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第二节 不等式的证明
一、基础知识
1．基本不等式
(1)定理 1：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
a＋b
(2)定理 2：如果 a，b＞0，那么 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立，即两个正数
2
的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
a＋b＋c 3
(3)定理 3：如果 a，b，c∈R＋，那么 ≥ abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立． 3
2．比较法
(1)作差法的依据是：a－b＞0 a＞b.
A
(2)作商法：若 B＞0，欲证 A≥B，只需证 ≥1.
B
3．综合法与分析法
(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列
的推理、论证而得出命题成立．
(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知
条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成
立．
考点一 比较法证明不等式
1 1
[典例] 已知函数 f(x)＝ x－ 2 ＋
x＋
2 ，M 为不等式 f(x)＜2 的解集．
(1)求 M；
(2)证明：当 a，b∈M 时，|a＋b|＜|1＋ab|.
1
－2x，x≤－ ，2
1 1
[解] (1)f(x)＝ 1，－ ＜x＜ ，2 2
1 2x，x≥ .2
1
当 x≤－ 时，由 f(x)＜2，
2
得－2x＜2，解得 x＞－1；
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1 1
当－ ＜x＜ 时，f(x)＜2 恒成立；
2 2
1
当 x≥ 时，由 f(x)＜2，得 2x＜2，解得 x＜1.
2
所以 f(x)＜2 的解集 M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知，当 a，b∈M 时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，
从而(a＋b)2－(1＋ab)2
＝a2＋b2－a2b2－1
＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.
[题组训练]
1．当 p，q 都是正数且 p＋q＝1 时，求证：(px＋qy)2≤px2＋qy2.
解：(px＋qy)2－(px2＋qy2)
＝p2x2＋q2y2＋2pqxy－(px2＋qy2)
＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.
因为 p＋q＝1，所以 p－1＝－q，q－1＝－p.
所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)
＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.
因为 p，q 为正数，所以－pq(x－y)2≤0，
所以(px＋qy)2≤px2＋qy2.当且仅当 x＝y 时，不等式中等号成立．
a+b
2．求证：当 a>0，b>0 时，aabb≥(ab) 2 .
a b a-ba b a
证明：∵ 2a+b ＝ b ，
(ab) 2
a-b
a
∴当 a＝b 时， 2 b ＝1，
a-b
a a－b a
当 a>b>0 时， >1， >0，∴ 2
b 2 b >1，
a-b
a a－b
当 b>a>0 时，0< <1， <0，∴
a 2 >1，
b 2 b
a+b
∴aabb≥(ab) 2 .
考点二 综合法证明不等式
[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知 a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
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(2)a＋b≤2.
[证明] (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)∵(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
3(a＋b)2
＝2＋3ab(a＋b)≤2＋ (a＋b)
4
3(a＋b)3
＝2＋ ，
4
∴(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
[解题技法] 综合法证明不等式的方法
(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与
联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；
(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性
质时，要注意性质成立的前提条件．
[题组训练]
1．设 a，b，c，d 均为正数，若 a＋b＝c＋d，且 ab>cd，求证： a＋ b> c＋ d.
证明：因为( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab，( c＋ d)2＝c＋d＋2 cd.
由题设 a＋b＝c＋d，ab>cd 得( a＋ b)2>( c＋ d)2.
因此 a＋ b> c＋ d.
2．(2018·湖北八校联考)已知不等式|x|＋|x－3|(1)求 m，n 的值；
(2)若 x>0，y>0，nx＋y＋m＝0，求证：x＋y≥16xy.
解：(1)由|x|＋|x－3| x≥3， 0得 或 或
x＋x－3解得－1(2)证明：由(1)知 9x＋y＝1，又 x>0，y>0，
∴
1 1
＋
y 9x y 9x
x y (9x＋y)＝10＋ ＋ ≥10＋2 × ＝16， x y x y
y 9x 1 1
当且仅当 ＝ ，即 x＝ ，y＝ 时取等号，
x y 12 4
1 1
∴ ＋ ≥16，即 x＋y≥16xy.
x y
考点三 分析法证明不等式
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[典例] (2019·长春质检)设不等式||x＋1|－|x－1||<2 的解集为 A.
(1)求集合 A；
1－abc
(2)若 a，b，c∈A，求证： －
>1.
ab c
2，x≥1，

[解] (1)由已知，令 f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝ 2x，－1 － ， ≤－ ， 2 x 1
由|f(x)|<2，得－1 1－abc
(2)证明：要证 －
>1，只需证|1－abc|>|ab－c|，
ab c
即证 1＋a2b2c2>a2b2＋c2，即证 1－a2b2>c2(1－a2b2)，
即证(1－a2b2)(1－c2)>0，
由 a，b，c∈A，得－10 恒成立．
1－abc
综上， >1.
ab－c
[解题技法] 分析法证明不等式应注意的问题
(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．
(2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已
知(或已证)的不等式．
(3)注意恰当地用好反推符号“ ”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．
[题组训练]
1．已知 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，求证： b2－ac< 3a.
