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第四节 直线、平面平行的判定与性质
一、基础知识
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
平面外一条直线与此平面内的一条直线
∵l∥a，a α，
判定定理 平行，则该直线与此平面平行(线线平行
l α，∴l∥α
线面平行)
一条直线与一个平面平行，则过这条直
∵l∥α，l β，α∩β
性质定理 线的任一平面与此平面的交线与该直线
＝b，∴l∥b
平行(简记为“线面平行 线线平行”)
应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必

须都具备，缺一不可.
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
∵a∥β，
一个平面内的两条相交
b∥β，
直线与另一个平面平行，
a∩b＝P，
判定定理 则这两个平面平行(简记
a α，
为“线面平行 面面平
b α，
行”)
∴α∥β
∵α∥β，
如果两个平行平面同时
α∩γ＝a，
性质定理 和第三个平面相交，那么
β∩γ＝b，
它们的交线平行
∴a∥b
如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平

面的两条直线，那么这两个平面互相平行.
符号表示：
a α，b α，a∩b＝O，a′ β，b′ β，a∥a′，b∥b′ α∥β.
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二、常用结论
平面与平面平行的三个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
考点一 直线与平面平行的判定与性质
考法(一) 直线与平面平行的判定
[典例] 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 M，N 分别为线段 A1B，AC1 的中点．求
证：MN∥平面 BB1C1C.
[证明] 如图，连接 A1C.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 AA1C1C 为
平行四边形．
又因为 N 为线段 AC1 的中点，所以 A1C 与 AC1相交于点 N，即 A1C
经过点 N，且 N 为线段 A1C 的中点．
因为 M 为线段 A1B 的中点，所以 MN∥BC.
又因为 MN 平面 BB1C1C，BC 平面 BB1C1C，
所以 MN∥平面 BB1C1C.
考法(二) 线面平行性质定理的应用
[典例] (2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，E 为线段 AD 上的任
意一点(不包括 A，D 两点)，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG.
求证：FG∥平面 AA1B1B.
[证明] 在四棱柱 ABCD -A1B1C1D1 中，BB1∥CC1，BB1 平面
BB1D，CC1 平面 BB1D，
所以 CC1∥平面 BB1D.
又 CC1 平面 CEC1，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG，
所以 CC1∥FG.
因为 BB1∥CC1，所以 BB1∥FG.
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因为 BB1 平面 AA1B1B，FG 平面 AA1B1B，
所以 FG∥平面 AA1B1B.
[题组训练]
1．(2018·浙江高考)已知平面 α，直线 m，n 满足 m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”
的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A ∵若 m α，n α，且 m∥n，由线面平行的判定定理知 m∥α，但若 m α，
n α，且 m∥α，则 m 与 n 有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．
2．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M 为 PC 上一点，且 PM
＝2MC.
求证：BM∥平面 PAD.
证明：法一：如图，过点 M 作 MN∥CD 交 PD 于点 N，连接 AN.
2
∵PM＝2MC，∴MN＝ CD.
3
2
又 AB＝ CD，且 AB∥CD，
3
∴AB 綊 MN，
∴四边形 ABMN 为平行四边形，
∴BM∥AN.
又 BM 平面 PAD，AN 平面 PAD，
∴BM∥平面 PAD.
法二：如图，过点 M 作 MN∥PD 交 CD 于点 N，连接 BN.
∵PM＝2MC，∴DN＝2NC，
2
又 AB∥CD，AB＝ CD，
3
∴AB 綊 DN，
∴四边形 ABND 为平行四边形，
∴BN∥AD.
∵BN 平面 MBN，MN 平面 MBN，BN∩MN＝N，
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AD 平面 PAD，PD 平面 PAD，AD∩PD＝D，
∴平面 MBN∥平面 PAD.
∵BM 平面 MBN，∴BM∥平面 PAD.
3.如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一
点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 PA 作平面 PAHG 交
平面 BMD 于 GH.
求证：PA∥GH.
证明：如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴O 是 AC 的中点，
又 M 是 PC 的中点，∴PA∥MO.
又 MO 平面 BMD，PA 平面 BMD，
∴PA∥平面 BMD.
∵平面 PAHG∩平面 BMD＝GH，
PA 平面 PAHG，
∴PA∥GH.
考点二 平面与平面平行的判定与性质
[典例] 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，
AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面；
(2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
[证明] (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G 四点共面．
(2)∵E，F 分别为 AB，AC 的中点，
∴EF∥BC，
∵EF 平面 BCHG，BC 平面 BCHG，
∴EF∥平面 BCHG.
∵A1G 綊 EB，
∴四边形 A1EBG 是平行四边形，
∴A1E∥GB.
