【备战高考】数学核心考点与题型分类梳理选修4-5 不等式选讲第1节绝对值不等式（pdf版）

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选修 4－5 不等式选讲
第一节绝对值不等式
一、基础知识
1．绝对值三角不等式
定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立．
定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，
等号成立． ↓
|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且 ab≥0 时，左边等号成立，当且仅当 ab≤0 时，
右边等号成立.
2．绝对值不等式的解法
(1)|x|a 型不等式的解法
不等式 a>0 a＝0 a<0
|x||x|>a {x|x>a 或 x<－a} {x|x∈R 且 x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c.
|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法及体现数学思想
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
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考点一绝对值不等式的解法
[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出 y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1 的解集．
x－4，x≤－1，

3
3x－2，－1[解] (1)由题意得 f(x)＝ 2
3 －x＋4，x> ， 2
故 y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知，
当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3；
1
当 f(x)＝－1 时，可得 x＝或 x＝5.
3
故 f(x)>1 的解集为{x|1 1
f(x)<－1 的解集为 x x< 或x>5 .
3

所以|f(x)|>1 的解集为 x
1
x< 或15 .
3
[题组训练]
1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.
解：当 x<－1 时，
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原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，
解得 x≥－1，又因为 x<－1，故无解；
当－1≤x≤1 时，
原不等式可化为 x＋1＋1－x＝2≤2，恒成立；
当 x>1 时，
原不等式可化为 x＋1＋x－1≤2，
解得 x≤1，又因为 x>1，故无解；
综上，不等式|x＋1|＋|x－1|≤2 的解集为[－1,1]．
2．(2019·沈阳质检)已知函数 f(x)＝|x－a|＋3x，其中 a∈R.
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；
(2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤－1}，求 a 的值．
解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝|x－1|＋3x.
法一：由 f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，
当 x>1 时，x－1－(2x＋1)≥0，得 x≤－2，无解；
1 1
当－ ≤x≤1 时，1－x－(2x＋1)≥0，得－ ≤x≤0；
2 2
1 1
当 x<－时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x<－ .
2 2
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．
法二：由 f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|≥|2x＋1|，
两边平方，化简整理得 x2＋2x≤0，
解得－2≤x≤0，
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．
x≥a， x(2)由|x－a|＋3x≤0，可得
4x－a≤0

或
2x＋a≤0，
x≥a， x
当 a>0 时，不等式的解集为 x
a
x≤－
2 .
a
由－＝－1，得 a＝2.
2
当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．
a
当 a<0 时，不等式的解集为 x x≤ .
4
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a
由＝－1，得 a＝－4.
4
综上，a＝2 或 a＝－4.
考点二绝对值不等式性质的应用
[典例] (2019·湖北五校联考)已知函数 f(x)＝|2x－1|，x∈R.
(1)解不等式 f(x)<|x|＋1；
1 1
(2)若对 x，y∈R，有|x－y－1|≤ ，|2y＋1|≤ ，求证：f(x)<1.
3 6
[解] (1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1，
1 1
x≥ ， 0即 2

或 2 或
1－2x<－x＋1，
2x－11 1
得 ≤x<2 或 02 2
故不等式 f(x)<|x|＋1 的解集为{x|0(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋
1 1 5
1|≤2× ＋＝ <1.
3 6 6
故不等式 f(x)＜1 得证．
[解题技法] 绝对值不等式性质的应用
利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通过确定适当的
a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．
[题组训练]
1．求函数 f(x)＝|x＋2 019|－|x－2 018|的最大值．
解：因为 f(x)＝|x＋2 019|－|x－2 018|≤|x＋2 019－x＋2 018|＝4 037，
所以函数 f(x)＝|x＋2 019|－|x－2 018|的最大值为 4 037.
1 1 5
2．若 x∈[－1,1]，|y|≤ ，|z|≤ ，求证：|x＋2y－3z|≤ .
6 9 3
1 1
证明：因为 x∈[－1,1]，|y|≤ ，|z|≤ ，
6 9
1 1 5
所以|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z|≤1＋2× ＋3× ＝，
6 9 3
5
所以|x＋2y－3z|≤ 成立．
3
考点三绝对值不等式的综合应用
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[典例] (2018·合肥质检)已知函数 f(x)＝|2x－1|.
(1)解关于 x 的不等式 f(x)－f(x＋1)≤1；
(2)若关于 x 的不等式 f(x)[解] (1)f(x)－f(x＋1)≤1 |2x－1|－|2x＋1|≤1，
1 1 1 1 x≥ ，－ x≤－，
则 2 或 2 2 或 2
2x－1－2x－1≤1 1－2x－2x－1≤1 1－2x＋2x＋1≤1，
1 1 1 1
解得 x≥ 或－ ≤x< ，即 x≥－，
2 4 2 4
1
所以原不等式的解集为－，＋∞ 4 .
(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|则 m>(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．
由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，当且仅当(1－2x)(2x＋
1 1
1)≥0，即 x∈ －， 2 2 时等号成立，故 m>2.所以 m 的取值范围是(2，＋∞)．
[解题技法] 两招解不等式问题中的含参问题
(1)转化
①把存在性问题转化为求最值问题；
②不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题；
③不等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，
即 f(x)＜a 恒成立 a＞f(x)max，f(x)＞a 恒成立 a＜f(x)min.
(2)求最值
求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：
①利用绝对值的几何意义；
②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；
③利用零点分区间法．
[题组训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集；
(2)若 f(x)≤1，求 a 的取值范围．
2x＋4，x<－1，

