【备战高考】数学核心考点与题型分类梳理 第八章 第5节 直线、平面垂直的性质与判定(pdf版)

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【备战高考】数学核心考点与题型分类梳理 第八章 第5节 直线、平面垂直的性质与判定(pdf版)

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第五节 直线、平面垂直的判定与性质
一、基础知识
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义:
直线 l 与平面 α内的任意一条直线都垂直,
就说直线 l 与平面 α互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理:
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面 a,b α

内的两条相交直线都 a∩b=O
判定定理 l⊥α
垂直 ,则该直线与此 l⊥a
平面垂直 l⊥b
垂直于同一个平面的 a⊥α
性质定理
两条直线平行

a∥b
b⊥α
如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直,

但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面过另一个平
l β
判定定理 面的垂线 ,则这两个 α⊥β l⊥α
平面垂直
两个平面垂直,则一 α⊥β

个平面内垂直于交线 l β 性质定理 l⊥α 的直线与另一个平面 α∩β=a
垂直 l⊥a
[ 要求一平面只需过另一平面的垂线.]
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二、常用结论
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
[典例] 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥
CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.求证:
(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面 ABE.
[证明] (1)在四棱锥 P-ABCD 中,
∵PA⊥底面 ABCD,CD 底面 ABCD,
∴PA⊥CD,
又∵AC⊥CD,且 PA∩AC=A,
∴CD⊥平面 PAC.∵AE 平面 PAC,
∴CD⊥AE.
(2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得 AC=PA.
∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC.
由(1)知 AE⊥CD,且 PC∩CD=C,
∴AE⊥平面 PCD.
∵PD 平面 PCD,∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面 ABCD,AB 底面 ABCD,∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD,且 PA∩AD=A,
∴AB⊥平面 PAD,
∵PD 平面 PAD,
∴AB⊥PD.
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又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面 ABE.
[解题技法] 证明线面垂直的 4 种方法
(1)线面垂直的判定定理:l⊥a,l⊥b,a α,b α,a∩b=P l⊥α.
(2)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a α,a⊥l a⊥β.
(3)性质:①a∥b,b⊥α a⊥α,②α∥β,a⊥β a⊥α.
(4)α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l l⊥γ.(客观题可用)
[口诀归纳]
线面垂直的关键,定义来证最常见,
判定定理也常用,它的意义要记清.
平面之内两直线,两线相交于一点,
面外还有一直线,垂直两线是条件.
[题组训练]
1.(2019·安徽知名示范高中联考)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,
AB=BC=BB1,AB1∩A1B=E,D 为 AC 上的点,B1C∥平面 A1BD.
(1)求证:BD⊥平面 A1ACC1;
(2)若 AB=1,且 AC·AD=1,求三棱锥 A-BCB1 的体积.
解: (1)证明:如图,连接 ED,
∵平面 AB1C∩平面 A1BD=ED,B1C∥平面 A1BD,
∴B1C∥ED,
∵E 为 AB1 的中点,
∴D 为 AC 的中点,
∵AB=BC,∴BD⊥AC.
∵A1A⊥平面 ABC,BD 平面 ABC,∴A1A⊥BD.
又∵A1A,AC 是平面 A1ACC1 内的两条相交直线,
∴BD⊥平面 A1ACC1.
(2)由 AB=1,得 BC=BB1=1,
1
由(1)知 AD= AC,又 AC·AD=1,∴AC2=2,
2
∴AC2=2=AB2+BC2,∴AB⊥BC,
1 1
∴S△ABC= AB·BC= , 2 2
1 1 1 1
