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所以 VG-ECD＝VE-GCD＝VB-GCD.
因为四边形 ACFD 是等腰梯形，∠DAC＝60°，AD＝2CF＝2AC，所以∠ACD＝90°，
1
又 CA＝CB＝CF＝1，所以 CD＝ 3，CG＝ ，
2
又 BC⊥平面 ACFD，
1 1 1 1 1 3
所以 VB-GCD＝ × CG×CD×BC＝ × × × 3×1＝ . 3 2 3 2 2 12
3
所以三棱锥 G-ECD 的体积为 .
12
第七节 空间角
考点一 异面直线所成的角
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1的中点，则异面
直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( )
2 3
A. B.
2 2
5 7
C. D.
2 2
(2)(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面
都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑 ABCD 中，AB⊥平面
BCD，且 AB＝BC＝CD，则异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为( )
1 1
A. B．－
2 2
3 3
C. D．－
2 2
[解析] (1)如图，连接 BE，因为 AB∥CD，所以 AE 与 CD 所成
的角为∠EAB.在 Rt△ABE 中，设 AB＝2，则 BE＝ 5，则 tan ∠EAB
BE 5 5
＝ ＝ ，所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 .
AB 2 2
(2)如图，分别取 AB，AD，BC，BD 的中点 E，F，G，O，连
接 EF，EG，OG，FO，FG，则 EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG 为
异面直线 AC 与 BD 所成的角．易知 FO∥AB，因为 AB⊥平面 BCD，
所以 FO⊥平面 BCD，所以 FO⊥OG，设 AB＝2a，则 EG＝EF＝ 2
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1
a，FG＝ a2＋a2＝ 2a，所以∠FEG＝60°，所以异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为 ，
2
故选 A.
[答案] (1)C (2)A
[题组训练]
1．在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB＝ 2BB1，则 AB1与 BC1 所成角的大小为( )
A．30° B．60°
C．75° D．90°
解析：选 D 将正三棱柱 ABC-A1B1C1 补为四棱柱 ABCD-A1B1C1D1，连接 C1D，BD，则
C1D∥B1A，∠BC1D 为所求角或其补角．设 BB1＝ 2，则 BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD
＝2 3，又因为 BC1＝C1D＝ 6，所以∠BC1D＝90°.
2.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，
(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小；
(2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求 A1C1 与 EF 所成角的大小．
解：(1)如图所示，连接 B1C，AB1，由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体，易
知 A1D∥B1C，从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°.
即 A1D 与 AC 所成的角为 60°.
(2)连接 BD，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，
AC⊥BD，AC∥A1C1，
∵E，F 分别为 AB，AD 的中点，
∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.
即 A1C1 与 EF 所成的角为 90°.
考点二 直线与平面所成的角
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AC1 与平面
BB1C1C 所成的角为 30°，则该长方体的体积为( )
A．8 B．6 2
C．8 2 D．8 3
9
(2)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 3的正三角4
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形．若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为________．
[解析] (1)如图，连接 AC1，BC1，AC.
∵AB⊥平面 BB1C1C，
∴∠AC1B 为直线 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角，∴∠AC1B＝30°.又 AB
2
＝BC＝2，在 Rt△ABC1 中，AC1＝ ＝4.在 Rt△ACC 中，CC ＝sin 30° 1 1
AC21－AC2＝ 42－(22＋22)＝2 2，
∴V 长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2 2＝8 2.
(2)如图所示，设 O 为△ABC 的中心，连接 PO，AO，易知 PO⊥平
1
面ABC，则∠PAO为PA与平面ABC所成的角．S△ABC＝ × 3× 3× sin 2
3 3
60°＝ ，
4
3 3 9
∴VABC-A ＝S△1B1C1 ABC·OP＝ ×OP＝ ，∴OP＝ 3. 4 4
3 2 OP
又 OA＝ 3× × ＝1，∴tan∠OAP＝ ＝ 3，∴∠OAP＝60°.
2 3 OA
故 PA 与平面 ABC 所成角为 60°.
