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第二节 空间几何体的表面积与体积
一、基础知识
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r＋r′)l
①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.
②圆台、圆柱、圆锥的转化
当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆
锥，由此可得：
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝Sh
1
锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V＝ Sh
3
1
台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝ (S 上＋S 下＋ S上S下)h 3
4
球 S＝4πR2 V＝ πR3
3
二、常用结论
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，
①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a；
②若球为正方体的内切球，则 2R＝a；
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③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝
a2＋b2＋c2.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
考点一 空间几何体的表面积
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2
的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12 2π B．12π
C．8 2π D．10π
(2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )
A．4＋4 2 B．4 2＋2
8
C．8＋4 2 D.
3
[解析] (1)设圆柱的轴截面的边长为 x，
则 x2＝8，得 x＝2 2，
∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×( 2)2＋2π× 2×2 2
＝12π.故选 B.
(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥 P-ABCD，如
图所示，其中 PA⊥底面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，且 PA＝2，AB
＝2，PB＝2 2，所以该四棱锥的侧面积 S 是四个直角三角形的面积和，
1 1
即 S＝2× ×2×2＋ ×2×2 2 2 2 ＝4＋4 2，故选 A.
[答案] (1)B (2)A
[题组训练]
1．(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )
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A．28 B．24＋2 5
C．20＋4 5 D．20＋2 5
解析：选 B 如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为
2,2,3 的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱 ABIE-DCMH，则该几何体的
1表面积 S＝(2×2)×5＋ ×1×2 2 ×2＋2×1＋2× 5＝24＋2 5.故选
B.
2．(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
( )
A．20＋ 2π B．24＋( 2－1)π
C．24＋(2－ 2)π D．20＋( 2＋1)π
解析：选 B 由三视图知，该几何体是由一个棱长为 2 的正方体挖去一个底面半径为 1、
高为 1 的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积 S＝6×22－π×12＋π×1× 2＝24＋
( 2－1)π，故选 B.
考点二 空间几何体的体积
[典例] (1)(2019·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，
则该几何体的体积为( )
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A．4π B．2π
4π
C. D．π
3
(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1-BB1D1D
的体积为________．
[解析]
(1)直接法
由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形
3 π 1 π 2π
的圆心角为 α，由 tan α＝ ＝ 3，得 α＝ ，故底面面积为 × ×22＝ ，则该
1 3 2 3 3
2π
几何体的体积为 ×3＝2π.
3
(2)法一：直接法
连接 A1C1 交 B1D1 于点 E，则 A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则 A1E⊥平
面 BB1D1D，
2
所以 A1E 为四棱锥 A1-BB1D1D 的高，且 A1E＝ ， 2
矩形 BB1D1D 的长和宽分别为 2，1，
1 2 1
故 VA -BB D D＝ ×(1× 2)× ＝ . 1 1 1 3 2 3
法二：割补法
连接 BD1，则四棱锥 A1-BB1D1D 分成两个三棱锥 B-A1DD1 与 B-A1B1D1，
1 1 1 1 1
所以 VA1-BB1D1D＝VB-A1DD ＋V1 B-A ＝ × ×1×1×1＋ × ×1×1×1＝ . 1B1D1 3 2 3 2 3
1
[答案] (1)B (2)
3
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[题组训练]
1.(等体积法)如图所示，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长均为 1，且
AA1⊥底面 ABC，则三棱锥 B1-ABC1的体积为( )
3 3
A. B.
12 4
6 6
C. D.
12 4
解析：选 A 三棱锥 B1-ABC1 的体积等于三棱锥 A-B1BC1 的体积，三棱锥 A-B1BC1 的高
3 1 1 1 3 3
为 ，底面积为 ，故其体积为 × × ＝ .
2 2 3 2 2 12
2.(割补法)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )
A．13 B．14
C．15 D．16
解析：选 C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得
到 的 几 何 体 ， 在 长 方 体 中 还 原 该 几 何 体 ， 如 图 中
ABCD-A′B′C′D′所示，长方体的长、宽、高分别为 4,2,3，两
个三棱柱的高为 2，底面是两直角边长分别为 3和 1.5的直角三角形，
1 3
故该几何体的体积 V＝4×2×3－2× ×3× ×2＝15，故选 C.
2 2
3.(直接法)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积
为( )
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1 2 1 2
A. ＋ π B. ＋ π
3 3 3 3
1 2 2
C. ＋ π D．1＋ π
3 6 6
解析：选 C 由三视图知，四棱锥是底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，结合三视图可
2 1 1 4π 2 1 2
得半球半径为 ，从而该几何体的体积为 × 12×1＋ × × 3＝ ＋ π.
2 3 2 3 2 3 6
考点三 与球有关的切、接问题
考法(一) 球与柱体的切、接问题
[典例] (2017·江苏高考)如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、
V1
下底面及母线均相切．记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是V2
________．
[解析] 设球 O 的半径为 R，因为球 O 与圆柱 O1O2 的上、下底面及母线均相切，所以
V1 πR
2·2R 3
圆柱的底面半径为 R、高为 2R，所以 ＝ ＝ .
