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第二节 函数的单调性与最值
一、基础知识
1．增函数、减函数
定义：设函数 f(x)的定义域为 I：
(1)增函数：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1时，都有 f(x1)(2)减函数：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数．
增(减)函数定义中的 x1，x2 的三个特征
一是任意性；二是有大小，即 x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．单调性、单调区间
若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)
单调性，区间 D 叫做函数 y＝f(x)的单调区间.
有关单调区间的两个防范
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用
“逗号”或“和”连接．
3．函数的最值
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M 或 f(x)≥M.
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M.
那么，我们称 M 是函数 y＝f(x)的最大值或最小值．
函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定
在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、常用结论
在公共定义域内：
(1)函数 f(x)单调递增，g(x)单调递增，则 f(x)＋g(x)是增函数；
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(2)函数 f(x)单调递减，g(x)单调递减，则 f(x)＋g(x)是减函数；
(3)函数 f(x)单调递增，g(x)单调递减，则 f(x)－g(x)是增函数；
(4)函数 f(x)单调递减，g(x)单调递增，则 f(x)－g(x)是减函数；
(5)若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与 f(x)单调性相反；
1
(6)函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反；
f(x)
(7)复合函数 y＝f[g(x)]的单调性与 y＝f(u)和 u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
考点一 确定函数的单调性(区间))
[典例] (1)求函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋1 的单调区间．
ax
(2)试讨论函数 f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性．
x－1
－x
2＋2x＋1，x≥0，
[解] (1)易知 f(x)＝
2
－x －2x＋1，x<0
－(x－1)
2＋2，x≥0，
＝
－(x＋1)2＋2，x<0.
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，
单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)法一：定义法
设－1 x－1＋1 1
f(x)＝ a ＝a 1＋ ，
x－

1 x－1
1 1则 f(x1)－f(x2)＝a 1＋
1＋
x －1
－a
1 x2－1
a(x2－x1)
＝ .
(x1－1)(x2－1)
由于－1所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，
函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；
当 a<0 时，f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)函数 f(x)在(－1,1)上单调递增．
法二：导数法
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(ax)′(x－1)－ax(x－1)′
f′(x)＝
(x－1)2
a(x－1)－ax a
＝ ＝－ .
(x－1)2 (x－1)2
当 a>0 时，f′(x)<0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；
当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递增．
[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法
(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．
(2)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的上升
或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．
(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复
合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．
[题组训练]
1．下列函数中，满足“ x1，x2∈(0，＋∞)且 x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|
1
C．f(x)＝ －x D．f(x)＝ln(x＋1)
x
解析：选 C 由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0 可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D 选项中，
1 1
f(x)为增函数；B 中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于 f(x)＝ －x，因为 y＝ 与 y＝－
x x
x 在(0，＋∞)上单调递减，因此 f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
1
2．函数 f(x)＝log (x2－4)的单调递增区间是( )
2
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
1 1
解析：选 D 令 t＝x2－4，则 y＝log t.因为 y＝log t 在定义域上是减函数，所以求原函
2 2
数的单调递增区间，即求函数 t＝x2－4 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区
间为(－∞，－2)．
a
3．判断函数 f(x)＝x＋ (a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
x
解：设 x1，x2 是任意两个正数，且 x1a a x1－x2
则 f(x1)－f(x2)＝ x ＋ 1 x ＋ x － 2 x ＝ (x1x2－a)． 1 2 x1x2
当 0第 50页/共1004页
所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，
所以函数 f(x)在(0， a ]上是减函数；
当 a≤x1a，x1－x2<0，
所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)所以函数 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
a
综上可知，函数 f(x)＝x＋ (a>0)在(0， a ]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数．
x
考点二 求函数的值域(最值))
[典例] (1)(2019 深圳调研)函数 y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
a 1 1
(2)若函数 f(x)＝－ ＋b(a>0)在 ，2 ，2 2 上的值域为 2 ，则 a＝________，b＝________. x
2 －x －4x，x≤0，
(3)函数 f(x)＝ 的最大值为________． sin x，x>0
[解析] (1)图象法
－2x＋1，x≤－1，

函数 y＝ 3，－1 2x－1，x≥2.