[答案] (1)C (2)60°
[题组训练]
1．在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB＝1，点 D 在棱 BB1 上，且 BD＝1，则 AD 与平面
AA1C1C 所成角的正弦值为( )
10 6
A. B.
4 4
10 6
C. D.
5 5
解析：选 B 如图，取 AC，A1C1 的中点分别为 M，M1，连接 MM1，
BM，过点 D 作 DN∥BM 交 MM1 于点 N，则易证 DN⊥平面 AA1C1C，
连接 AN，则∠DAN 为 AD 与平面 AA1C1C 所成的角．在 Rt△DNA 中，
3
DN 2 6
sin∠DAN＝ ＝ ＝ .
AD 2 4
2．(2019·青海模拟)如图，正四棱锥 P-ABCD 的体积为 2，底面积为
6，E 为侧棱 PC 的中点，则直线 BE 与平面 PAC 所成的角为( )
A．60° B．30°
C．45° D．90°
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解析：选 A 如图，在正四棱锥 P-ABCD 中， 根据底面积为 6 可
得，BC＝ 6.连接 BD 交 AC 于点 O，连接 PO，则 PO 为正四棱锥 P-ABCD
的高，根据体积公式可得，PO＝1.因为 PO⊥底面 ABCD，所以 PO⊥BD，
又 BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以 BD⊥平面 PAC，连接 EO，则∠BEO
为直线 BE 与平面 PAC 所成的角．在 Rt△POA 中，因为 PO＝1，OA＝ 3，所以 PA＝2，
1 BO
OE＝ PA＝1，在 Rt△BOE 中，因为 BO＝ 3，所以 tan∠BEO＝ ＝ 3，即∠BEO＝60°.
2 OE
故直线 BE 与平面 PAC 所成角为 60°.
考点三 二面角
[典例] (1)已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 2 6，则侧面与底面所成的
二面角的平面角为________．
(2)已知△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝ 2，M 为 AB 的中点，现将△ACM
沿 CM 折起，得到三棱锥 P-CBM，如图所示．则当二面角 P-CM-B 的大小为
AB
60°时， ＝________.
PB
[解析] (1)如图，O 为正方形 ABCD 的中心，M 为 BC 的中点，连接 PO，
PM，OM，∠PMO 即为侧面与底面所成二面角的平面角．设底面边长为 a，
则 2a2＝(2 6)2，∴a＝2 3，∴OM＝ 3.
1
又四棱锥的体积 V＝ ×(2 3)2×PO＝12，∴PO＝3，
3
3
∴tan∠PMO＝ ＝ 3，∴∠PMO＝60°.故所求二面角为 60°.
3
(2)如图，取 BC 的中点 E，连接 AE，EM，PE，
设 AE∩CM＝O，连接 PO，
再设 AC＝2，由∠C＝90°，tan A＝ 2，可得 BC＝2 2.
在 Rt△MEC 中，可得 tan∠CME＝ 2，
在 Rt△ECA 中，可得 tan∠AEC＝ 2，
∴∠CME＋∠AEM＝90°，∴AE⊥CM，
∴PO⊥CM，EO⊥CM，∠POE 即为二面角 P-CM-B 的平面角，∴∠POE＝60°.
2 2 6 2 6∵AE＝ 2 ＋( 2) ＝ 6，OE＝1×sin∠CME＝ ，∴PO＝AO＝ .
3 3
在△POE 中，由余弦定理可得，
2 6
PE＝ 2
6 2 6 6 1
＋ 2－2× × × ＝ 2，
3 3 3 3 2
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∴PE2＋CE2＝PC2，即 PE⊥BC.
又∵E 为 BC 的中点，∴PB＝PC＝2.
AB
在 Rt△ACB 中，易得 AB＝2 3，∴ ＝ 3.
