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第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题
考点一 立体几何中的探索性问题
[典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧CD所
在平面垂直，M 是CD上异于 C，D 的点．
(1)证明：平面 AMD⊥平面 BMC.
(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由．
[解] (1)证明：由题设知，平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD.因为 BC⊥CD，BC
平面 ABCD，
所以 BC⊥平面 CMD，所以 BC⊥DM.
因为 M 为CD上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，
所以 DM⊥CM.
又 BC∩CM＝C，所以 DM⊥平面 BMC.
因为 DM 平面 AMD，所以平面 AMD⊥平面 BMC.
(2)当 P 为 AM 的中点时，MC∥平面 PBD.
证明如下：
连接 AC 交 BD 于 O.
因为四边形 ABCD 为矩形，
所以 O 为 AC 的中点．
连接 OP，因为 P 为 AM 的中点，
所以 MC∥OP.
又 MC 平面 PBD，OP 平面 PBD，
所以 MC∥平面 PBD.
[题组训练]
1.如图，三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，PA＝1，AB＝1，AC
＝2，∠BAC＝60°.
(1)求三棱锥 P-ABC 的体积；
PM
(2)在线段 PC 上是否存在点 M，使得 AC⊥BM，若存在，请说明理由，并求 的值．
MC
解：(1)由题设 AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
1 3
可得 S△ABC＝ ·AB·AC·sin 60°＝ . 2 2
由 PA⊥平面 ABC，可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高，
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又 PA＝1，
1 3
所以三棱锥 P-ABC 的体积 V＝ ·S
3 △ABC
·PA＝ .
6
(2)在线段 PC 上存在点 M，使得 AC⊥BM，证明如下：
如图，在平面 ABC 内，过点 B 作 BN⊥AC，垂足为 N.在平面 PAC 内，过点 N 作 MN∥
PA 交 PC 于点 M，连接 BM.
由 PA⊥平面 ABC，知 PA⊥AC，
所以 MN⊥AC.
因为 BN∩MN＝N，所以 AC⊥平面 MBN，
又 BM 平面 MBN，
所以 AC⊥BM.
1
在 Rt△BAN 中，AN＝AB·cos∠BAC＝ ，
2
3
从而 NC＝AC－AN＝ ，
2
PM AN 1
由 MN∥PA，得 ＝ ＝ .
MC NC 3
2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为
正方形，BC＝PD＝2，E 为 PC 的中点，CB＝3CG.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)AD 边上是否存在一点 M，使得 PA∥平面 MEG？若存在，求
出 AM 的长；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：因为 PD⊥平面 ABCD，BC 平面 ABCD，
所以 PD⊥BC.
因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BC⊥CD.
又 PD∩CD＝D，PD 平面 PCD，CD 平面 PCD，
所以 BC⊥平面 PCD.
因为 PC 平面 PCD，所以 PC⊥BC.
(2)连接 AC，BD 交于点 O，连接 EO，GO，
延长 GO 交 AD 于点 M，连接 EM，则 PA∥平面 MEG.
证明如下：因为 E 为 PC 的中点，O 是 AC 的中点，
所以 EO∥PA.
因为 EO 平面 MEG，PA 平面 MEG，所以 PA∥平面 MEG.
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2
因为△OCG≌△OAM，所以 AM＝CG＝ ，
3
2
所以 AM 的长为 .
3
考点二 平面图形的翻折问题
[典例] (2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形 ABCM 中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以
AC 为折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA.
(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC；
2
(2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝DQ＝ DA，求三棱锥 Q-ABP
3
的体积．
解：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即 BA⊥AC.
又因为 BA⊥AD，AC∩AD＝A，
所以 AB⊥平面 ACD.
因为 AB 平面 ABC，
所以平面 ACD⊥平面 ABC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2.
2
又 BP＝DQ＝ DA，所以 BP＝2 2.
3
1
如图，过点 Q 作 QE⊥AC，垂足为 E，则 QE 綊 DC.
