资源简介

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、基础知识
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫
做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.
2．四种命题及其相互关系
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果 p q，则 p 是 q 的充分条件；
①A 是 B 的充分不必要条件是指：A B 且 B A；
②A 的充分不必要条件是 B 是指：B A 且 A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出
现错误．
(2)如果 q p，则 p 是 q 的必要条件；
(3)如果既有 p q，又有 q p，记作 p q，则 p 是 q 的充要条件．
充要关系与集合的子集之间的关系
设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
①若 A B，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．
②若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件．
③若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件．
二、常用结论
1．四种命题中的等价关系
原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命
题进行证明．
2．等价转化法判断充分条件、必要条件
p 是 q 的充分不必要条件，等价于非 q 是非 p 的充分不必要条件．其他情况以此类推．
第 19页/共1004页
考点一 四种命题及其真假判断
[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题：
①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否命题；
④“若 A∩B＝B，则 A B”的逆否命题．
其中真命题是( )
A．①② B．②③
C．④ D．①②③
[解析] ①原命题的逆命题为“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”，是真命题；②原命题的
否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若 m≤1，Δ＝4－4m≥0，所
以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由 A∩B＝B，得 B A，所以原命题是假
命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．
[答案] D
[题组训练]
1．(2019·长春质监)命题“若 x2<1，则－1A．若 x2≥1，则 x≥1 或 x≤－1
B．若－1C．若 x>1 或 x<－1，则 x2>1
D．若 x≥1 或 x≤－1，则 x2≥1
解析：选 D 命题的形式是“若 p，则 q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若
非 q，则非 p”的形式，所以“若 x2<1，则－1x2≥1”．
1 k
2．已知集合 P＝ x x＝k＋ ，k∈Z ，Q＝ x x＝ ，k∈Z 2 2 ，记原命题：“x∈P，则
x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
1 解 析 ： 选 因 为 ＝ x＝k＋ ，k∈Z ＝ 2k＋1

C P x x x＝ ，k∈Z ， Q ＝
2 2
k x x＝ ，k∈Z ，
2
所以 P Q，所以原命题“x∈P，则 x∈Q”为真命题，
第 20页/共1004页
则原命题的逆否命题为真命题．
原命题的逆命题“x∈Q，则 x∈P”为假命题，
则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为 2.
考点二 充分、必要条件的判断
[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若 a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d
依次成等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1 1
(2)(2018·天津高考)设 x∈R，则“ x－ ＜ ”是“x3 2 ＜1”的( ) 2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)已知 p：x＋y≠－2，q：x，y 不都是－1，则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)定义法
当 a＝－1，b＝0，c＝3，d＝4 时，a＋d＝b＋c，但此时 a，b，c，d 不成等差数列；而
当 a，b，c，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知 a＋d＝b＋c.所以“a＋d＝b＋c”是
“a，b，c，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选 B.
(2)集合法
1由 x－
1 1 1
2 ＜ ，得 0＜x＜1，则 0＜x
3＜1，即“ x－ 2 ＜ ” “x
3＜1”；
2 2
由 x3＜1，得 x＜1，
1 1
当 x≤0 时， x－ 2 ≥ ， 2
1
即“x3
1
＜1” “ x－ 2 ＜ ”． 2
1 1
所以“ x－ 3 2 ＜ ”是“x ＜1”的充分而不必要条件． 2
(3)等价转化法
因为 p：x＋y≠－2，q：x≠－1 或 y≠－1，
所以非 p：x＋y＝－2，非 q：x＝－1 且 y＝－1，
第 21页/共1004页
因为非 q 非 p 但非 p 非 q，所以非 q 是非 p 的充分不必要条件，即 p 是 q 的充分不
必要条件．
[答案] (1)B (2)A (3)A
[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是 B 的充分不必
要条件”与“A 的充分不必要条件是 B”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是 q”
的含义．
[题组训练]
1.[集合法]已知 x∈R，则“x<1”是“x2<1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B 若 x2<1，则－1分条件．
2.[定义法](2018·南昌调研)已知 m，n 为两个非零向量，则“m·n<0”是“m 与 n 的夹角
为钝角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
π
解析：选 B 设 m，n 的夹角为 θ，若 m，n 的夹角为钝角，则 <θ<π，则 cos θ<0，则 m·n<0
2
成立；当 θ＝π 时，m·n＝－|m|·|n|<0 成立，但 m，n 的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m 与
n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．
3.[等价转化法]“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A 设 p：xy≠1，q：x≠1 或 y≠1，
则非 p：xy＝1，非 q：x＝1 且 y＝1.
可知非 q 非 p，非 p 非 q，即非 q 是非 p 的充分不必要条件．
故 p 是 q 的充分不必要条件，
即“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的充分不必要条件．
考点三 根据充分、必要条件求参数的范围
[典例] 已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x
第 22页/共1004页
∈S 的必要条件，则 m 的取值范围是________．
[解析] 由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以 P＝{x|－2≤x≤10}，
由 x∈P 是 x∈S 的必要条件，知 S P.
1－m≤1＋m，

