2(s－ 2)2＋4
从而点 P 到直线 l 的距离 d＝ ＝ ，
12＋(－2)2 5
4 5
当 s＝ 2时，dmin＝ . 5
4 5
因此当点 P 的坐标为(4,4)时，曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离取到最小值 .
5
x＝cos θ，
3．已知 P 为半圆 C： (θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点 A 的坐标为(1,0)，O y＝sin θ
π
为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 .
3
(1)以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标；
(2)求直线 AM 的参数方程．
π
解：(1)由已知，点 M 的极角为 ，
3
π
且点 M 的极径等于 ，
3
π π
故点 M 的极坐标为 ， 3 3 .
π 3π
由 知点 的直角坐标为 (2) (1) M ， ，A(1,0)．
6 6
π
x＝1＋ －1 6 t，
故直线 AM 的参数方程为 (t 为参数)．
3π
y＝ t 6
4．(2019·长春质检)以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
π π
已知点 P 的直角坐标为(1,2)，点 C 的极坐标为 3， 2 ，若直线 l 过点 P，且倾斜角为 ，圆 C6
以点 C 为圆心，3 为半径．
(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程；
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(2)设直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求|PA|·|PB|.
3x＝1＋ t，2
解：(1)由题意得直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为1 y＝2＋ t2
ρ＝6sin θ.
(2)由(1)易知圆 C 的直角坐标方程为 x2＋(y－3)2＝9，
3x＝1＋ t，2
把
1
y＝2＋ t 代入 x2＋(y－3)2＝9，得 t2＋( 3－1)t－7＝0， 2
设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，∴t1t2＝－7，
又|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴|PA|·|PB|＝7.
x＝2cos t，
5．(2018·南昌一模)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
y＝2sin t＋2 (t
为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 C 的极坐标方程；
π 2π
(2)若直线 l1，l2 的极坐标方程分别为 θ1＝ (ρ6 1∈R)，θ2＝ (ρ2∈R)，设直线 l1，l2 与曲3
线 C 的交点分别为 O，M 和 O，N，求△OMN 的面积．
x＝2cos t，
解：(1)由参数方程 得普通方程为 x2＋(y－2)2＝4， y＝2sin t＋2
x＝ρcos θ，
把 代入 x2＋(y－2)2＝4，得 ρ2－4ρsin θ＝0.
y＝ρsin θ
所以曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4sin θ.
π π
(2)由直线 l1：θ1＝ (ρ1∈R)与曲线 C 的交点为 O，M，得|OM|＝4sin ＝2. 6 6
2π 2π
由直线 l2：θ2＝ (ρ2∈R)与曲线 C 的交点为 O，N，得|ON|＝4sin ＝2 3. 3 3
π 1 1
易知∠MON＝ ，所以 S△OMN＝ |OM|×|ON|＝ ×2×2 3＝2 3. 2 2 2
x＝cos θ，
6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为
y＝sin θ (θ 为参
数)，过点(0，－ 2)且倾斜角为 α的直线 l 与⊙O 交于 A，B 两点．
(1)求 α的取值范围；
(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙O 的直角坐标方程为 x2＋y2＝1.
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π
当 α＝ 时，l 与⊙O 交于两点．
2
π
当 α≠ 时，记 tan α＝k，则 l 的方程为 y＝kx－ 2.
2
2
l 与⊙O 交于两点需满足 <1，
1＋k2
解得 k<－1 或 k>1，
π 3π π π即 α∈ ， 2 4 或 α∈
，
4 2 .
π 3π
综上，α的取值范围是 ， 4 4 .
x＝tcos α， π 3π
(2)l 的参数方程为 t为参数， <α< .
y＝－ 2＋tsin α 4 4
设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，
tA＋tB
则 t ＝ ，且 t ，t 满足 t2P A B －2 2tsin α＋1＝0. 2
于是 tA＋tB＝2 2sin α，tP＝ 2sin α.
x＝tPcos α，
又点 P 的坐标(x，y)满足
y＝－ 2＋tPsin α，
2x＝ sin 2α，2 π 3π
所以点 P 的轨迹的参数方程是 α为参数， <α< 2 2 4 4 . y＝－ － cos 2α2 2
x＝t，
7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 (t 为
y＝m＋t
参数，m∈R)，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方
程为 ρ2
3
＝ (0≤θ≤π)．
3－2cos2θ
(1)写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；
(2)已知点 P 是曲线 C2 上一点，若点 P 到曲线 C1的最小距离为 2 2，求 m 的值．
解：(1)由曲线 C1 的参数方程消去参数 t，可得 C1 的普通方程为 x－y＋m＝0.
由曲线 C2 的极坐标方程得 3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]，
x2
∴曲线 C2 的直角坐标方程为 ＋y2＝1(0≤y≤1)． 3
(2)设曲线 C2上任意一点 P 的坐标为( 3cos α，sin α)，α∈[0，π]，
π2cos α＋ ＋m
| 3cos α－sin α＋m| 6
则点 P 到曲线 C1 的距离 d＝ ＝ .
2 2
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π 3∵
π
α∈[0，π]，∴cos α＋ 6 ∈ －1， ，2cos
α＋
6 ∈[－2， 3 ]， 2
当 m＋ 3＜0 时，m＋ 3＝－4，即 m＝－4－ 3.
当 m－2＞0 时，m－2＝4，即 m＝6.
当 m＋ 3≥0，m－2≤0，即－ 3≤m≤2 时，dmin＝0，不合题意，舍去．
综上，m＝－4－ 3或 m＝6.
x＝1＋tcos θ，
8．已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，曲线 C 的参数方程为
y＝tsin θ
x＝ 3cos α，
(α为参数)，且直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点． y＝sin α
π
(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程，并求 θ＝ 时，|AB|的值；
3
(2)已知点 P(1,0)，求当直线 l 的倾斜角 θ变化时，|PA|·|PB|的取值范围．
x2
解：(1)曲线 C 的普通方程为 ＋y2＝1.
3
1
x＝1＋ t
π 2
当 θ＝ 时，直线 l 的参数方程为
3 3
y＝ t (t 为参数)， 2
x2
将 l 的参数方程代入 ＋y2＝1，得 5t2＋2t－4＝0，
3
设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，
2 4
则 t1＋t2＝－ ，t5 1t2＝－ ， 5
2 21
所以|AB|＝|t1－t 22|＝ (t1＋t2) －4t1t2＝ . 5
x＝1＋tcos θ， x2
(2)将直线 l 的参数方程 代入 ＋y2＝1， y＝tsin θ 3
得(1＋2sin2θ)t2＋2tcos θ－2＝0，
－2
设 A，B 对应的参数分别为 t3，t4，则 t3t4＝ ，
1＋2sin2θ
2
则|PA|·|PB|＝－t3t4＝ .
1＋2sin2θ
2
又 0≤sin2θ≤1，所以 ≤|PA|·|PB|≤2，
3
2
所以|PA|·|PB|的取值范围是 ，2 3 .
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