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第三节 函数的奇偶性与周期性
一、基础知
1．函数的奇偶性
偶函数 奇函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x
定义 都有 f(－x)＝f(x) ，那 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么
么函数 f(x)是偶函数 函数 f(x)是奇函数
图象特征 关于 y 轴对称 关于原点对称
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
若 f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
f(－x)
(1)f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1 f(x)为偶函数；
f(x)
f(－x)
(2)f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1 f(x)为奇函数．
f(x)
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋
T)＝f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
周期函数定义的实质
存在一个非零常数 T，使 f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量 x 每增加一个 T 后，函数值
就会重复出现一次．
(2)最小正周期
如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)
的最小正周期．
二、常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数 f(x)是奇函数且在 x＝0 处有定义，则一定有 f(0)＝0；如果函数 f(x)是偶函
数，那么 f(x)＝f(|x|)．
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(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相
反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝
奇．
2．函数周期性常用结论
对 f(x)定义域内任一自变量 x：
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)．
1
(2)若 f(x＋a)＝ ，则 T＝2a(a>0)．
f(x)
1
(3)若 f(x＋a)＝－ ，则 T＝2a(a>0)．
f(x)
3．函数图象的对称性
(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a
对称．
(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直
线 x＝a 对称．
(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，即 f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中
心对称．
考点一 函数奇偶性的判断
[典例] 判断下列函数的奇偶性：
36－x2
(1)f(x)＝ ；
|x＋3|－3
(2)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；
log (1－x22 )
(3)f(x)＝ ；
|x－2|－2
x
2＋x，x<0，
(4)f(x)＝
x2 －x，x>0.
2
36－x2 36－x ≥0， －6≤x≤6，
[解] (1)由 f(x)＝ ，可知 故函数 f(x)的定义
|x＋3|－3 |x＋3|－3≠0 x≠0且x≠－6，
域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故 f(x)为非奇非偶函数．
1－x2 ≥0，
(2)由 x2＝1 x＝±1，故函数 f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且
2 x －1≥0
f(x)＝0，所以 f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．
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1－x
2>0，
(3)由 －1定义域关于原点对称．
log (1－x2) log (1－x2 22 2 ) log2(1－x )
此时 f(x)＝ ＝ ＝－ ，
|x－2|－2 2－x－2 x
log2[1－(－x)2] log2(1－x2)
故有 f(－x)＝－ ＝ ＝－f(x)，
－x x
所以函数 f(x)为奇函数．
(4)法一：图象法
x2 ＋x，x<0，
画出函数 f(x)＝ 的图象如图所示，图象关于 y 轴对称， x2－x，x>0
故 f(x)为偶函数．
法二：定义法
易知函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当 x>0 时，f(x)＝x2－x，则当 x<0 时，－x>0，故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当 x<0 时，f(x)
＝x2＋x，则当 x>0 时，－x<0，故 f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．
法三：f(x)还可以写成 f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故 f(x)为偶函数．
[题组训练]
1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( )
πA．y＝tan x＋ 4 B．y＝x
2＋e|x|
C．y＝xcos x D．y＝ln|x|－sin x
解析：选 B 对于选项 A，易知 y＝tan
π
x＋
4 为非奇非偶函数；对于选项 B，设 f(x)＝
－
x2＋e|x|，则 f(－x)＝(－x)2＋e| x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以 y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项 C，设 f(x)
＝xcos x，则 f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以 y＝xcos x 为奇函数；对于选项 D，
设 f(x)＝ln|x|－sin x，则 f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以 y
＝ln|x|－sin x 为非奇非偶函数，故选 B.