3
由已知及(1)可得，DC⊥平面 ABC，
所以 QE⊥平面 ABC，QE＝1.
1 1 1
因此，三棱锥 Q-ABP 的体积为 VQ-ABP＝ ×S3 △ABP×QE＝ × ×3×2 2sin 45°×1＝1. 3 2
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[题组训练]
1．(2019·湖北五校联考)如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，AB∥CD，
1
AD＝CD＝ AB＝2，E 为 AC 的中点，将△ACD 沿 AC 折起，使折起后的平面 ACD 与平面
2
ABC 垂直，得到如图 2 所示的几何体 D-ABC.
(1)求证：BC⊥平面 ACD；
(2)点 F 在棱 CD 上，且满足 AD∥平面 BEF，求几何体 F-BCE 的体积．
解：(1)证明：∵AC＝ AD2＋CD2＝2 2，
∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，
∴在△ABC 中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos 45°＝8，
∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC.
∵平面 ACD⊥平面 ABC，平面 ACD∩平面 ABC＝AC，
∴BC⊥平面 ACD.
(2)∵AD∥平面 BEF，AD 平面 ACD，平面 ACD∩平面 BEF＝EF，∴AD∥EF，
∵E 为 AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，
1
由(1)知，几何体 F-BCE 的体积 VF-BCE＝VB-CEF＝ ×S3 △CEF×BC，
1 1 1 1
S△CEF＝ S△ACD＝ × ×2×2＝ ， 4 4 2 2
1 1 2
∴VF-BCE＝ × ×2 2＝ . 3 2 3
2．(2018·合肥二检)如图 1，在平面五边形 ABCDE 中，AB∥CE，且 AE＝2，∠AEC＝
5
60°，CD＝ED＝ 7，cos∠EDC＝ .将△CDE 沿 CE 折起，使点 D 到 P 的位置，且 AP＝ 3，
7
得到如图 2 所示的四棱锥 P-ABCE.
(1)求证：AP⊥平面 ABCE；
(2)记平面 PAB 与平面 PCE 相交于直线 l，求证：AB∥l.
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5
证明：(1)在△CDE 中，∵CD＝ED＝ 7，cos∠EDC＝ ，
7
5
由余弦定理得 CE＝ ( 7)2＋( 7)2－2× 7× 7× ＝2.
7
连接 AC，
∵AE＝2，∠AEC＝60°，
∴AC＝2.
又 AP＝ 3，
∴在△PAE 中，AP2＋AE2＝PE2，
即 AP⊥AE.
同理，AP⊥AC.
∵AC∩AE＝A，AC 平面 ABCE，AE 平面 ABCE，
∴AP⊥平面 ABCE.
(2)∵AB∥CE，且 CE 平面 PCE，AB 平面 PCE，
∴AB∥平面 PCE.
又平面 PAB∩平面 PCE＝l，∴AB∥l.
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[课时跟踪检测]
1.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是圆内接四边形(记此圆为 W)，
且 PA⊥平面 ABCD.
(1)当 BD 是圆 W 的直径时，PA＝BD＝2，AD＝CD＝ 3，求四棱锥
P-ABCD 的体积．
(2)在(1)的条件下，判断在棱 PA 上是否存在一点 Q，使得 BQ∥平面 PCD？若存在，求
出 AQ 的长；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为 BD 是圆 W 的直径，所以 BA⊥AD，
因为 BD＝2，AD＝ 3，所以 AB＝1.
同理 BC＝1，所以 S 四边形 ABCD＝AB·AD＝ 3.
因为 PA⊥平面 ABCD，PA＝2，
1 2 3
所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V＝ S 四边形 ABCD·PA＝ . 3 3
2
(2)存在，AQ＝ .理由如下．
3
延长 AB，DC 交于点 E，连接 PE，则平面 PAB 与平面 PCD 的交线是 PE.
假设在棱 PA 上存在一点 Q，使得 BQ∥平面 PCD，
AQ AB
则 BQ∥PE，所以 ＝ .
PA AE
2
经计算可得 BE＝2，所以 AE＝AB＋BE＝3，所以 AQ＝ .
