资源简介

第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、基础知识
1．平面的基本性质
(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共
直线．
2．空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
平行 共面直线 相交

异面直线：不同在任何一个
平面内
(2)异面直线所成的角
①定义：设 a，b 是两条异面直线，
经过空间任一点 O 作直线
a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的
锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成
的角(或夹角)．
π
②范围： 0， 2 .
(3)公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.
直线 l 和平面 α相交、直线 l 和平面 α平行统称为直线 l 在平面 α外，记
作 l α.
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
第 524页/共1004页
二、常用结论
1．公理 2 的三个推论
推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
3．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
考点一 平面的基本性质及应用
[典例] 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB
和 AA1 的中点．求证：
(1)E，C，D1，F 四点共面；
(2)CE，D1F，DA 三线共点．
[证明] (1)如图，连接 EF，CD1，A1B.
∵E，F 分别是 AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B.
又 A1B∥D1C，
∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F 四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE 与 D1F 必相交，
设交点为 P，如图所示．
则由 P∈CE，CE 平面 ABCD，得 P∈平面 ABCD.
同理 P∈平面 ADD1A1.
又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA，
∴P∈DA，
∴CE，D1F，DA 三线共点．
第 525页/共1004页
[变透练清]
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的
一个图是( )
解析：选 D A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面．
2.(变结论)若本例中平面 BB1D1D 与 A1C 交于点 M，求证：B，M，D1 共线．
证明：连接 BD1(图略)，因为 BD1 与 A1C 均为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线，故 BD1
与 A1C 相交，
则令 BD1 与 A1C 的交点为 O，则 B，O，D1 共线，因为 BD1 平面 BB1D1D，
故 A1C 与平面 BB1D1D 的交点为 O，与 M 重合，故 B，M，D1 共线．
考点二 空间两直线的位置关系
[典例] (1)(2019·郑州模拟)已知直线 a 和平面 α，β，α∩β＝l，a α，a β，且 a 在 α，β
内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( )
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
(2)G，N，M，H 分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN
是异面直线的图形的是________．(填序号)
[解析] (1)如图，取平面 ABCD 为 α，平面 ABFE 为 β.若直线 CH 为
a，则 a 在 α，β 内的射影分别为 CD，BE，此时 CD，BE 异面，即 b，c
异面，排除 A；若直线 GH 为 a，则 a 在 α，β内的射影分别为 CD，EF，
此时 CD，EF 平行，即 b，c 平行，排除 B；若直线 BH 为 a，则 a 在 α，
β内的射影分别为 BD，BE，此时 BD，BE 相交，即 b，c 相交，排除 C.综上所述选 D.
(2)图①中，直线 GH∥MN；图②中，G，H，N 三点共面，但 M 平面 GHN，因此直线
GH 与 MN 异面；图③中，连接 MG，GM∥HN，因此 GH 与 MN 共面；图④中，G，M，N
第 526页/共1004页
共面，但 H 平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面．所以在图②④中，GH 与 MN 异面．
[答案] (1)D (2)②④
[题组训练]
1．下列结论中正确的是( )
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；
③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；
④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，那么 b∥c.
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③
解析：选 B ①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③
错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；
④由平行直线的传递性可知正确．故选 B.
2.如图，在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的
中点，有以下四个结论：
①直线 AM 与 CC1 是相交直线；
②直线 AM 与 BN 是平行直线；
③直线 BN 与 MB1 是异面直线；
④直线 AM 与 DD1 是异面直线．
其中正确结论的序号为________．
解析：直线 AM 与 CC1 是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，所以①②错误．点
B，B1，N 在平面 BB1C1C 中，点 M 在此平面外，所以 BN，MB1 是异面直线．同理 AM，DD1
也是异面直线．
答案：③④
[课时跟踪检测]
1．(2019·衡阳模拟)若直线 l 与平面 α相交，则( )
A．平面 α内存在直线与 l 异面
B．平面 α内存在唯一一条直线与 l 平行
C．平面 α内存在唯一一条直线与 l 垂直
D．平面 α内的直线与 l 都相交
解析：选 A 当直线 l 与平面 α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线
第 527页/共1004页
均为异面直线，故 A 正确；该平面内不存在与直线 l 平行的直线，故 B 错误；该平面内有
无数条直线与直线 l 垂直，所以 C 错误，平面 α 内的直线与 l 可能异面，故 D 错误，故选
A.
