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第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节 函数及其表示
一、基础知识
1．函数与映射的概念
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值
相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
求函数定义域的策略
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数 y＝f(x)是用表格给出，则表格中 x 的集合即为定义域．
(3)如果函数 y＝f(x)是用图象给出，则图象在 x 轴上的投影所覆盖的 x 的集合即为定义
域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是
判断两函数相等的依据.
两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．
(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函
数通常叫做分段函数．
关于分段函数的 3 个注意
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交．
考点一 函数的定义域
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ln(1－x) 1
[典例] (1)(2019·长春质检)函数 y＝ ＋ 的定义域是( )
x＋1 x
A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)
(2)已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则函数 f(2x＋1)的定义域为( )
1
A．(－1,1) B. －1，－ 2
1
C．(－1,0) D. ，1 2
1－x>0，

[解析] (1)由题意得 x＋1>0， 解得－1所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．
(2)令 u＝2x＋1，由 f(x)的定义域为(－1,0)，可知－11
得－12
[答案] (1)D (2)B
[解题技法]
1．使函数解析式有意义的一般准则
(1)分式中的分母不为 0；
(2)偶次根式的被开方数非负；
(3)y＝x0 要求 x≠0；
(4)对数式中的真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1；
π
(5)正切函数 y＝tan x，x≠kπ＋ (k∈Z)；
2
(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
2．抽象函数的定义域问题
(1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b
求出；
(2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]上的值域．
[题组训练]
1
1.函数 f(x)＝ ＋ 4－x2的定义域为( )
ln(x＋1)
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
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x＋1>0，

解析：选 B 由 ln(x＋1)≠0，
－ 2≥ ， 得－1f(x＋1)
2. 若 函 数 y ＝ f(x) 的 定 义 域 是 [1,2 019] ， 则 函 数 g(x) ＝ 的 定 义 域 是
x－1
________________．
解析：因为 y＝f(x)的定义域是[1,2 019]，
1≤x＋1≤2 019，
所以若 g(x)有意义，应满足
x－1≠0，
所以 0≤x≤2 018，且 x≠1.
因此 g(x)的定义域是{x|0≤x≤2 018，且 x≠1}．
答案：{x|0≤x≤2 018，且 x≠1}
考点二 求函数的解析式
[典例] (1)已知二次函数 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求 f(x)；
(2)已知函数 f(x)满足 f(－x)＋2f(x)＝2x，求 f(x)．
[解] (1)法一：待定系数法
因为 f(x)是二次函数，所以设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)
＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
4a＝4， a＝1，