3
2
故存在这样的点 Q，使 BQ∥平面 PCD，且 AQ＝ .
3
2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，
AB∥CD，AB⊥AD，AA1＝4，DC＝2AB，AB＝AD＝3，点 M 在棱 A1B1
1
上，且 A1M＝ A1B1.已知点 E 是直线 CD 上的一点，AM∥平面 BC1E. 3
(1)试确定点 E 的位置，并说明理由；
(2)求三棱锥 M-BC1E 的体积．
解：(1)点 E 在线段 CD 上且 EC＝1，理由如下：
在棱 C1D1 上取点 N，使得 D1N＝A1M＝1，连接 MN，DN，
因为 D1N∥A1M，所以四边形 D1NMA1 为平行四边形，
所以 MN 綊 A1D1綊 AD.
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所以四边形 AMND 为平行四边形，所以 AM∥DN.
因为 CE＝1，所以易知 DN∥EC1，所以 AM∥EC1，
又 AM 平面 BC1E，EC1 平面 BC1E，
所以 AM∥平面 BC1E.
故点 E 在线段 CD 上且 EC＝1.
(2)由(1)知，AM∥平面 BC1E，
1 1
所以 VM-BC E＝VA-BC E＝VC -ABE＝ × ×3×3 2 ×4＝6. 1 1 1 3
3．(2019·湖北武汉部分学校调研)如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 是 CD
的中点，将△ADE 沿 AE 折起，得到如图 2 所示的四棱锥 D1-ABCE，其中平面 D1AE⊥平面
ABCE.
(1)证明：BE⊥平面 D1AE；
(2)设 F 为 CD1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使得 MF∥平面 D1AE，若存在，
AM
求出 的值；若不存在，请说明理由．
AB
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 为矩形且 AD＝DE＝EC＝BC＝2，
∴∠AEB＝90°，即 BE⊥AE，
又平面 D1AE⊥平面 ABCE，平面 D1AE∩平面 ABCE＝AE，
∴BE⊥平面 D1AE.
AM 1
(2)当 ＝ 时，MF∥平面 D
AB 4 1
AE，理由如下：
取 D1E 的中点 L，连接 FL，AL，
∴FL∥EC，又 EC∥AB，
1
∴FL∥AB，且 FL＝ AB，
4
∴M，F，L，A 四点共面，
又 MF∥平面 AD1E，∴MF∥AL.
∴四边形 AMFL 为平行四边形，
1 AM 1
∴AM＝FL＝ AB， ＝ .
4 AB 4
4．如图 1 所示，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，D 为 AC 的中点，AE⊥BD 于点 E(不同
于点 D)，延长 AE 交 BC 于点 F，将△ABD 沿 BD 折起，得到三棱锥 A1-BCD，如图 2 所示．
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(1)若 M 是 FC 的中点，求证：直线 DM∥平面 A1EF.
(2)求证：BD⊥A1F.
(3)若平面 A1BD⊥平面 BCD，试判断直线 A1B 与直线 CD 能否垂直？请说明理由．
解：(1)证明：∵D，M 分别为 AC，FC 的中点，
∴DM∥EF，
又∵EF 平面 A1EF，DM 平面 A1EF，
∴DM∥平面 A1EF.
(2)证明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，
A1E 平面 A1EF，EF 平面 A1EF，
∴BD⊥平面 A1EF，
又 A1F 平面 A1EF，∴BD⊥A1F.
(3)直线 A1B 与直线 CD 不能垂直．理由如下：
∵平面 BCD⊥平面 A1BD，平面 BCD∩平面 A1BD＝BD，EF⊥BD，EF 平面 BCD，
∴EF⊥平面 A1BD，
又∵A1B 平面 A1BD，∴A1B⊥EF，
又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.