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数 y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．
(2)单调性法
a 1
∵f(x)＝－ ＋b(a>0)在 ，2 2 上是增函数， x
1 1
∴f(x)min＝f 2 ＝ ，f(x)max＝f(2)＝2. 2
1
－2a＋b＝ ，2 5
即 解得 a＝1，b＝ . a 2 － ＋b＝2，2
(3)当 x≤0 时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时 f(x)在 x＝－2 处
取得最大值，且 f(－2)＝4；当 x>0 时，f(x)＝sin x，此时 f(x)在区间(0，＋∞)上的最大值为
1.综上所述，函数 f(x)的最大值为 4.
5
[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 (3)4
2
[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．
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(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数
的最大值，最小的作为分段函数的最小值．
[题组训练]
x2＋4
1．函数 f(x)＝ 的值域为________．
x
4
解析：当 x>0 时，f(x)＝x＋ ≥4，
x
当且仅当 x＝2 时取等号；
4
当 x<0 时，－x＋ － x ≥4，
4
即 f(x)＝x＋ ≤－4，
x
当且仅当 x＝－2 取等号，
所以函数 f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)
π 2π2．若 x∈ － ， 6 3 ，则函数 y＝4sin
2x－12sin x－1 的最大值为________，最小值为
________．
解析：令 t＝sin x，因为 x∈
π 2π
－ ，
6 3 ，
1
所以 t∈ － ，1 2 2 ，y＝f(t)＝4t －12t－1，
3 1
因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为 t＝ ，所以当 t∈ － ，1 2 时，函数 f(t)2
单调递减，
1
所以当 t＝－ 时，y
2 max
＝6；
当 t＝1 时，ymin＝－9.
答案：6 －9
x2＋2x＋a
3．已知 f(x)＝ ，x∈[1，＋∞)，且 a≤1.若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，
x
则实数 a 的取值范围是________．
解析：对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立等价于 x2＋2x＋a>0 在 x∈[1，＋∞)上恒成
立，即 a>－x2－2x 在 x∈[1，＋∞)上恒成立．
又函数 y＝－x2－2x 在[1，＋∞)上单调递减，
∴(－x2－2x)max＝－3，故 a>－3，
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又∵a≤1，∴－3答案：(－3,1]
考点三 函数单调性的应用
考法(一) 比较函数值的大小
[典例] 设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则 f(－2)，f(π)，
f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)[解析] 因为 f(x)是偶函数，所以 f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又因为函数 f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
所以 f(π)>f(3)>f(2)，即 f(π)>f(－3)>f(－2)．
[答案] A
[解题技法] 比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化
到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
考法(二) 解函数不等式
x 2 ，x<2，
[典例] 设函数 f(x)＝ 若 f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数 a 的取值范围是( ) x2 ，x≥2.
A．(－∞，1] B．(－∞，2]
C．[2,6] D．[2，＋∞)
[解析] 易知函数 f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，
∴a＋1≥2a－1，解得 a≤2.故实数 a 的取值范围是(－∞，2]．
[答案] B
[解题技法] 求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉
“f”，得到一般的不等式 g(x)>h(x)(或 g(x)考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)
a a
[典例] (2019 南京调研)已知函数 f(x)＝x－ ＋ 在(1，＋∞)上是增函数，则实数 a 的
x 2
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取值范围是________．
[解析] 设 11.