∴VA-BCB =VB -ABC= S△ABC·BB1= × ×1= . 1 1 3 3 2 6
2.如图,S 是 Rt△ABC 所在平面外一点,且 SA=SB=SC,D 为斜边
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AC 的中点.
(1)求证:SD⊥平面 ABC;
(2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC.
证明:(1)如图所示,取 AB 的中点 E,连接 SE,DE,
在 Rt△ABC 中,D,E 分别为 AC,AB 的中点.
∴DE∥BC,∴DE⊥AB,
∵SA=SB,∴SE⊥AB.
又 SE∩DE=E,∴AB⊥平面 SDE.
又 SD 平面 SDE,∴AB⊥SD.
在△SAC 中,∵SA=SC,D 为 AC 的中点,∴SD⊥AC.
又 AC∩AB=A,∴SD⊥平面 ABC.
(2)∵AB=BC,∴BD⊥AC,
由(1)可知,SD⊥平面 ABC,又 BD 平面 ABC,
∴SD⊥BD,
又 SD∩AC=D,∴BD⊥平面 SAC.
考点二 面面垂直的判定与性质
[典例] (2018·江苏高考)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=
AB,AB1⊥B1C1.
求证:(1)AB∥平面 A1B1C;
(2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
[证明] (1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,
AB∥A1B1.
因为 AB 平面 A1B1C,A1B1 平面 A1B1C,
所以 AB∥平面 A1B1C.
(2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,
四边形 ABB1A1 为平行四边形.
又因为 AA1=AB,所以四边形 ABB1A1为菱形,
因此 AB1⊥A1B.
因为 AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,
所以 AB1⊥BC.
因为 A1B∩BC=B,A1B 平面 A1BC,BC 平面 A1BC,
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所以 AB1⊥平面 A1BC.
因为 AB1 平面 ABB1A1,
所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
[解题技法] 证明面面垂直的 2 种方法
利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证
定义法
明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题
利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一
定理法
条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决
[题组训练]
1.(2019·武汉调研)如图,三棱锥 P-ABC 中,底面 ABC 是边长为 2 的
正三角形,PA⊥PC,PB=2.
求证:平面 PAC⊥平面 ABC.
证明:取 AC 的中点 O,连接 BO,PO.
因为△ABC 是边长为 2 的正三角形,
所以 BO⊥AC,BO= 3.
1
因为 PA⊥PC,所以 PO= AC=1.
2
因为 PB=2,所以 OP2+OB2=PB2,所以 PO⊥OB.
因为 AC∩OP=O,
所以 BO⊥平面 PAC.
又 OB 平面 ABC,
所以平面 PAC⊥平面 ABC.
2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是
矩形,PA⊥平面 ABCD,E,F 分别是 AB,PD 的中点,且 PA=
AD.
求证:(1)AF∥平面 PEC;
(2)平面 PEC⊥平面 PCD.
证明:(1)取 PC 的中点 G,连接 FG,EG,
∵F 为 PD 的中点,G 为 PC 的中点,
∴FG 为△CDP 的中位线,
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1
∴FG∥CD,FG= CD.
2
∵四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点,
1
∴AE∥CD,AE= CD.
2
∴FG=AE,FG∥AE,
∴四边形 AEGF 是平行四边形,
∴AF∥EG,又 EG 平面 PEC,AF 平面 PEC,
∴AF∥平面 PEC.
(2)∵PA=AD,F 为 PD 中点,∴AF⊥PD,
∵PA⊥平面 ABCD,CD 平面 ABCD,
∴PA⊥CD,
又∵CD⊥AD,AD∩PA=A,
∴CD⊥平面 PAD,
∵AF 平面 PAD,
∴CD⊥AF.
又 PD∩CD=D,
∴AF⊥平面 PCD.
由(1)知 EG∥AF,
∴EG⊥平面 PCD,
又 EG 平面 PEC,
∴平面 PEC⊥平面 PCD.
[课时跟踪检测]
A 级
1.设 a,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得出 a⊥b 的是( )
A.a⊥α,b∥β,α⊥β B.a⊥α,b⊥β,α∥β