ex
－
－e x
2．设函数 f(x)＝ ，则下列结论错误的是( )
2
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
x －e －e x
解析：选 D ∵f(x)＝ ，
2
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－
e x－ex
则 f(－x)＝ ＝－f(x)．
2
∴f(x)是奇函数．
∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．
考点二 函数奇偶性的应用
[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数 y＝f(x)是 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝2x，则
当 x>0 时，f(x)＝( )
x －A．－2 B．2 x
－
C．－2 x D．2x
2
(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数 f(x)＝a－ x (a∈R)是奇函数，则函数 f(x)的值域为e ＋1
( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－3,3) D．(－4,4)
－
[解析] (1)当 x>0 时，－x<0，∵x<0 时，f(x)＝2x，∴当 x>0 时，f(－x)＝2 x.∵f(x)是 R
－
上的奇函数，∴当 x>0 时，f(x)＝－f(－x)＝－2 x.
2 2 2
(2)法一：由 f(x)是奇函数知 f(－x)＝－f(x)，所以 a－ －
e x
＝－a＋ ，得 2a＝
＋1 ex＋1 ex＋1
2 1 ex 2
＋ x
1
－x ，所以 a＝ x ＋ x ＝1，所以 f(x)＝1－ x .因为 e ＋1>1，所以 0< <1，e ＋1 e ＋1 e ＋1 e ＋1 ex＋1
2
－1<1－ x <1，所以函数 f(x)的值域为(－1,1)． e ＋1
法二：函数 f(x)的定义域为 R，且函数 f(x)是奇函数，所以 f(0)＝a－1＝0，即 a＝1，所
2 1 2
以 f(x)＝1－ x .因为 e
x＋1>1，所以 0< x <1，－1<1－ x <1，所以函数 f(x)的值域为(－e ＋1 e ＋1 e ＋1
1,1)．
[答案] (1)C (2)A
[解题技法]
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
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(2)求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构
造关于 f(x)的方程(组)，从而得到 f(x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等
性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
[题组训练]
1．(2019·贵阳检测)若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝log2(x＋2)－1，
则 f(－6)＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：选 C 根据题意得 f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.
2．已知函数 f(x)为奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2－x，则当 x<0 时，函数 f(x)的最大值为
________．
解析：法一：当 x<0 时，－x>0，所以 f(－x)＝x2＋x.又因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(x)
1 1 1
＝－f(－x)＝－x2－x＝－ x＋ 2 2 ＋ ，所以当 x<0 时，函数 f(x)的最大值为 . 4 4
1 1 1
法二：当 x>0 时，f(x)＝x2－x＝ x－ 2 2 － ，最小值为－ ，因为函数 f(x)为奇函数，所4 4
1
以当 x<0 时，函数 f(x)的最大值为 .
4
1
答案：
4
3．(2018·合肥八中模拟)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝________.
解析：∵f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即－xln( a＋x2－x)＝xln(x＋ a＋x2)，从而 ln[( a＋x2)2－x2]＝0，即 ln
a＝0，故 a＝1.
答案：1
考点三 函数的周期性
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[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝－f(x＋2)，当 x∈(0,2]
时，f(x)＝2x＋log2x，则 f(2 019)＝( )
1
A．5 B.
2
C．2 D．－2
(2)(2018·江苏高考)函数 f(x)满足 f(x＋4)＝ f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上， f(x)＝
πx
cos ，0 则 f(f(15))的值为________． 1 x＋ 2 ，－2[解析] (1)由 f(x)＝－f(x＋2)，得 f(x＋4)＝f(x)，所以函数 f(x)是周期为 4 的周期函数，
所以 f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.
(2)由函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，
可知函数 f(x)的周期是 4，
1 1
所以 f(15)＝f(－1)＝ －1＋ 2 ＝ ， 2
所以 f(f(15))＝f
1 π 2
2 ＝cos ＝ . 4 2
2
[答案] (1)D (2)
2
[题组训练]
1
1．(2019·山西八校联考)已知 f(x)是定义在R上的函数，且满足 f(x＋2)＝－ ，当 2≤x≤3
f(x)
11
时，f(x)＝x，则 f － 2 ＝________.