∵函数 f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
a a a a
∴f(x1)－f(x2)＝x1－ ＋ － x － ＋ x1 2
2 x2 2
a
＝(x1－x 2) 1＋ x x <0. 1 2
a
∵x1－x2<0，∴1＋ >0，即 a>－x x . x1x 1 22
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．
[答案] [－1，＋∞)
[解题技法]
利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单
调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[题组训练]
1．已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，当 x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)]·(x2
1
－x1)<0 恒成立，设 a＝f － 2 ，b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：选 D 由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，故函
1 5
数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，所以 a＝f － 2 ＝f 2 .当 x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)](x2－
x1)<0 恒成立，等价于函数 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以 b>a>c.
ax2
1
－x－ ，x≤1，
2．已知函数 f(x)＝ 4 是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是
logax－1，x>1
( )
1 1 1 1A. ， 4 2 B.
，
4 2
1 1C. 0， 2 D.
，1
2
解析：选 B 由对数函数的定义可得 a>0，且 a≠1.
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1
又函数 f(x)在 R 上单调，而二次函数 y＝ax2－x－ 的图象开口向上，
4
所以函数 f(x)在 R 上单调递减，
0
1 1
≥1， 0故有 2a 即 2 2 1 1 a×1 －1－ ≥loga1－1， a≥ . 4 4
1 1所以 a∈ ， 4 2 .
[课时跟踪检测]
A 级
1．下列四个函数中，在 x∈(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
1
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
x＋1
3
解析：选 C 当 x>0 时，f(x)＝3－x 为减函数；当 x∈ 0， 2 时，f(x)＝x
2－3x 为减函数，
3 1当 x∈ ，＋∞ 时，f(x)＝x2 2 －3x 为增函数；当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ 为增函数；当x＋1
x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．若函数 f(x)＝ax＋1 在 R 上单调递减，则函数 g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是
( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
解析：选 B 因为 f(x)＝ax＋1 在 R 上单调递减，所以 a<0.
而 g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a.
因为 a<0，所以 g(x)在(－∞，2)上单调递增．
3．已知函数 f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f(2x
1
－1)＜f 3 的 x 的取值范围是( )
1 2 1 2
A. ， 3 3 B.
，
3 3
1 2 1 2C. ， D. ， 2 3 2 3
1
解析：选 D 因为函数 f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足 f(2x－1)＜f 3 .
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1 1 2
所以 0≤2x－1＜ ，解得 ≤x＜ .
3 2 3
4．(2019·菏泽模拟)定义新运算 ：当 a≥b 时，a b＝a；当 a数 f(x)＝(1 x)x－(2 x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )
A．－1 B．1
C．6 D．12
解析：选 C 由题意知当－2≤x≤1 时，f(x)＝x－2，当 1＝x－2，f(x)＝x3－2 在相应的定义域内都为增函数，且 f(1)＝－1，f(2)＝6，∴f(x)的最大值
为 6.
5．已知函数 f(x)是 R 上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式
－3＜f(x＋1)＜1 的解集的补集是(全集为 R)( )
A．(－1,2) B．(1,4)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞) D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析：选 D 由函数 f(x)是 R 上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不
等式－3＜f(x＋1)＜1 即为 f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以 0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式
－3＜f(x＋1)＜1 的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
－x
2－ax－5，x≤1，

6．已知函数 f(x)＝ a 是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围是 ，x>1 x
( )
A．[－3,0) B．(－∞，－2]
C．[－3，－2] D．(－∞，0)
a
－ ≥1，
2
解析：选 C 若 f(x)是 R 上的增函数，则应满足 a<0， 解得－3≤a≤

a
－12－a×1－5≤ ，
1
－2.
7．已知函数 f(x)＝ x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为________．
解析：设 t＝x2－2x－3，由 t≥0，即 x2－2x－3≥0，解得 x≤－1 或 x≥3，所以函数 f(x)
的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数 t＝x2－2x－3 的图象的对称轴为 x＝1，所以
函数 t＝x2－2x－3 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数 f(x)的单调
递增区间为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
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1 ，x≥1，
8．函数 f(x)＝ x 的最大值为________． －x2＋2，x<1
1
解析：当 x≥1 时，函数 f(x)＝ 为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值，为 f(1)＝1；
x
当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2.故函数 f(x)的最大值为
2.