解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝ 2，－1≤x≤2，
－2x＋6， x>2.
当 x<－1 时，由 2x＋4≥0，解得－2≤x<－1，
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当－1≤x≤2 时，显然满足题意，
当 x>2 时，由－2x＋6≥0，解得 2故 f(x)≥0 的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1 等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当 x＝2 时等号成立．
故 f(x)≤1 等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4 可得 a≤－6 或 a≥2.
所以 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数 f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|(m∈R)，若关于 x 的不等式
3
f(x)≤|2x＋1|的解集为 A，且，2 4 A，求实数 m 的取值范围．
3
解：∵ ，2 4 A，
3
∴当 x∈ ，2 4 时，不等式 f(x)≤|2x＋1|恒成立，
3
即|x＋m|＋|2x－1|≤|2x＋1|在 x∈ ，2 4 上恒成立，
∴|x＋m|＋2x－1≤2x＋1，
3
即|x＋m|≤2 在 x∈ ，2 4 上恒成立，
∴－2≤x＋m≤2，
3
∴－x－2≤m≤－x＋2 在 x∈ ，2 4 上恒成立，
∴(－x－2)max≤m≤(－x＋2)min，
11 11
∴－ ≤m≤0，故实数 m 的取值范围是－，0
4 4 .
[课时跟踪检测]
1．求不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6 的解集．
1 1 1 x<－，－ ≤x≤ ，解：原不等式可化为 2 或 2 2 1－2x－2x－1≤6 1－2x＋2x＋1≤6
1
x> ，
或 2
2x－1＋2x＋1≤6.
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3 3
解得－ ≤x≤ ，
2 2
3 3
即原不等式的解集为 x － ≤x≤ .
2 2
2．已知函数 f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为 a.
(1)求实数 a 的值；
(2)解不等式 f(x)≤5.
解：(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，
从而解得 a＝2.
－2x＋6，x≤2，

(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝ 2，2＜x≤4，
2x－ 6，x＞4.
1
故当 x≤2 时，由－2x＋6≤5，得 ≤x≤2；
2
当 211
当 x>4 时，由 2x－6≤5，得 42
1 11
故不等式 f(x)≤5 的解集为 x ≤x≤
2 2 .
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知 f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集；
(2)若 x∈(0,1)时不等式 f(x)>x 成立，求 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
－2，x≤－1，