所以 4a＋2b＝－6， 解得 b＝－5，
a＋b＋c＝5， c＝9，
所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法二：换元法
t－1
令 2x＋1＝t(t∈R)，则 x＝ ，
2
t－1 t－1所以 f(t)＝4 2－6· ＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
2 2
所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法三：配凑法
因为 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，
所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
(2)解方程组法
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由 f(－x)＋2f(x)＝2x， ①
－
得 f(x)＋2f(－x)＝2 x，②
x＋1 －①×2－②，得 3f(x)＝2 －2 x.
＋
2x 1
－
－2 x
即 f(x)＝ .
3
x＋1 －2 －2 x
故 f(x)的解析式是 f(x)＝ (x∈R)．
3
[解题技法] 求函数解析式的 4 种方法及适用条件
(1)待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程
(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．
(2)换元法
对于形如 y＝f(g(x))的函数解析式，令 t＝g(x)，从中求出 x＝φ(t)，然后代入表达式求出
f(t)，再将 t 换成 x，得到 f(x)的解析式，要注意新元的取值范围．
(3)配凑法
由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便
得 f(x)的解析式．
(4)解方程组法
1
已知关于 f(x)与 f x 或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方
程组，通过解方程组求出 f(x)．
[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析
式时，如果定义域不是 R，一定要注明函数的定义域．
[题组训练]
1. [口诀第2句]已知 f(x)是二次函数，且 f(0)＝0， f(x＋1)＝ f(x)＋x＋1，则 f(x)＝
________________.
解析：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由 f(0)＝0，知 c＝0，f(x)＝ax2＋bx.
又由 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
2a＋b＝b＋1， 1所以 解得 a＝b＝ . a＋b＝1， 2
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1 2 1所以 f(x)＝ x ＋ x(x∈R)．
2 2
1 1
答案： x2＋ x(x∈R)
2 2
2
2.[口诀第3句]已知 f ＋1 x ＝lg x，则 f(x)＝________________.
2 2 2
解析：令 ＋1＝t，得 x＝ ，则 f(t)＝lg ，又 x>0，所以 t>1，故 f(x)的解析式是 f(x)
x t－1 t－1
2
＝lg (x>1)．
x－1
2
答案：lg (x>1)
x－1
1
3.[口诀第4句]已知 f(x)满足 2f(x)＋f x ＝3x，则 f(x)＝________.
1
解析：∵2f(x)＋f x ＝3x，①
1 1 3
把①中的 x 换成 ，得 2f x ＋f(x)＝ .② x x
1 2f(x)＋f x ＝3x，
联立①②可得
1 3
2f x ＋f(x)＝ ，x
1
解此方程组可得 f(x)＝2x－ (x≠0)．
x
1
答案：2x－ (x≠0)
x
考点三 分段函数
考法(一) 求函数值
log3x，x>0，
[典例] (2019·石家庄模拟)已知 f(x)＝
a
x＋b，x≤0 (0则 f(f(－3))＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
－
[解析] 由题意得，f(－2)＝a 2＋b＝5，①
－
f(－1)＝a 1＋b＝3，②
1
联立①②，结合 02
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log 3
x，x>0，
所以 f(x)＝ 1 x
2 ＋1，x≤0，
1 －
则 f(－3)＝ 3 2 ＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
[答案] B
[解题技法] 求分段函数的函数值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间
对应的解析式求值；
(2)当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的
端点．
考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)
－
2 x ，x≤0，
[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝ 则满足 f(x＋1)0，
围是( )
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
[解析] 法一：分类讨论法
x＋1≤0，
①当 即 x≤－1 时， 2x≤0，
－ ＋ －
f(x＋1)即－(x＋1)<－2x，解得 x<1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
x＋1≤0，
②当 时，不等式组无解． 2x>0
x＋1>0，
③当 即－1－
f(x＋1)因此不等式的解集为(－1,0)．
x＋1>0，
④当 即 x>0 时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
2x>0，
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综上，不等式 f(x＋1)法二：数形结合法
－
2
x，x≤0，
∵f(x)＝
1，x>0，
∴函数 f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使 f(x＋1) x＋1<0，
x＋1≥0，
则需 2x<0， 或
2x<0，2x∴x<0，故选 D.
[答案] D
[解题技法]
已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法
(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应
段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；
(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
[题组训练]
x，0＜x＜1， 1
1．设 f(x)＝ 若 f(a)＝f(a＋1)，则 f ＝( )
2(x－1)，x≥1， a
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选 C 当 0＜a＜1 时，a＋1＞1，f(a)＝ a，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴ a＝2a，
1
解得 a＝ 或 a＝0(舍去)．
4
1
∴f a ＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当 a≥1 时，a＋1≥2，f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴2(a－1)＝2a，无解．
1综上，f a ＝6.
x
2 ，x≤1，
2．已知函数 f(x)＝ 则 f(f(3))＝________.
f(x－1)，x>1，
解析：由题意，得 f(3)＝f(2)＝f(1)＝21＝2，
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∴f(f(3))＝f(2)＝2.
答案：2
x＋1，x≤0， 1
3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝ 则满足 f(x)＋f x－ 2x，x>0， 2 >1 的 x 的取值范
围是________．
1 1
解析：由题意知，可对不等式分 x≤0,0 讨论．
2 2
1 1
①当 x≤0 时，原不等式为 x＋1＋x＋ >1，解得 x>－ ，
2 4
1
故－ 4
1 1
②当 01，显然成立．
2 2
1 1
③当 x> 时，原不等式为 2x＋2x－ >1，显然成立．
2 2
1
综上可知，所求 x 的取值范围是 － ，＋∞ 4 .
答案：
1
－ ，＋∞
4