答案：2
1 3
9．若函数 f(x)＝ 在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为 ，则 a＝________.
x 4
1 1
解析：由 f(x)＝ 的图象知，f(x)＝ 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a] (0，＋∞)，
x x
1
∴f(x)＝ 在[2，a]上也是减函数，
x
1 1
∴f(x)max＝f(2)＝ ，f(x)min＝f(a)＝ ， 2 a
1 1 3
∴ ＋ ＝ ，∴a＝4.
2 a 4
答案：4
x＋a－1
10．(2019·甘肃会宁联考)若 f(x)＝ 在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数 a 的
x＋2
取值范围是________．
x＋a－1 x＋2＋a－3 a－3
解析：f(x)＝ ＝ ＝1＋ ，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，
x＋2 x＋2 x＋2
需使 a－3<0，解得 a<3.
答案：(－∞，3)
1 1
11．已知函数 f(x)＝ － (a＞0，x＞0)．
a x
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
1 1(2)若 f(x)在 ，2 2 上的值域是
，2
2 ，求 a 的值．
解：(1)证明：任取 x1＞x2＞0，
1 1 1 1 x1－x2
则 f(x1)－f(x2)＝ － － ＋ ＝ ， a x1 a x2 x1x2
∵x1＞x2＞0，
∴x1－x2＞0，x1x2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
即 f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
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1
(2)由(1)可知，f(x)在 ，2 2 上是增函数，
1∴f
1 1 1 1
2 ＝ －2＝ ，f(2)＝ － ＝2， a 2 a 2
2
解得 a＝ .
5
x
12．已知 f(x)＝ (x≠a)．
x－a
(1)若 a＝－2，试证 f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若 a＞0 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围．
x
解：(1)证明：当 a＝－2 时，f(x)＝ .
x＋2
任取 x1，x2∈(－∞，－2)，且 x1＜x2，
x1 x2 2(x1－x2)
则 f(x1)－f(x2)＝ － ＝ .
x1＋2 x2＋2 (x1＋2)(x2＋2)
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，
所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任取 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1＜x2，
x1 x2 a(x2－x1)
则 f(x1)－f(x2)＝ － ＝ .
x1－a x2－a (x1－a)(x2－a)
因为 a＞0，x2－x1＞0，又由题意知 f(x1)－f(x2)＞0，
所以(x1－a)(x2－a)＞0 恒成立，所以 a≤1.
所以 0＜a≤1.
所以 a 的取值范围为(0,1]．
B 级
2m
1．若 f(x)＝－x2＋4mx 与 g(x)＝ 在区间[2,4]上都是减函数，则 m 的取值范围是( )
x＋1
A．(－∞，0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0，＋∞) D．(0,1]
解析：选 D 函数 f(x)＝－x2＋4mx 的图象开口向下，且以直线 x＝2m 为对称轴，若在
2m 2m
区间[2,4]上是减函数，则 2m≤2，解得 m≤1；g(x)＝ 的图象由 y＝ 的图象向左平移一
x＋1 x
个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则 2m>0，解得 m>0.综上可得，m 的取值范围
是(0,1]．
2．已知函数 f(x)＝ln x＋x，若 f(a2－a)>f(a＋3)，则正数 a 的取值范围是________．
解析：因为 f(x)＝ln x＋x 在(0，＋∞)上是增函数，
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2
a －a>a＋3，

所以 a2－a>0， 解得－33. a＋3>0，
又 a>0，所以 a>3.
答案：(3，＋∞)
3．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：
①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当 x>0 时，f(x)>－1.
(1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是单调增函数;
(2)若 f(1)＝1，解关于 x 的不等式 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解：(1)令 x＝y＝0，得 f(0)＝－1.
在 R 上任取 x1>x2，则 x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又 f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，
所以函数 f(x)在 R 上是单调增函数．
(2)由 f(1)＝1，得 f(2)＝3，f(3)＝5.
由 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4 得 f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数 f(x)在 R 上是增函数，故 x2＋x＋1>3，
解得 x<－2 或 x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2 或 x>1}．
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