V2 4 2
πR3
3
3
[答案]
2
考法(二) 球与锥体的切、接问题
[典例] (2018·全国卷Ⅲ)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC
为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为( )
A．12 3 B．18 3
C．24 3 D．54 3
3
[解析] 由等边△ABC 的面积为 9 3，可得 AB2＝9 3，所以 AB＝6，所以等边△ABC
4
3
的外接圆的半径为 r＝ AB＝2 3.设球的半径为 R，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距
3
离为 d，则 d＝ R2－r2＝ 16－12＝2.所以三棱锥 D-ABC 高的最大值为 2＋4＝6，所以三棱
1
锥 D-ABC 体积的最大值为 ×9 3×6＝18 3.
3
[答案] B
[题组训练]
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1．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为 2，底面半径为 3，若该圆柱的
两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )
16
A．4π B. π
3
32
C. π D．16π
3
解析：选 D 如图，由题意知圆柱的中心 O 为这个球的球心，
于是，球的半径 r＝OB＝ OA2＋AB2＝ 12＋( 3)2＝2.
故这个球的表面积 S＝4πr2＝16π.故选 D.
2．三棱锥 P-ABC 中，AB＝BC＝ 15，AC＝6，PC⊥平面 ABC，PC＝2，则该三棱锥的
外接球表面积为________．
解析：由题可知，△ABC 中 AC 边上的高为 15－32＝ 6，球心 O 在底面 ABC 的投影
5 6
即为△ABC 的外心 D，设 DA＝DB＝DC＝x，所以 x2＝32＋( 6－x)2，解得 x＝ ，所以
4
R2＝x2＋
PC 2 75 83
2 ＝ ＋1＝ (其中 R 为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积 S＝4πR
2
8 8
83
＝ π.
2
83
答案： π
2
[课时跟踪检测]
1．(2019·深圳摸底)过半径为 2 的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所
得截面的面积与球的体积的比值为( )
9 9
A. B.
32 16
3 3
C. D.
8 16
解析：选 A 由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为 r，则 22＝12＋r2，所以 r2＝3，
π×3 9
所以所得截面的面积与球的体积的比值为 ＝ ，故选 A.
4
π×23
32
3
2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )
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A．4 B．8
C．16 D．20
解析：选 B 由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为 6，高为 2 的三角
1 1
形，三棱锥的高为 4，所以体积为 V＝ × ×6×2×4＝8.故选 B.
3 2
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如
下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几
何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四
分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和
堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约
为 3，估算出堆放的米约有( )
A．14 斛 B．22 斛
C．36 斛 D．66 斛
π 16
解析：选 B 设米堆的底面半径为 r 尺，则 r＝8，所以 r＝ ，所以米堆的体积为 V＝
2 π
1 1 π 16 320 320
× π×r2×5＝ × 2 π ×5≈ (立方尺)．故堆放的米约有 ÷1.62≈22(斛)． 4 3 12 9 9
4．(2018·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为 1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其三
视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．35 cm3 B．40 cm3
C．70 cm3 D．75 cm3
解析：选 A 结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、
宽、高分别为 5 cm,5 cm,1 cm 的长方体，长、宽、高分别为 3 cm,3 cm,1 cm 的长方体，棱长
为 1 cm 的正方体，故该组合体的体积 V＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm3)．故选 A.
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5．(2019·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
( )
1
A．1 B.
2
1 1
C. D.
3 4
解析：选 C 法一：该几何体的直观图为四棱锥 S -ABCD，如图，SD⊥平面 ABCD，且
SD＝1，四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB＝DC＝1，连接 BD，由题意
1
知 BD⊥DC，BD⊥AB，且 BD＝1，所以 S 四边形 ABCD＝1，所以 VS-ABCD＝ S3
1
四边形 ABCD·SD＝ ，故选 C. 3
1
法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以 V＝ Sh，其中 S 指的是锥体的底面积，即
3
俯视图中四边形的面积，易知 S＝1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知 h＝1，所
1 1
以 V＝ Sh＝ ，故选 C.
3 3
6．(2019·重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )
8 3π 8 3 4 3π 8 3
A. ＋ B. ＋
3 3 3 3
4 3π 4 3 8 3π 4 3
C. ＋ D. ＋
3 3 3 3
解析：选 B 由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆
锥的底面半径为 2、高为 42－22＝2 3，三棱锥的底面是斜边为 4、高为 2 的等腰直角三角
1 1 1 1
形，三棱锥的高为 2 3，所以该组合体的体积 V＝ × π×22×2 3＋ × ×4×2×2 3＝
2 3 3 2
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4 3π 8 3
＋ ，故选 B.