则 1－m≥－2， 所以 0≤m≤3. 1＋m≤10，
所以当 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件，即所求 m 的取值范围是[0,3]．
[答案] [0,3]
[变透练清]
1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条件．
解：若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S，
所以{1－m＝－2， 1＋m＝10， 解得{m＝3， m＝9，
即不存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条件．
2.(变条件)若本例将条件“若 x∈P 是 x∈S 的必要条件”变为“若非 P 是非 S 的必要不
充分条件”，其他条件不变，求实数 m 的取值范围．
解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}，
∵非 P 是非 S 的必要不充分条件，
∴S 是 P 的必要不充分条件，∴P S 且 S P.
∴[－2,10] [1－m,1＋m]．
1－m≤－2， 1－m<－2，
∴ 或
1＋m>10 1＋m≥10.
∴m≥9，即 m 的取值范围是[9，＋∞)．
[课时跟踪检测]
1．已知命题 p：“正数 a 的平方不等于 0”，命题 q：“若 a 不是正数，则它的平方等
于 0”，则 q 是 p 的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
解析：选 B 命题 p：“正数 a 的平方不等于 0”可写成“若 a 是正数，则它的平方不
等于 0”，从而 q 是 p 的否命题．
第 23页/共1004页
2．命题“若 x2＋3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若 x＝4，则 x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若 x≠4，则 x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若 x≠4，则 x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若 x＝4，则 x2＋3x－4＝0”为假命题
解析：选 C 根据逆否命题的定义可以排除 A、D，因为 x2＋3x－4＝0，所以 x＝－4
或 1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．
3．原命题为“若 z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命
题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析：选 B 当 z1，z2 互为共轭复数时，设 z1＝a＋bi(a，b∈R)，则 z2＝a－bi，则|z1|
＝|z2|＝ a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取 z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但
是 z1，z2 不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．
4．(2018·北京高考)设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比
数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B a，b，c，d 是非零实数，若 a<0，d<0，b>0，c>0，且 ad＝bc，则 a，b，
c，d 不成等比数列(可以假设 a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若 a，b，c，d 成等比数列，
则由等比数列的性质可知 ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要而不
充分条件．
5．已知命题 α：如果 x<3，那么 x<5；命题 β：如果 x≥3，那么 x≥5；命题 γ：如果 x≥5，
那么 x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )
①命题 α是命题 β的否命题，且命题 γ是命题 β的逆命题；
②命题 α是命题 β的逆命题，且命题 γ是命题 β的否命题；
③命题 β是命题 α的否命题，且命题 γ是命题 α的逆否命题．
A．①③ B．②
C．②③ D．①②③
解析：选 A 本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命
题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后
互换所得，故①正确，②错误，③正确．
6．(2018·北京高考)设 a，b 均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
第 24页/共1004页
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 C 由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，
即 a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.
因为 a，b 均为单位向量，所以 a2＝b2＝1，
所以 a·b＝0，能推出 a⊥b.
由 a⊥b 得|a－3b|＝ 10，|3a＋b|＝ 10，
能推出|a－3b|＝|3a＋b|，
所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．
7．如果 x，y 是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 C 设集合 A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则 A 的补集 C＝{(x，
y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos
y”的必要不充分条件．
8．(2019·湘东五校联考)“不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件
是( )
1
A．m> B．04
C．m>0 D．m>1
1
解析：选 C 若不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立，则 Δ＝(－1)2－4m<0，解得 m> ，
4
因此当不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立时，必有 m>0，但当 m>0 时，不一定推出不等式在
R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是 m>0.
9．在△ABC 中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．
解析：由 A＝B，得 tan A＝tan B，反之，若 tan A＝tan B，则 A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A
＜π，0答案：充要
10．在命题“若 m＞－n，则 m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数
是________．
解析：若 m＝2，n＝3，则 2>－3，但 22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假
命题，若 m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也
是假命题．故假命题的个数为 3.
答案：3
11．已知 p(x)：x2＋2x－m>0，若 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围
为________．
第 25页/共1004页
解析：因为 p(1)是假命题，所以 1＋2－m≤0，解得 m≥3.
又 p(2)是真命题，所以 4＋4－m>0，解得 m<8.
故实数 m 的取值范围为[3,8)．
答案：[3,8)
12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：
π
①“若 x＋y＝ ，则 sin x＝cos y”的逆命题是假命题；
2
②“在△ABC 中，sin B>sin C 是 B>C 的充要条件”是真命题；
③“a＝1”是“直线 x－ay＝0 与直线 x＋ay＝0 互相垂直”的充要条件；
④命题“若 x<－1，则 x2－2x－3>0”的否命题为“若 x≥－1，则 x2－2x－3≤0”．
以上说法正确的是________(填序号)．
π
解析：对于①，“若 x＋y＝ ，则 sin x＝cos y”的逆命题是“若 sin x＝cos y，则 x＋y
2
π 3π 3π
＝ ”，当 x＝0，y＝ 时，有 sin x＝cos y 成立，但 x＋y＝ ，故逆命题为假命题，①正确；
2 2 2
对于②，在△ABC 中，由正弦定理得 sin B>sin C b>c B>C，②正确；对于③，“a＝±1”
是“直线 x－ay＝0 与直线 x＋ay＝0 互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命
题的定义知④正确．
答案：①②④
13．写出命题“已知 a，b∈R，若关于 x 的不等式 x2＋ax＋b≤0 有非空解集，则 a2≥4b”
的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：已知 a，b∈R，若 a2≥4b，则关于 x 的不等式 x2＋ax＋b≤0 有非空解
集，为真命题．
(2)否命题：已知 a，b∈R，若关于 x 的不等式 x2＋ax＋b≤0 没有非空解集，则 a2<4b，
为真命题．
(3)逆否命题：已知 a，b∈R，若 a2<4b，则关于 x 的不等式 x2＋ax＋b≤0 没有非空解集，
为真命题．
第 26页/共1004页

展开更多......

收起↑