证明：由 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，
知 a>0，c<0.
要证 b2－ac< 3a，
只需证 b2－ac<3a2.
∵a＋b＋c＝0，∴只需证 b2＋a(a＋b)<3a2，
即证 2a2－ab－b2>0，
即证(a－b)(2a＋b)>0，
即证(a－b)(a－c)>0.
∵a>b>c，∴a－b>0，a－c>0，
∴(a－b)(a－c)>0 显然成立，
故原不等式成立．
2．已知函数 f(x)＝|x＋1|.
(1)求不等式 f(x)＜|2x＋1|－1 的解集 M；
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(2)设 a，b∈M，求证：f(ab)＞f(a)－f(－b)．
解：(1)由题意，|x＋1|<|2x＋1|－1，
①当 x≤－1 时，
不等式可化为－x－1＜－2x－2，
解得 x＜－1；
1
②当－1＜x＜－ 时，
2
不等式可化为 x＋1＜－2x－2，
此时不等式无解；
1
③当 x≥－ 时，
2
不等式可化为 x＋1＜2x，解得 x＞1.
综上，M＝{x|x＜－1 或 x＞1}．
(2)证明：因为 f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，
所以要证 f(ab)＞f(a)－f(－b)，
只需证|ab＋1|＞|a＋b|，
即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，
即证 a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，
即证 a2b2－a2－b2＋1＞0，
即证(a2－1)(b2－1)＞0.
因为 a，b∈M，所以 a2＞1，b2＞1，
所以(a2－1)(b2－1)＞0 成立，所以原不等式成立．
[课时跟踪检测]
1．已知△ABC 的三边 a，b，c 的倒数成等差数列，试用分析法证明：∠B 为锐角．
证明：要证∠B 为锐角，只需证 cos B>0，
所以只需证 a2＋c2－b2>0，
即 a2＋c2>b2，因为 a2＋c2≥2ac，
所以只需证 2ac>b2，
由已知得 2ac＝b(a＋c)．
所以只需证 b(a＋c)>b2，即 a＋c>b，显然成立．
所以∠B 为锐角．
1 1
2．若 a>0，b>0，且 ＋ ＝ ab.
a b
(1)求 a3＋b3的最小值；
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(2)是否存在 a，b，使得 2a＋3b＝6？并说明理由．
1 1 2
解：(1)由 ab＝ ＋ ≥ ，
a b ab
得 ab≥2，仅当 a＝b＝ 2时等号成立．
故 a3＋b3≥2 a3b3≥4 2，仅当 a＝b＝ 2时等号成立．
所以 a3＋b3的最小值为 4 2.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2 6 ab≥4 3.
由于 4 3>6，从而不存在 a，b，使得 2a＋3b＝6.
3．(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x＋1|＋|x＋3|<4；
(2)若 a，b 满足(1)中不等式，求证：2|a－b|<|ab＋2a＋2b|.
解：(1)当 x<－3 时，|x＋1|＋|x＋3|＝－x－1－x－3＝－2x－4<4，解得 x>－4，所以
－4当－3≤x<－1 时，|x＋1|＋|x＋3|＝－x－1＋x＋3＝2<4 恒成立，
所以－3≤x<－1；
当 x≥－1 时，|x＋1|＋|x＋3|＝x＋1＋x＋3＝2x＋4<4，解得 x<0，所以－1≤x<0.
综上，不等式|x＋1|＋|x＋3|<4 的解集为{x|－4(2)证明：因为 4(a－b)2－(ab＋2a＋2b)2
＝－(a2b2＋4a2b＋4ab2＋16ab)
＝－ab(b＋4)(a＋4)<0，
所以 4(a－b)2<(ab＋2a＋2b)2，
所以 2|a－b|<|ab＋2a＋2b|.
4．(2018·武昌调研)设函数 f(x)＝|x－2|＋2x－3，记 f(x)≤－1 的解集为 M.
(1)求 M；
(2)当 x∈M 时，求证：x[f(x)]2－x2f(x)≤0.
x－1，x≤2，
解：(1)由已知，得 f(x)＝
3x－5，x>2.