PB
[答案] (1)60° (2) 3
[题组训练]
1．已知二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，
且都垂直于 AB，已知 AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2 17，则该二面角的大小为( )
A．150° B．45°
C．120° D．60°
解析：选 D 如图，AC⊥AB，BD⊥AB，过 A 在平面 ABD 内作 AE
∥BD，过 D 作 DE∥AB，连接 CE，所以 DE＝AB 且 DE⊥平面 AEC，
∠CAE 即二面角的平面角．在 Rt△DEC 中，CD＝2 17，DE＝4，则
CA2＋AE2－CE2
CE＝2 13，在△ACE 中，由余弦定理可得 cos∠CAE＝
2CA×AE
1
＝ ，所以∠CAE＝60°，即所求二面角的大小为 60°.
2
2.如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不
同于 A，B 两点的任意一点，且 AB＝2，PA＝BC＝ 3，则二面角 A-BC-P
的大小为________．
解析：因为 AB 为⊙O 的直径，所以 AC⊥BC，又因为 PA⊥平面 ABC，
所以 PA⊥BC，因为 AC∩PA＝A，所以 BC⊥平面 PAC，所以 BC⊥PC，所
以∠PCA 为二面角 A-BC-P 的平面角．因为∠ACB＝90°，AB＝2，PA＝BC＝ 3，所以 AC＝
PA
1，所以在 Rt△PAC 中，tan∠PCA＝ ＝ 3.所以∠PCA＝60°.即所求二面角的大小为 60°.
AC
答案：60°
[课时跟踪检测]
1．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 AB，C1D1 的中点，则 A1B1 与平面 A1EF
所成角的正切值为( )
A．2 B. 2
C．1 D. 3
B1C
解析：选 B A1B1 与平面 A1EF 所成的角就是∠B1A1C，tan∠B1A1C＝ ＝ 2. A1B1
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4 3
2．在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面 ABCD，PA＝ ，那么二面角 A-BD-P
5
的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选 A 作 AO⊥BD 交 BD 于点 O，∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BD.
∵PA∩AO＝A，∴BD⊥平面 PAO，
∴PO⊥BD，∴∠AOP 即为所求二面角 A-BD-P 的大小．
AB·AD 12
∵AO＝ ＝ ，
BD 5
AP 3
∴tan∠AOP＝ ＝ ，故二面角 A-BD-P 的大小为 30°.
AO 3
3.如图，空间四边形 ABCD 的对角线 AC＝8，BD＝6，M，N 分别
为 AB，CD 的中点，且异面直线 AC 与 BD 所成的角为 90°，则 MN 的长
度为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选 A 如图，取 AD 的中点 P，连接 PM，PN，
1 1
则 PM∥BD，PN∥AC，PN＝ AC＝4，PM＝ BD＝3，
2 2
∴∠MPN 即为异面直线 AC 与 BD 所成的角，
∴∠MPN＝90°，∴MN＝5.故选 A.
4．已知 AB∥平面 α，AC⊥平面 α 于点 C，BD 是平面 α 的斜线，D
是斜足，若 AC＝9，BD＝6 3，则 BD 与平面 α所成的角的大小为________．
解析：如图，过 B 作 BE⊥平面 α，垂足为 E，则 BE＝9.连接 DE，
BE
则∠BDE 为 BD 与平面 α所成的角．在 Rt△BED 中，sin∠BDE＝ ＝
BD
3
，所以∠BDE＝60°.
2
答案：60°
7
5．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 ，SA 与圆锥
8
底面所成角为 45°，若△SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为________．
解析：如图，∵SA 与圆锥底面所成角为 45°，
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∴△SAO 为等腰直角三角形．
设 OA＝r，
则 SO＝r，SA＝SB＝ 2r.
7
在△SAB 中，cos ∠ASB＝ ，
8
15
∴sin ∠ASB＝ ，
8
1
∴S△SAB＝ SA·SB·sin ∠ASB 2
1 2 15＝ ×( 2r) × ＝5 15，
2 8
解得 r＝2 10，
∴SA＝ 2r＝4 5，即母线长 l＝4 5，
∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2 10×4 5＝40 2π.