2．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是线段 BC，CD1 的中点，则直线 A1B 与直
线 EF 的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选 A 由 BC 綊 AD，AD 綊 A1D1，知 BC 綊 A1D1，
从而四边形 A1BCD1 是平行四边形，
所以 A1B∥CD1，
又 EF 平面 A1BCD1，EF∩D1C＝F，
故 A1B 与 EF 相交．
3．已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平
面 α和平面 β相交”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B 直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β内，则由“直线 a 和直线 b 相交”
可得“平面 α和平面 β相交”，反之不成立．所以“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α和平
面 β相交”的充分不必要条件．故选 B.
4.设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形，用平面 α去截此四
棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面 α( )
A．不存在
B．只有 1 个
C．恰有 4 个
D．有无数多个
解析：选 D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m，n，直线 m，n 确定了一个平
面 β.作与 β平行的平面 α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而
这样的平面 α有无数多个．
5．在空间四边形 ABCD 各边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F，G，H 四点，如果 EF，
GH 相交于点 P，那么( )
A．点 P 必在直线 AC 上 B．点 P 必在直线 BD 上
C．点 P 必在平面 DBC 内 D．点 P 必在平面 ABC 外
解析：选 A 如图，因为 EF 平面 ABC，而 GH 平面 ADC，且 EF 和 GH 相交于点 P，
所以点 P 在两平面的交线上，因为 AC 是两平面的交线，所以点 P 必在直线 AC 上．
第 528页/共1004页
6.如图，在平行六面体 ABCD -A1B1C1D1 中，既与 AB 共面又与 CC1
共面的棱有________条．
解析：依题意，与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC；与 AB 相交且与 CC1
平行有棱 AA1，BB1；与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD，C1D1.故符合条
件的有 5 条．
答案：5
7．在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E，F 分别为侧棱 PC，PB 的中
点，则 EF 与平面 PAD 的位置关系为________，平面 AEF 与平面 ABCD 的交线是________．
解析：由题易知 EF∥BC，BC∥AD，所以 EF∥AD，故 EF∥平面 PAD，因为 EF∥AD，
所以 E，F，A，D 四点共面，所以 AD 为平面 AEF 与平面 ABCD 的交线．
答案：平行 AD
8.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E，H 分别是边 AB，AD
CF CG 2
的中点，点 F，G 分别是边 BC，CD 上的点，且 ＝ ＝ ，有以下四
CB CD 3
个结论．
①EF 与 GH 平行；
②EF 与 GH 异面；
③EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上；
④EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上．
其中正确结论的序号为________．
解析：如图所示．连接 EH，FG，
依题意，可得 EH∥BD，FG∥BD，
故 EH∥FG，所以 E，F，G，H 共面．
1 2
因为 EH＝ BD，FG＝ BD，故 EH≠FG，
2 3
所以 EFGH 是梯形，EF 与 GH 必相交，设交点为 M.因为点 M 在 EF 上，
故点 M 在平面 ACB 上．同理，点 M 在平面 ACD 上，
所以点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点，
又 AC 是这两个平面的交线，
所以点 M 一定在直线 AC 上．
第 529页/共1004页
答案：④
9.如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是 A1B1，
B1C1 的中点．
(1)AM 和 CN 是否共面？说明理由；
(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由．
解：(1)AM 和 CN 共面，理由如下：
连接 MN，A1C1，AC.
∵M，N 分别是 A1B1，B1C1 的中点，
∴MN∥A1C1.
又∵A1A 綊 C1C，
∴四边形 A1ACC1 为平行四边形，
∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，
∴AM 和 CN 在同一平面内．
(2)D1B 和 CC1 是异面直线．
理由如下：
假设 D1B 与 CC1 不是异面直线，
则存在平面 α，使 D1B 平面 α，CC1 平面 α，
∴D1，B，C，C1∈α，与 ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，
∴假设不成立，∴D1B 与 CC1 是异面直线．
1
10.如图所示，四边形 ABEF 和四边形 ABCD 都是梯形，BC 綊 AD，
2
1
BE 綊 FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点．
2
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；
(2)C，D，F，E 四点是否共面？说明理由．
1
解：(1)证明：因为 FG＝GA，FH＝HD，所以 GH 綊 AD，
2
1
又因为 BC 綊 AD，所以 GH 綊 BC，
2
所以四边形 BCHG 是平行四边形．
(2)C，D，F，E 四点共面，理由如下：
1
法一：由 BE 綊 AF，G 为 FA 中点知 BE 綊 GF，
2
所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EF∥BG.
由(1)知 BG∥CH，所以 EF∥CH，
所以 EF 与 CH 共面．
又 D∈FH，所以 C，D，F，E 四点共面．
法二：延长 FE，DC 分别与 AB 交于点 M，M′(图略)．
第 530页/共1004页
1
因为 BE 綊 AF，所以 B 为 MA 的中点．
2
1
因为 BC 綊 AD，所以 B 为 M′A 的中点．
2
所以 M 与 M′重合，即 FE 与 DC 交于点 M(M′)，
所以 C，D，F，E 四点共面．
第 531页/共1004页

展开更多......

收起↑