3 3
7．(2019·湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，
则该几何体的表面积为( )
A．16＋12π B．32＋12π
C．24＋12π D．32＋20π
解析：选 A 由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高
为 2，底面对角线长为 4，球的半径为 2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为 2 2，该
1
几何体的表面积 S＝ ×4π×22＋π×22＋2 2× 2×4＝12π＋16，故选 A.
2
3 3
8．(2019·福州质检)已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面积为 ，一个侧面的周长为 6 3，4
则正三棱柱 ABC-A1B1C1外接球的表面积为( )
A．4π B．8π
C．16π D．32π
3 3 3
解析：选 C 如图所示，设底面边长为 a，则底面面积为 a2＝ ，
4 4
所以 a＝ 3.又一个侧面的周长为 6 3，所以 AA1＝2 3.设 E，D 分别为
上、下底面的中心，连接 DE，设 DE 的中点为 O，则点 O 即为正三棱
柱 ABC-A1B1C1 的外接球的球心，连接 OA1，A1E，则 OE＝ 3，A1E＝ 3
3 2
× × ＝1.在直角三角形 OEA1 中，OA1＝ 12＋( 3)2＝2，即外接球的2 3
半径 R＝2，所以外接球的表面积 S＝4πR2＝16π，故选 C.
9．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积
为 18，则这个球的体积为________．
解析：由正方体的表面积为 18，得正方体的棱长为 3.
3
设该正方体外接球的半径为 R，则 2R＝3，R＝ ，
2
4 4π 27 9π
所以这个球的体积为 πR3＝ × ＝ .
3 3 8 2
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9π
答案：
2
10．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为 1，底面为上底长为 1，下底长为 2，高
(1＋2)×1 3
为 1 的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为 V＝ ×1＝ .
2 2
3
答案：
2
2π
11．一个圆锥的表面积为 π，它的侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的高为
3
________．
解析：设圆锥底面半径是 r，母线长为 l，所以 πr2＋πrl＝π，即 r2＋rl＝1，根据圆心角
2π 2πr 1 3
公式 ＝ ，即 l＝3r，所以解得 r＝ ，l＝ ，那么高 h＝ l2－r2＝ 2.
3 l 2 2
答案： 2
12．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥 S -ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的
直径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥 S -ABC 的体积为 9，则球 O 的
表面积为________．
解析：如图，连接 AO，OB，
∵SC 为球 O 的直径，
∴点 O 为 SC 的中点，
∵SA＝AC，SB＝BC，
∴AO⊥SC，BO⊥SC，
∵平面 SCA⊥平面 SCB，平面 SCA∩平面 SCB＝SC，
∴AO⊥平面 SCB，
设球 O 的半径为 R，
则 OA＝OB＝R，SC＝2R.
1
∴VS -ABC＝VA-SBC＝ ×S△SBC×AO 3
1 1＝ × ×SC×OB ×AO，
3 2
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1 1
即 9＝ × ×2R×R 2 ×R，解得 R＝3， 3
∴球 O 的表面积 S＝4πR2＝4π×32＝36π.
答案：36π
13.如图是一个以 A1B1C1 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何
体，截面为 ABC，已知 A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，
CC1＝2，求：
(1)该几何体的体积；
(2)截面 ABC 的面积．
解：(1)过 C 作平行于 A1B1C1 的截面 A2B2C，交 AA1，BB1 分别于点
A2，B2.
由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知 B2C⊥平面 ABB2A2，则该几何体的体积 V＝
VA1B1C1-A2B2C＋VC-ABB2A2
1 1 1
＝ ×2×2×2＋ × ×(1＋2)×2×2＝6.
2 3 2
(2)在△ABC 中，AB＝ 22＋(4－3)2＝ 5，
BC＝ 22＋(3－2)2＝ 5，
AC＝ (2 2)2＋(4－2)2＝2 3.
1
则 S△ABC＝ ×2 3× ( 5)2－( 3)2＝ 6. 2
14.如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥
平面 ABCD.
(1)证明：平面 AEC⊥平面 BED；
6
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥 E-ACD 的体积 ，求该
3
三棱锥 E-ACD 的侧面积．
解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD.
因为 BE⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，
所以 BE⊥AC.
因为 BD∩BE＝B，BD 平面 BED，BE 平面 BED，
所以 AC⊥平面 BED.
又 AC 平面 AEC，
所以平面 AEC⊥平面 BED.
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3 x
(2)设 AB＝x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ x，GB＝GD＝ .
2 2
因为 AE⊥EC，
3
所以在 Rt△AEC 中，可得 EG＝ x.
2
由 BE⊥平面 ABCD，知△EBG 为直角三角形，
2
可得 BE＝ x.
2
由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积
1 1 6 6
V 3三棱锥 E-ACD＝ ·AC·GD·BE＝ x ＝ ， 3 2 24 3
故 x＝2.
从而可得 AE＝EC＝ED＝ 6.
所以△EAC 的面积为 3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.
故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3＋2 5.
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