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∵A1E 平面 BCHG，GB 平面 BCHG，
∴A1E∥平面 BCHG.
∵A1E∩EF＝E，
∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
[变透练清]
1.(变结论)在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1∥平
面 AC1D.
证明：如图所示，连接 A1C，AC1，
设交点为 M，
∵四边形 A1ACC1 是平行四边形，
∴M 是 A1C 的中点，连接 MD，
∵D 为 BC 的中点，∴A1B∥DM.
∵DM 平面 A1BD1，A1B 平面 A1BD1，
∴DM∥平面 A1BD1.
又由三棱柱的性质知 D1C1綊 BD，
∴四边形 BDC1D1 为平行四边形，
∴DC1∥BD1.
又 DC1 平面 A1BD1，BD1 平面 A1BD1，
∴DC1∥平面 A1BD1，
又∵DC1∩DM＝D，DC1 平面 AC1D，DM 平面 AC1D，
∴平面 A1BD1∥平面 AC1D.
2．如图，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，
EF 的中点，求证：
(1)BE∥平面 DMF；
(2)平面 BDE∥平面 MNG.
证明：(1)如图，连接 AE，设 DF 与 GN 的交点为 O，
则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O.
连接 MO，则 MO 为△ABE 的中位线，
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所以 BE∥MO.
又 BE 平面 DMF，MO 平面 DMF，
所以 BE∥平面 DMF.
(2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，
所以 DE∥GN.
又 DE 平面 MNG，GN 平面 MNG，
所以 DE∥平面 MNG.
又 M 为 AB 中点，
所以 MN 为△ABD 的中位线，
所以 BD∥MN.
又 BD 平面 MNG，MN 平面 MNG，
所以 BD∥平面 MNG.
又 DE 平面 BDE，BD 平面 BDE，DE∩BD＝D，
所以平面 BDE∥平面 MNG.
[课时跟踪检测]
A 级
1．已知直线 a 与直线 b 平行，直线 a 与平面 α平行，则直线 b 与 α的关系为( )
A．平行 B．相交
C．直线 b 在平面 α内 D．平行或直线 b 在平面 α内
解析：选 D 依题意，直线 a 必与平面 α内的某直线平行，又 a∥b，因此直线 b 与平
面 α的位置关系是平行或直线 b 在平面 α内．
2．若平面 α∥平面 β，直线 a∥平面 α，点 B∈β，则在平面 β内且过 B 点的所有直线中
( )
A．不一定存在与 a 平行的直线
B．只有两条与 a 平行的直线
C．存在无数条与 a 平行的直线
D．存在唯一与 a 平行的直线
解析：选 A 当直线 a 在平面 β内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A.
3．在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB 和 BC 上的点，若 AE∶EB＝CF∶FB＝1∶
2，则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不能确定
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AE CF
解析：选 A 如图，由 ＝ 得 AC∥EF.
EB FB
又因为 EF 平面 DEF，AC 平面 DEF，
所以 AC∥平面 DEF.
4．(2019·重庆六校联考)设 a，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则 α∥β
的一个充分条件是( )
A．存在一条直线 a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线 a，a α，a∥β
C．存在两条平行直线 a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线 a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
解析：选 D 对于选项 A，若存在一条直线 a，a∥α，a∥β，则 α∥β或 α与 β相交，
若 α∥β，则存在一条直线 a，使得 a∥α，a∥β，所以选项 A 的内容是 α∥β的一个必要条件；
同理，选项 B、C 的内容也是 α∥β 的一个必要条件而不是充分条件；对于选项 D，可以通
过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有 α∥β，所以选项 D 的内容
是 α∥β的一个充分条件．故选 D.
5.如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A1B1C1D1 内灌进
一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾
斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面 EFGH 所在四边形的面积为定值；
③棱 A1D1 始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF 是定值．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 C 由题图，显然①是正确的，②是错误的；
对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，
∴A1D1∥FG 且 A1D1 平面 EFGH，FG 平面 EFGH，
∴A1D1∥平面 EFGH(水面)．
∴③是正确的；
对于④，∵水是定量的(定体积 V)，
1
∴S△BEF·BC＝V，即 BE·BF·BC＝V. 2
2V
∴BE·BF＝ (定值)，即④是正确的，故选 C.
BC
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6.如图，平面 α∥平面 β，△PAB 所在的平面与 α，β分别交于 CD，
AB，若 PC＝2，CA＝3，CD＝1，则 AB＝________.
解析：∵平面 α∥平面 β，∴CD∥AB，
PC CD PA×CD 5×1 5
则 ＝ ，∴AB＝ ＝ ＝ .