即 f(x)＝ 2x，－1 2，x≥1.
1 故不等式 f(x)>1 的解集为 x x>
2 .
(2)当 x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x 成立等价于当 x∈(0,1)时|ax－1|<1 成立．
若 a≤0，则当 x∈(0,1)时，|ax－1|≥1；
2
若 a>0，则|ax－1|<1 的解集为 x 0 a ，
2
所以 ≥1，故 0a
综上，a 的取值范围为(0,2]．
4．设函数 f(x)＝|3x－1|＋ax＋3.
(1)若 a＝1，解不等式 f(x)≤4；
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(2)若 f(x)有最小值，求实数 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝|3x－1|＋x＋3≤4，
即|3x－1|≤1－x，
1
x－1≤3x－1≤1－x，解得 0≤x≤ ，
2
1
所以 f(x)≤4 的解集为 0， 2 .
1
(3＋a)x＋2，x≥ ，3
(2)因为 f(x)＝ 1
(a－3)x＋4，x< ， 3
a＋3≥0，
所以 f(x)有最小值的充要条件为解得－3≤a≤3，
a－3≤0，
即实数 a 的取值范围是[－3,3]．
5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数 f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
(1)解不等式 f(x)>－x；
(2)若关于 x 的不等式 f(x)≤a2－2a 的解集为 R，求实数 a 的取值范围．
解：(1)原不等式等价于 f(x)＋x＞0，不等式 f(x)＋x>0 可化为|x－2|＋x>|x＋1|，
当 x<－1 时，－(x－2)＋x>－(x＋1)，解得 x>－3，即－3当－1≤x≤2 时，－(x－2)＋x>x＋1，解得 x<1，即－1≤x<1；
当 x>2 时，x－2＋x>x＋1，解得 x>3，即 x>3，
综上所述，不等式 f(x)＋x>0 的解集为{x|－33}．
(2)由不等式 f(x)≤a2－2a 可得|x－2|－|x＋1|≤a2－2a，
∵|x－2|－|x＋1|≤|x－2－x－1|＝3，当且仅当 x∈(－∞，－1]时等号成立，
∴a2－2a≥3，即 a2－2a－3≥0，解得 a≤－1 或 a≥3.
∴实数 a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
6．已知函数 f(x)＝|x－a|＋|x＋1|.
(1)若 a＝2，求不等式 f(x)＞x＋2 的解集；
(2)如果关于 x 的不等式 f(x)＜2 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围．
－2x＋1，x＜－1，

解：(1)当 a＝2 时，f(x)＝ 3，－1≤x＜2， 2x－1，x≥2，
x＜－1，
－1≤x＜2， x≥2，
不等式 f(x)＞x＋2 等价于或
－2x＋1＞x＋2 3＞x＋2

或，
2x－1＞x＋2
解得 x＜1 或 x＞3，
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故原不等式的解集为{x|x＜1 或 x＞3}．
(2)∵f(x)＝|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|＝|a＋1|，当(x－a)(x＋1)≤0 时取等号．
∴若关于 x 的不等式 f(x)＜2 的解集不是空集，只需|a＋1|＜2，
解得－3＜a＜1，即实数 a 的取值范围是(－3,1)．
7．已知函数 f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集；
(2)设函数 g(x)＝|2x－1|.当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3，求 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝2 时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.
因此 f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当 x∈R 时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，
a
即 x－
1 3－a
－x
2 ＋ 2 ≥ . 2
a 1
又 x－－x
1 a
－
2 ＋ 2 min＝ 2 2 ，
1 a 3－a
所以－ 2 2 ≥ ，解得 a≥2. 2
所以 a 的取值范围是[2，＋∞)．
8．(2018·福州质检)设函数 f(x)＝|x－1|，x∈R.
(1)求不等式 f(x)≤3－f(x－1)的解集；
3
(2)已知关于 x 的不等式 f(x)≤f(x＋1)－|x－a|的解集为 M，若 1， 2 M，求实数 a 的取
值范围．
解：(1)因为 f(x)≤3－f(x－1)，
x<1， 1≤x≤2，
所以|x－1|≤3－|x－2| |x－1|＋|x－2|≤3 或或 3－2x≤3 1≤3
x>2，

2x－3≤3，
解得 0≤x<1 或 1≤x≤2 或 2所以 0≤x≤3，
故不等式 f(x)≤3－f(x－1)的解集为[0,3]．
3
(2)因为 1， 2 M，
3所以当 x∈ 1， 2 时，f(x)≤f(x＋1)－|x－a|恒成立，
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而 f(x)≤f(x＋1)－|x－a| |x－1|－|x|＋|x－a|≤0 |x－a|≤|x|－|x－1|，
因为 x∈
3
1，
2 ，所以|x－a|≤1，即 x－1≤a≤x＋1，
3
由题意，知 x－1≤a≤x＋1 对于任意的 x∈ 1， 2 恒成立，
1 1
所以 ≤a≤2，故实数 a 的取值范围为，2 2 . 2
第 995页/共1004页

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