答案：40 2π
160 5π
6．已知边长为 2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积V 球＝ ，3
则 OA 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为________．
解析：如图，过点 O 作 OM⊥平面 ABCD，垂足为点 M，则
点M为正方形ABCD的中心．∵正方形ABCD的边长为 2， ∴
4 160 5π
AC＝2 2，∴AM＝ 2.∵V 球＝ πr3＝ ，∴球 O 的半径 OA3 3
＝r＝2 5，∴OA 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为 cos
AM 2 10
∠OAM＝ ＝ ＝ .
OA 2 5 10
10
答案：
10
7.(2018·天津高考)如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，
平面 ABC⊥平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB＝2，AD＝2 3，∠BAD
＝90°.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；
(3)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值．
解：(1)证明：因为平面 ABC⊥平面 ABD，平面 ABC∩平面 ABD＝AB，AD⊥AB，AD
平面 ABD，
所以 AD⊥平面 ABC.
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因为 BC 平面 ABC，
所以 AD⊥BC.
(2)取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND.
又因为 M 为棱 AB 的中点，
所以 MN∥BC.
所以∠DMN(或其补角)为异面直线 BC 与 MD 所成的角．
在 Rt△DAM 中，AD＝2 3，AM＝1，
所以 DM＝ AD2＋AM2＝ 13.
因为 AD⊥平面 ABC，所以 AD⊥AC.
在 Rt△DAN 中，AN＝1，
所以 DN＝ AD2＋AN2＝ 13.
在等腰三角形 DMN 中，MN＝1，
1
MN
2 13
可得 cos∠DMN＝ ＝ .
DM 26
13
所以异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 .
26
(3)连接 CM.
因为△ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点，
所以 CM⊥AB，CM＝ 3.
因为平面 ABC⊥平面 ABD，平面 ABC∩平面 ABD＝AB，CM 平面 ABC，
所以 CM⊥平面 ABD，
所以∠CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角．
在 Rt△CAD 中，CD＝ AC2＋AD2＝4.
CM 3
在 Rt△CMD 中，sin∠CDM＝ ＝ .
CD 4
3
所以直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 .
4
8．(2019·湖北八校联考)如图，在 Rt△ABC 中，AB＝BC＝3，点 E，F 分别在线段 AB，
AC 上，且 EF∥BC，将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角 P-EF-B 的大小为 60°.
(1)求证：EF⊥PB；
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(2)当点 E 为线段 AB 的靠近 B 点的三等分点时，求四棱锥 P-EBCF 的侧面积．
解：(1)证明：在 Rt△ABC 中，∵AB＝BC＝3，∴BC⊥AB.
∵EF∥BC，∴EF⊥AB，翻折后垂直关系没变，仍有 EF⊥PE，EF⊥BE，
又 PE∩BE＝E，
∴EF⊥平面 PBE，∴EF⊥PB.
(2)∵EF⊥PE，EF⊥BE，
∴∠PEB 是二面角 P-EF-B 的平面角，
∴∠PEB＝60°，
又 PE＝2，BE＝1，由余弦定理得 PB＝ 3，
∴PB2＋BE2＝PE2，∴PB⊥BE，∴PB，BC，BE 两两垂直，
∴△PBE，△PBC，△PEF 均为直角三角形．
2
由△AEF∽△ABC 可得，EF＝ BC＝2，
3
1 3 3 1 3 1
S△PBC＝ BC·PB＝ ，S2 2 △PBE＝ PB·BE＝ ，S2 2 △PEF＝ EF·PE＝2. 2
在四边形 BCFE 中，过点 F 作 BC 的垂线，垂足为 H，
则 FC2＝FH2＋HC2＝BE2＋(BC－EF)2＝2，∴FC＝ 2.
在△PFC 中，FC＝ 2，PC＝ BC2＋PB2＝2 3，PF＝ PE2＋EF2＝2 2，
PF2＋FC2－PC2 1
由余弦定理可得 cos∠PFC＝ ＝－ ，
2PF·FC 4
15 1 15
则 sin∠PFC＝ ，S△PFC＝ PF·FCsin∠PFC＝ . 4 2 2
15
∴四棱锥 P-EBCF 的侧面积为 S△PBC＋S△PBE＋S△PEF＋S△PFC＝2＋2 3＋ . 2
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