1
解析：∵f(x＋2)＝－ ，∴f(x＋4)＝f(x)，
f(x)
∴f
11 5－
2 ＝f 2 ，又 2≤x≤3 时，f(x)＝x，
5 5 11 5∴f － 2 ＝ ，∴f 2 ＝ . 2 2
5
答案：
2
2．(2019·哈尔滨六中期中)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当 x∈[－2,1)时，f(x)
2
4x －2，－2≤x≤0，
＝ 则 f f 21 4 ＝________. x，021 3 3 3 1 1 1
解析：由题意可得 f ＝f 6－ － － 2 4 4 ＝f 4 ＝4× 4 －2＝ ，f 4 ＝ . 4 4
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1
答案：
4
[课时跟踪检测]
A 级
1．下列函数为奇函数的是( )
1－x
A．f(x)＝x3＋1 B．f(x)＝ln
1＋x
C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x
1＋x
解析：选 B 对于 A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于 B，f(－x)＝ln
1－x
1－x －
＝－ln ＝－f(x)，所以其是奇函数；对于 C，f(－x)＝e x≠－f(x)，所以其不是奇函数；
1＋x
对于 D，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选 B.
9x＋1
2．(2019·南昌联考)函数 f(x)＝ x 的图象( ) 3
A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线 y＝x 对称
9x＋1
解析：选 B 因为 f(x)＝ ＝3x
－
＋3 xx ，易知 f(x)为偶函数，所以函数 f(x)的图象关于 y3
轴对称．
log2(x＋1)，x≥0，
3．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)＝ 则 f(－7)＝( ) g(x)，x＜0，
A．3 B．－3
C．2 D．－2
解析：选 B 因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，
log2(x＋1)，x≥0，
且 f(x)＝
g(x)，x＜0，
所以 f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.
4．若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝ex，则 g(x)＝( )
A．ex
－x 1 －－e B. (ex＋e x)
2
1 － 1 －
C. (e x－ex) D. (ex－e x)
2 2
－
解析：选 D 因为 f(x)＋g(x)＝ex，所以 f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e x，
1 －
所以 g(x)＝ (ex－e x)．
2
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5
5．设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x2－x，则 f － 2 ＝( )
1 1
A．－ B．－
4 2
1 1
C. D.
4 2
5 5 1
解析：选 C 因为 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，所以 f － 2 ＝－f 2 ＝－f 2 .
1 1 1 1 5 1
又当 0≤x≤1 时，f(x)＝x2－x，所以 f 2 ＝
2
2 － ＝－ ，则 f
－
2 4 2 ＝ . 4
6．(2019·益阳、湘潭调研)定义在 R 上的函数 f(x)，满足 f(x＋5)＝f(x)，当 x∈(－3,0]时，
f(x)＝－x－1，当 x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于( )
A．403 B．405
C．806 D．809
解析：选 B 定义在 R 上的函数 f(x)，满足 f(x＋5)＝f(x)，即函数 f(x)的周期为 5.又当 x
∈(0,2]时，f(x)＝log2x，所以 f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当 x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，
所以 f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝
403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)
＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.
1
7．已知函数 f(x)是偶函数，当 x＞0 时，f(x)＝ln x，则 f f e2 的值为________．
1 1
解析：由已知可得 f e2 ＝ln 2＝－2， e
1
所以 f f

e2 ＝f(－2)．
又因为 f(x)是偶函数，
1
所以 f f e2 ＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.
答案：ln 2
1
8．(2019·惠州调研)已知函数 f(x)＝x＋ －1，f(a)＝2，则 f(－a)＝________.
x
1
解析：法一：因为 f(x)＋1＝x＋ ，
x
1
设 g(x)＝f(x)＋1＝x＋ ，
x
1
易判断 g(x)＝x＋ 为奇函数，
x
1 1
故 g(x)＋g(－x)＝x＋ －x－ ＝0，
x x
即 f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故 f(x)＋f(－x)＝－2.
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所以 f(a)＋f(－a)＝－2，故 f(－a)＝－4.