PA AB PC 2 2
5
答案：
2
7．设 α，β，γ是三个平面，a，b 是两条不同直线，有下列三个条件：
①a∥γ，b β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a γ.
如果命题“α∩β＝a，b γ，且________，则 a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的
条件是________(填序号)．
解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当 b∥β，a γ时，a 和 b 在同一平面内，
且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
答案：①或③
8．在三棱锥 P-ABC 中，PB＝6，AC＝3，G 为△PAC 的重心，过点 G 作三棱锥的一个
截面，使截面平行于 PB 和 AC，则截面的周长为________．
解析：如图，过点 G 作 EF∥AC，分别交 PA，PC 于点 E，F，过点 E
作 EN∥PB 交 AB 于点 N，过点 F 作 FM∥PB 交 BC 于点 M，连接 MN，则
2
四边形 EFMN 是平行四边形(平面 EFMN 为所求截面)，且 EF＝MN＝ AC＝
3
1
2，FM＝EN＝ PB＝2，所以截面的周长为 2×4＝8.
3
答案：8
9.如图，E，F，G，H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC，
CC1，C1D1，AA1 的中点．求证：
(1)EG∥平面 BB1D1D；
(2)平面 BDF∥平面 B1D1H.
证明：(1)如图，取 B1D1的中点 O，连接 GO，OB，
1 1
因为 OG 綊 B1C1，BE 綊 B C ， 2 2 1 1
所以 BE 綊 OG，
所以四边形 BEGO 为平行四边形，
故 OB∥EG，
因为 OB 平面 BB1D1D，
EG 平面 BB1D1D，
所以 EG∥平面 BB1D1D.
(2)由题意可知 BD∥B1D1.
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连接 HB，D1F，因为 BH 綊 D1F，
所以四边形 HBFD1 是平行四边形，
故 HD1∥BF.
又 B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，
所以平面 BDF∥平面 B1D1H.
10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，∠ABC＝
∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝2，AB＝1.
设 M，N 分别为 PD，AD 的中点．
(1)求证：平面 CMN∥平面 PAB；
(2)求三棱锥 P-ABM 的体积．
解：(1)证明：∵M，N 分别为 PD，AD 的中点，
∴MN∥PA，
又 MN 平面 PAB，PA 平面 PAB，
∴MN∥平面 PAB.
在 Rt△ACD 中，∠CAD＝60°，CN＝AN，
∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.
∵CN 平面 PAB，AB 平面 PAB，
∴CN∥平面 PAB.
又 CN∩MN＝N，
∴平面 CMN∥平面 PAB.
(2)由(1)知，平面 CMN∥平面 PAB，
∴点 M 到平面 PAB 的距离等于点 C 到平面 PAB 的距离．
∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝ 3，
1 1 3
∴三棱锥 P-ABM 的体积 V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC＝ × ×1× 3×2＝ . 3 2 3
B 级
1.如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝
AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为
PC 的中点．
(1)求证：MN∥平面 PAB；
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(2)求四面体 N-BCM 的体积．
2
解：(1)证明：由已知得 AM＝ AD＝2.
3
取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，
由 N 为 PC 的中点知 TN∥BC，
1
TN＝ BC＝2.
2
又 AD∥BC，故 TN 綊 AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN∥AT.
因为 AT 平面 PAB，MN 平面 PAB，
所以 MN∥平面 PAB.
1
(2)因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA.
2
取 BC 的中点 E，连接 AE.
由 AB＝AC＝3，得 AE⊥BC，AE＝ AB2－BE2＝ 5.
由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5，
1
故 S△BCM＝ ×4× 5＝2 5. 2
1 PA 4 5
所以四面体 N-BCM 的体积 VN-BCM＝ ×S△BCM× ＝ . 3 2 3
2.如图所示，几何体 E-ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB＝CD，
EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M 为线段 AE 的中点，求证：DM∥平面 BEC.
证明：(1)如图所示，取 BD 的中点 O，连接 OC，OE.
∵CB＝CD，∴CO⊥BD.
又∵EC⊥BD，EC∩CO＝C，
∴BD⊥平面 OEC，∴BD⊥EO.
又∵O 为 BD 中点．
∴OE 为 BD 的中垂线，∴BE＝DE.
(2)取 BA 的中点 N，连接 DN，MN.
∵M 为 AE 的中点，∴MN∥BE.
∵△ABD 为等边三角形，N 为 AB 的中点，
∴DN⊥AB.
∵∠DCB＝120°，DC＝BC，
∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即 BC⊥AB，
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∴DN∥BC.
∵DN∩MN＝N，BC∩BE＝B，
∴平面 MND∥平面 BEC.
又∵DM 平面 MND，
∴DM∥平面 BEC.
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