C.a α,b⊥β,α∥β D.a α,b∥β,α⊥β
解析:选 C 对于 C 项,由 α∥β,a α可得 a∥β,又 b⊥β,得 a⊥b,故选 C.
2.(2019·湘东五校联考)已知直线 m,l,平面 α,β,且 m⊥α,l β,给出下列命题:
①若 α∥β,则 m⊥l;②若 α⊥β,则 m∥l;
③若 m⊥l,则 α⊥β;④若 m∥l,则 α⊥β.
其中正确的命题是( )
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A.①④ B.③④
C.①② D.①③
解析:选 A 对于①,若 α∥β,m⊥α,l β,则 m⊥l,故①正确,排除 B.对于④,若
m∥l,m⊥α,则 l⊥α,又 l β,所以 α⊥β.故④正确.故选 A.
3.已知 PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面,C 为圆上异于 A,B 两点的任一点,
则下列关系不正确的是( )
A.PA⊥BC B.BC⊥平面 PAC
C.AC⊥PB D.PC⊥BC
解析:选 C 由 PA⊥平面 ACB PA⊥BC,故 A 不符合题意;由 BC⊥PA,BC⊥AC,
PA∩AC=A,可得 BC⊥平面 PAC,所以 BC⊥PC,故 B、D 不符合题意;AC⊥PB 显然不成
立,故 C 符合题意.
4.如图,在四面体 ABCD 中,已知 AB⊥AC,BD⊥AC,那么点 D 在平
面 ABC 内的射影 H 必在( )
A.直线 AB 上 B.直线 BC 上
C.直线 AC 上 D.△ABC 内部
解析:选 A 因为 AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,所以 AC⊥平央 ABD,又 AC 平
面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 ABD,所以点 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在直线 AB 上.
5.如图,在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的
中点,则下面四个结论不成立的是( )
A.BC∥平面 PDF
B.DF⊥平面 PAE
C.平面 PDF⊥平面 PAE
D.平面 PDE⊥平面 ABC
解析:选 D 因为 BC∥DF,DF 平面 PDF,BC 平面 PDF,所以 BC∥平面 PDF,
故选项 A 正确.
在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,
所以 BC⊥平面 PAE,又 DF∥BC,则 DF⊥平面 PAE,从而平面 PDF⊥平面 PAE.因此
选项 B、C 均正确.
6.如图,已知∠BAC=90°,PC⊥平面 ABC,则在△ABC,△PAC 的边所
在的直线中,与 PC 垂直的直线有________个;与 AP 垂直的直线有________
个.
解析:∵PC⊥平面 ABC,
∴PC 垂直于直线 AB,BC,AC.
∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,
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∴AB⊥平面 PAC,
又∵AP 平面 PAC,
∴AB⊥AP,与 AP 垂直的直线是 AB.
答案:3 1
7.设 α和 β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若 α内的两条相交直线分别平行于 β内的两条直线,则 α∥β;
②若 α外的一条直线 l 与 α内的一条直线平行,则 l∥α;
③设 α∩β=l,若 α内有一条直线垂直于 l,则 α⊥β;
④直线 l⊥α的充要条件是 l 与 α内的两条直线垂直.
其中所有的真命题的序号是________.
解析:①正确;②正确;满足③的 α与 β不一定垂直,所以③错误;直线 l⊥α的充要
条件是 l 与 α内的两条相交直线垂直,所以④错误.故所有的真命题的序号是①②.
答案:①②
8.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 α与棱 AB,AC,A1C1,A1B1 分别交于点 E,F,G,
H,且直线 AA1∥平面 α.有下列三个命题:①四边形 EFGH 是平行四边形;②平面 α∥平面
BCC1B1;③平面 α⊥平面 BCFE.其中正确命题的序号是________.
解析:如图所示,因为 AA1∥平面 α,平面 α∩平面 AA1B1B=EH,
所以 AA1∥EH.同理 AA1∥GF,所以 EH∥GF,又 ABC-A1B1C1是直三棱
柱,易知 EH=GF=AA1,所以四边形 EFGH 是平行四边形,故①正确;
若平面 α∥平面 BB1C1C,由平面 α∩平面 A1B1C1=GH,平面 BCC1B1∩
平面 A1B1C1=B1C1,知 GH∥B1C1,而 GH∥B1C1 不一定成立,故②错误;
由 AA1⊥平面 BCFE,结合 AA1∥EH 知 EH⊥平面 BCFE,又 EH 平面 α,
所以平面 α⊥平面 BCFE,故③正确.
答案:①③
9.(2019·太原模拟)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是
菱形,∠BAD=60°,PA=PD=AD=2,点 M 在线段 PC 上,且 PM