假设 A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，
∴A1B⊥平面 BCD，
∴A1B⊥BD，与∠A1BD 为锐角矛盾，
∴直线 A1B 与直线 CD 不能垂直．
5．(2019·河南名校联考)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD
是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形 ACFE 是矩
形，且平面 ACFE⊥平面 ABCD，点 M 在线段 EF 上．
(1)求证：BC⊥平面 ACFE；
(2)当 EM 为何值时，AM∥平面 BDF？证明你的结论．
解：(1)证明：在梯形 ABCD 中，因为 AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，
所以四边形 ABCD 是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，
所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以 AC⊥BC.
又平面 ACFE⊥平面 ABCD，平面 ACFE∩平面 ABCD＝AC，BC 平面 ABCD，
所以 BC⊥平面 ACFE.
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3
(2)当 EM＝ a 时，AM∥平面 BDF，理由如下：
3
如图，在梯形 ABCD 中，设 AC∩BD＝N，连接 FN.
由(1)知四边形 ABCD 为等腰梯形，且∠ABC＝60°，所以 AB＝2DC，
则 CN∶NA＝1∶2.
2 3
易知 EF＝AC＝ 3a，所以 AN＝ a.
3
3
因为 EM＝ a，
3
2 2 3
所以 MF＝ EF＝ a，
3 3
所以 MF 綊 AN，
所以四边形 ANFM 是平行四边形，
所以 AM∥NF，
又 NF 平面 BDF，AM 平面 BDF，
所以 AM∥平面 BDF.
6.如图所示的五面体 ABEDFC 中，四边形 ACFD 是等腰梯形，AD
∥FC，∠DAC＝60°，BC⊥平面 ACFD，CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF，
点 G 为 AC 的中点．
(1)在 AD 上是否存在一点 H，使 GH∥平面 BCD？若存在，指出
点 H 的位置并给出证明；若不存在，说明理由；
(2)求三棱锥 G-ECD 的体积．
解：(1)存在点 H 使 GH∥平面 BCD，此时 H 为 AD 的中点．证明如下．
取点 H 为 AD 的中点，连接 GH，
因为点 G 为 AC 的中点，
所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知 GH∥CD，
又 GH 平面 BCD，CD 平面 BCD，
所以 GH∥平面 BCD.
(2)因为 AD∥CF，AD 平面 ADEB，CF 平面 ADEB，
所以 CF∥平面 ADEB，
因为 CF 平面 CFEB，平面 CFEB∩平面 ADEB＝BE，
所以 CF∥BE，
又 CF 平面 ACFD，BE 平面 ACFD，
所以 BE∥平面 ACFD，
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所以 VG-ECD＝VE-GCD＝VB-GCD.
因为四边形 ACFD 是等腰梯形，∠DAC＝60°，AD＝2CF＝2AC，所以∠ACD＝90°，
1
又 CA＝CB＝CF＝1，所以 CD＝ 3，CG＝ ，
2
又 BC⊥平面 ACFD，
1 1 1 1 1 3
所以 VB-GCD＝ × CG×CD×BC＝ × × × 3×1＝ . 3 2 3 2 2 12
3
所以三棱锥 G-ECD 的体积为 .
12
第七节 空间角
考点一 异面直线所成的角
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1的中点，则异面
直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( )
2 3
A. B.
2 2
5 7
C. D.
2 2
(2)(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面
都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑 ABCD 中，AB⊥平面
BCD，且 AB＝BC＝CD，则异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为( )
1 1
A. B．－
2 2
3 3
C. D．－
2 2
[解析] (1)如图，连接 BE，因为 AB∥CD，所以 AE 与 CD 所成
的角为∠EAB.在 Rt△ABE 中，设 AB＝2，则 BE＝ 5，则 tan ∠EAB
BE 5 5
＝ ＝ ，所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 .
AB 2 2
(2)如图，分别取 AB，AD，BC，BD 的中点 E，F，G，O，连
接 EF，EG，OG，FO，FG，则 EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG 为
异面直线 AC 与 BD 所成的角．易知 FO∥AB，因为 AB⊥平面 BCD，
所以 FO⊥平面 BCD，所以 FO⊥OG，设 AB＝2a，则 EG＝EF＝ 2
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