当 x≤2 时，由 f(x)＝x－1≤－1，
解得 x≤0，此时 x≤0；
当 x>2 时，由 f(x)＝3x－5≤－1，
4
解得 x≤ ，显然不成立．
3
故 f(x)≤－1 的解集为 M＝{x|x≤0}．
(2)证明：当 x∈M 时，f(x)＝x－1，
1 1
于是 x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x＝－ x－ 2 2 ＋ . 4
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令 g(x)＝－
1 1
x－ 2
2 ＋ ， 4
则函数 g(x)在(－∞，0]上是增函数，
∴g(x)≤g(0)＝0.
故 x[f(x)]2－x2f(x)≤0.
5．(2019·西安质检)已知函数 f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.
(1)解不等式 f(x)≤3；
3
(2)记函数 g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为 M，若 t∈M，求证：t2＋1≥ ＋3t.
t
－3x，x≤－1，

1
2－x，－1解：(1)依题意，得 f(x)＝ 2
1 3x，x≥ ， 2
1 1
x≤－1， －1∴f(x)≤3 或 2
－3x≤3 2－x≤3
x≥ ，
或 2
3x≤3，
解得－1≤x≤1，
即不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤1}．
(2)证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3，
1
当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0，即－1≤x≤ 时取等号，
2
∴M＝[3，＋∞)．
3 t3－3t2＋t－3 (t－3)(t2＋1)
t2＋1－3t－ ＝ ＝ ，
t t t
∵t∈M，∴t－3≥0，t2＋1>0，
(t－3)(t2＋1)
∴ ≥0，
t
2 3∴t ＋1≥ ＋3t.
t
6．(2019·长春质检)已知函数 f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|.
(1)求 f(x)<2 的解集；
1
(2)若 f(x)的最小值为 T，正数 a，b 满足 a＋b＝ ，求证： a＋ b≤T.
2
3
－5x＋9，x< ，
2
解：(1)f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|＝ 3 －x＋3， ≤x≤2，
2
5x－9，x>2.
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作出函数 f(x)的图象如图所示．
7 11
由图象可知，f(x)<2 的解集为 ， 5 5 .
(2)证明：由图象可知 f(x)的最小值为 1，
a＋ b a＋b 1 1
由基本不等式可知 ≤ ＝ ＝ ，
2 2 4 2
当且仅当 a＝b 时，“＝”成立，即 a＋ b≤1＝T.
3
7．已知函数 f(x)＝|2x－1|－ x＋ 2 .
(1)求不等式 f(x)<0 的解集 M；
(2)当 a，b∈M 时，求证：3|a＋b|<|ab＋9|.
5 3
－x，x<－ ，2 2
1 3 1
解：(1)f(x)＝ －3x－ ，－ ≤x≤ ，2 2 2 5 1x－ ，x> .2 2
3 5
当 x<－ 时，f(x)<0，即 －x<0，无解；
2 2
3 1 1 1 1
当－ ≤x≤ 时，f(x)<0，即－3x－ <0，得－ 2 2 2 6 2
1 5 1 5
当 x> 时，f(x)<0，即 x－ <0，得 2 2 2 2
1 5
综上，M＝ x － (2)证明：要证 3|a＋b|<|ab＋9|，
只需证 9(a2＋b2＋2ab)即证 a2b2－9a2－9b2＋81＞0，
即证(a2－9)(b2－9)＞0.
1 5 1 5
因为 a，b∈M，所以－ 6 2 6 2
所以 a2－9<0，b2－9<0，
所以(a2－9)(b2－9)>0，
所以 3|a＋b|<|ab＋9|.
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8．已知函数 f(x)＝m－|x＋4|(m>0)，且 f(x－2)≥0 的解集为[－3，－1]．
(1)求 m 的值；
1 1 1
(2)若 a，b，c 都是正实数，且 ＋ ＋ ＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
a 2b 3c
解：(1)法一：依题意知 f(x－2)＝m－|x＋2|≥0，
即|x＋2|≤m －m－2≤x≤－2＋m.
－m－2＝－3，
由题意知不等式的解集为[－3，－1]，所以
－2＋m＝－1，
解得 m＝1.
法二：因为不等式 f(x－2)≥0 的解集为[－3，－1]，
所以－3，－1 为方程 f(x－2)＝0 的两根，即－3，－1 为方程 m－|x＋2|＝0 的两根，
m－|－3＋2|＝0，
所以 解得 m＝1.
m－|－1＋2|＝0，
1 1 1
(2)证明：由(1)可知 ＋ ＋ ＝1(a，b，c>0)，
a 2b 3c
1 1 1 a 2b a 3c 2b 3c
所以 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) ＋ ＋ ＝3＋ ＋ ＋ ＋ a 2b 3c 2b a ＋ 3c a ＋ 3c 2b ≥9，当
3
且仅当 a＝2b＝3c，即 a＝3，b＝ ，c＝1 时取等号．
2
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