=2MC,N 为 AD 的中点.
(1)求证:AD⊥平面 PNB;
(2)若平面 PAD⊥平面 ABCD,求三棱锥 P-NBM 的体积.
解: (1)证明:连接 BD.
∵PA=PD,N 为 AD 的中点,
∴PN⊥AD.
又底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,
第 550页/共1004页
∴△ABD 为等边三角形,
∴BN⊥AD,
又 PN∩BN=N,∴AD⊥平面 PNB.
(2)∵PA=PD=AD=2,∴PN=NB= 3.
又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PN⊥AD,∴PN⊥平面 ABCD,
1 3
∴PN⊥NB,∴S△PNB= × 3× 3= . 2 2
∵AD⊥平面 PNB,AD∥BC,
∴BC⊥平面 PNB.又 PM=2MC,
2 2 1 3 2
∴VP-NBM=VM-PNB= V3 C-PNB= × × ×2= . 3 3 2 3
10.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别为 AB,BC 的中
点,点 F 在侧棱 B1B 上,且 B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:(1)直线 DE∥平面 A1C1F;
(2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F.
证明:(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC∥A1C1,
在△ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点.
所以 DE∥AC,于是 DE∥A1C1,
又因为 DE 平面 A1C1F,A1C1 平面 A1C1F,
所以直线 DE∥平面 A1C1F.
(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1,
因为 A1C1 平面 A1B1C1,所以 AA1⊥A1C1,
又因为 A1C1⊥A1B1,A1B1∩AA1=A1,AA1 平面 ABB1A1,A1B1 平面 ABB1A1,
所以 A1C1⊥平面 ABB1A1,
因为 B1D 平面 ABB1A1,
所以 A1C1⊥B1D,
又因为 B1D⊥A1F,A1C1∩A1F=A1,A1C1 平面 A1C1F,A1F 平面 A1C1F,
所以 B1D⊥平面 A1C1F,
因为直线 B1D 平面 B1DE,
所以平面 B1DE⊥平面 A1C1F.
B 级
1.(2018·全国卷Ⅱ)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=BC=2 2,PA=PB=PC=AC=4,
O 为 AC 的中点.
第 551页/共1004页
(1)证明:PO⊥平面 ABC;
(2)若点 M 在棱 BC 上,且 MC=2MB,求点 C 到平面 POM 的距离.
解:(1)证明:因为 PA=PC=AC=4,O 为 AC 的中点,
所以 PO⊥AC,且 PO=2 3.
连接 OB,
2
因为 AB=BC= AC,
2
1
所以△ABC 为等腰直角三角形,且 OB⊥AC,OB= AC=2.
2
所以 PO2+OB2=PB2,所以 PO⊥OB.
又因为 AC∩OB=O,所以 PO⊥平面 ABC.
(2)作 CH⊥OM,垂足为 H,
又由(1)可得 OP⊥CH,
所以 CH⊥平面 POM.
故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离.
1 2 4 2
由题设可知 OC= AC=2,CM= BC= ,∠ACB=45°,
2 3 3
2 5 OC·MC·sin ∠ACB 4 5
所以 OM= ,CH= = .
3 OM 5
4 5
所以点 C 到平面 POM 的距离为 .
5
2.(2019·河南中原名校质量考评)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB
∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E,F
分别是 CD,PC 的中点.
求证:(1)BE∥平面 PAD;
(2)平面 BEF⊥平面 PCD.
证明:(1)∵AB∥CD,CD=2AB,E 是 CD 的中点,
∴AB∥DE 且 AB=DE,
∴四边形 ABED 为平行四边形,
∴AD∥BE,又 BE 平面 PAD,AD 平面 PAD,
∴BE∥平面 PAD.
(2)∵AB⊥AD,∴四边形 ABED 为矩形,
∴BE⊥CD,AD⊥CD,
∵平面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩底面 ABCD=AD,PA⊥AD,
∴PA⊥底面 ABCD,
∴PA⊥CD,又 PA∩AD=A,
第 552页/共1004页
∴CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PD,
∵E,F 分别是 CD,PC 的中点,
∴PD∥EF,∴CD⊥EF,又 EF∩BE=E,
∴CD⊥平面 BEF,
∵CD 平面 PCD,∴平面 BEF⊥平面 PCD.
第 553页/共1004页

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