1 x－7，x<0，
4．设函数 f(x)＝ 2 若 f(a)<1，则实数 a 的取值范围是____________． x，x≥0，
1 1
解析：若 a<0，则 f(a)<1 a a 2 －7<1 2 <8，解得 a>－3，故－3若 a≥0，则 f(a)<1 a<1，解得 a<1，故 0≤a<1.
综上可得－3答案：(－3,1)
[课时跟踪检测]
1．下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 B ①中当 x＞0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象；
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②中当 x＝x0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，
因此是函数图象．故选 B.
x 12．函数 f(x)＝ 2 －1＋ 的定义域为( )
x－2
A．[0,2) B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
x 2 －1≥0，
解析：选 C 由题意得 解得 x≥0，且 x≠2. x－2≠0，
1
3．已知 f x－1 2 ＝2x－5，且 f(a)＝6，则 a 等于( )
7 7
A. B．－
4 4
4 4
C. D．－
3 3
1
解析：选 A 令 t＝ x－1，则 x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，
2
7
则 4a－1＝6，解得 a＝ .
4
4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( )
A．y＝ x－1 B．y＝ln x
1 x＋1
C．y＝ x D．y＝ 3 －1 x－1
解析：选 D 对于 A，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于 B，
定义域为(0，＋∞)，值域为 R，不满足题意；对于 C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值
x＋1 2
域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于 D，y＝ ＝1＋ ，定义域为(－∞，
x－1 x－1
1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
log2x＋a，x>0，
5．(2018·福建期末)已知函数 f(x)＝ － 若 f(a)＝3，则 f(a－2)＝( ) 4x 2 －1，x≤0.
15
A．－ B．3
16
63 15
C．－ 或 3 D．－ 或 3
64 16
解析：选 A 当 a>0 时，若 f(a)＝3，则 log2a＋a＝3，解得 a＝2(满足 a>0)；当 a≤0 时，
－
若 f(a)＝3，则 4a 2－1＝3，解得 a＝3，不满足 a≤0，所以舍去．于是，可得 a＝2.故 f(a－
－ 15
2)＝f(0)＝4 2－1＝－ .
16
f(2x＋1)
6．已知函数 y＝f(2x－1)的定义域是[0,1]，则函数 的定义域是( )
log2(x＋1)
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A．[1,2] B．(－1,1]
C.
1
－ ，0
2 D．(－1,0)
解析：选 D 由 f(2x－1)的定义域是[0,1]，
得 0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，
∴f(x)的定义域是[－1,1]，
f(2x＋1)
∴要使函数 有意义，
log2(x＋1)
－1≤2x＋1≤1，

需满足 x＋1>0， 解得－1 x＋ 1≠1，
7．下列函数中，不满足 f(2 018x)＝2 018f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x
解析：选 C 若 f(x)＝|x|，则 f(2 018x)＝|2 018x|＝2 018|x|＝2 018f(x)；若 f(x)＝x－|x|，则
f(2 018x)＝2 018x－|2 018x|＝2 018(x－|x|)＝2 018f(x)；若 f(x)＝x＋2，则 f(2 018x)＝2 018x＋2，
而 2 018f(x)＝2 018x＋2 018×2，故 f(x)＝x＋2 不满足 f(2 018x)＝2 018f(x)；若 f(x)＝－2x，
则 f(2 018x)＝－2×2 018x＝2 018×(－2x)＝2 018f(x)．故选 C.
1
8．已知具有性质：f x ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
x，0
1 1 0，x＝1，
①f(x)＝x－ ；②f(x)＝x＋ ；③f(x)＝
x x
1
－ ，x>1. x
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①
1 1 1 1 1
解析：选 B 对于①，f(x)＝x－ ，f x ＝ －x＝－f(x)，满足题意；对于②，f

x x x ＝ ＋xx
1 1
，0< <1，x x 1 ，x>1，x1 1 1 1
＝f(x)，不满足题意；对于③，f ＝ 0， ＝1， x x 即 f x ＝ 0， 故 f ＝x＝1， x 1 －x，01，x
－f(x)，满足题意．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
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9．(2019·青岛模拟)函数 y＝ln
1
1＋ 2
x ＋ 1－x 的定义域为________．
1 1＋ >0， x<－1或x>0，
解析：由 x 0
－1≤x≤1
1－x2≥0
所以该函数的定义域为(0,1]．
答案：(0,1]
lg(1－x)，x<0，
10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数 f(x)＝ 则 f(f(－9))＝________. －2 x，x≥0，
lg(1－x)，x<0，
解析：∵函数 f(x)＝ ∴f(－9)＝lg 10＝1，∴f(f(－9))＝f(1)＝－2. －2 x，x≥0，
答案：－2
2x ，x＞0，
11．(2018·张掖一诊)已知函数 f(x)＝ 若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等 x＋1，x≤0，
于________．
解析：∵f(1)＝2，且 f(1)＋f(a)＝0，∴f(a)＝－2＜0，故 a≤0.
依题知 a＋1＝－2，解得 a＝－3.
答案：－3
1 x＋1，x≤0，
12．已知 f(x)＝ 2
－(x－1)2，x＞0， 使 f(x)≥－1 成立的 x 的取值范围是________．
x≤0， x＞0，
解析：由题意知 1 或
x＋1≥－1 －(x－1)
2≥－1，
2
解得－4≤x≤0 或 0＜x≤2，
故所求 x 的取值范围是[－4,2]．
答案：[－4,2]
ax＋b，x＜0，
13．设函数 f(x)＝ 且 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． x 2 ，x≥0，
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)在如图所示的直角坐标系中画出 f(x)的图象．
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－2a＋b＝3，
解：(1)由 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得
－a＋b＝2，
a＝－1， －x＋1，x＜0，
解得 所以 f(x)＝
b＝1， x 2 ，x≥0.
(2)函数 f(x)的图象如图所示．
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