1
法二：由已知得 f(a)＝a＋ －1＝2，
a
1 1 1
即 a＋ ＝3，所以 f(－a)＝－a－ －1＝－ a＋ －1＝－3－1＝－4.
a a a
答案：－4
9．(2019·陕西一测)若函数 f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数 g(x)
a
＝bx＋ ，x∈[－4，－1]的值域为________．
x
解析：由函数 f(x)的图象关于原点对称，可得 a－4＋a＝0，即 a＝2，则函数 f(x)＝2x＋
2
b，其定义域为[－2,2]，所以 f(0)＝0，所以 b＝0，所以 g(x)＝ ，易知 g(x)在[－4，－1]上单
x
1
调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即 －2，－ 2 .
1
答案： －2，－ 2
10．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足 f(x)>0
的 x 的取值范围是____________．
解析：当 x>0 时，lg x>0，所以 x>1，
当 x<0 时，由奇函数的对称性得－1故填(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
11．f(x)为 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求 f(x)的解析式．
解：当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－f(－x)，
所以当 x<0 时，f(x)＝2x2＋3x－1.
因为 f(x)为 R 上的奇函数，故 f(0)＝0.
－2x2 ＋3x＋1，x>0，

综上可得 f(x)的解析式为 f(x)＝ 0，x＝0， 2x2＋3x－1，x<0.
3 3
12．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 有 f ＋x 2 ＝－f
－x
2 成立．
(1)证明 y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若 f(1)＝2，求 f(2)＋f(3)的值．
3 3
解：(1)证明：由 f ＋x －x 2 ＝－f 2 ，
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3 3 3 3
且 f(－x)＝－f(x)，知 f(3＋x)＝f ＋ ＋x 2 ＝－f
－ ＋x ＝－f(－x)＝f(x)，
2 2 2
所以 y＝f(x)是周期函数，且 T＝3 是其一个周期．
(2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0，
且 f(－1)＝－f(1)＝－2，又 T＝3 是 y＝f(x)的一个周期，所以 f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝
－2＋0＝－2.
B 级
1．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，则函数
y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选 B 因为 f(x)是最小正周期为 2 的周期函数，且 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x＝x(x
－1)(x＋1)，
所以当 0≤x<2 时，f(x)＝0 有两个根，即 x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当 2≤x<4 时，f(x)＝0 有两个根，即 x3＝2，x4＝3；当 4≤x≤6
时，f(x)＝0 有三个根，即 x5＝4，x6＝5，x7＝6，故 f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个
数为 7.
2．(2019·洛阳统考)若函数 f(x)＝ln(ex＋1)＋ax 为偶函数，则实数 a＝________.
解析：法一：(定义法)∵函数 f(x)＝ln(ex＋1)＋ax 为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
－
即 ln(e x＋1)－ax＝ln(ex＋1)＋ax，
－
e x－ ＋1 1
∴2ax＝ln(e x＋1)－ln(ex＋1)＝ln x ＝ln x＝－x， e ＋1 e
1
∴2a＝－1，解得 a＝－ .
2
法二：(特殊值法)由题意知函数 f(x)的定义域为 R，由 f(x)为偶函数得 f(－1)＝f(1)，
－1
－ － e ＋1 1
∴ln(e 1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a，∴2a＝ln(e 1＋1)－ln(e1＋1)＝ln ＝ln ＝－1，
e＋1 e
1
∴a＝－ .
2
1
答案：－
2
－x2 ＋2x，x>0，

3．已知函数 f(x)＝ 0，x＝0， 是奇函数．
x2＋ mx，x<0
(1)求实数 m 的值；
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(2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围．
解：(1)设 x<0，则－x>0，
所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，
于是 x<0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以 m＝2.
(2)要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
a－2>－1，
结合 f(x)的图象(如图所示)知 所以 1＜a≤3， a－2≤1，
故实数 a 的取值范围是(1,3]．
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