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第四节 函数性质的综合问题
考点一 函数的单调性与奇偶性
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若 f(1)
＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1 的 x 的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
(2)函数 y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数 f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
5 7 7 5
A．f(1)7 5 5
C．f
7
2 [解析] (1)∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得 f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.
(2)∵函数 y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数 f(x＋2)是偶函数，
∴函数 y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数 y＝f(x)满足 f(2－x)＝f(2＋x)，
7 5
∴f(1)＝f(3)，f 2
2 ，
即 f
7 5
2
2 .
[答案] (1)D (2)B
[解题技法]
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同
的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成 f(x1)>f(x2)或
f(x1)参数的影响．
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[题组训练]
1．已知函数 f(x)满足以下两个条件：①任意 x1，x2∈(0，＋∞)且 x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)
－f(x2)]<0；②对定义域内任意 x 有 f(x)＋f(－x)＝0，则符合条件的函数是( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝1－|x|
C．f(x)＝－x3 D．f(x)＝ln(x2＋3)
解析：选 C 由条件①可知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则可排除 A、D 选项，由条
件②可知，f(x)为奇函数，则可排除 B 选项，故选 C.
2．(2018·石家庄一模)设 f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，
则 f(x－1)≥f(3)的解集为( )
A．[－3,3] B．[－2,4]
C．[－1,5] D．[0,6]
解析：选 B 因为 f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，
所以有－2b＋3＋b＝0，解得 b＝3，
由函数 f(x)在[－6,0]上为增函数，得 f(x)在(0,6]上为减函数，故 f(x－1)≥f(3) f(|x－
1|)≥f(3) |x－1|≤3，故－2≤x≤4.
考点二 函数的周期性与奇偶性
[典例] (2017·山东高考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝f(x－2)．若当 x
－
∈[－3,0]时，f(x)＝6 x，则 f(919)＝________.
[解析] ∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为 6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．
又 f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
[答案] 6
[解题技法]
已知 f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求
函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区
间上的函数性质求解．
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[题组训练]
3
1．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)＝－f x＋ 2 ，且 f(1)＝2，则 f(2 018)＝________.
3
解析：因为 f(x)＝－f x＋ ，所以 f(x＋3)＝f
3 3
x＋ ＋ ＝－f
3
x＋
2 2 2 2
＝f(x)．
所以 f(x)是以 3 为周期的周期函数．
则 f(2 018)＝f(672×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
2．已知 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数，若 f(1)<1，f(5)＝2a－3，则实数 a 的取
值范围为________．
解析：∵f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，
f(5)＝2a－3<1，即 a<2.
答案：(－∞，2)
考点三 函数性质的综合应用
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1
＋x)．若 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
(2)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f
3 1
x＋ ＝f(x)，当 x∈ 0， 2 2 时，f(x)＝log 1 (1－x)，
2
3
则 f(x)在区间 1， 2 内是( )
A．减函数且 f(x)>0 B．减函数且 f(x)<0
C．增函数且 f(x)>0 D．增函数且 f(x)<0
[解析] (1)法一：∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由 f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数 f(x)是周期为 4 的周期函数．
由 f(x)为奇函数得 f(0)＝0.
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又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又 f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
π
法二：由题意可设 f(x)＝2sin x 2 ，作出 f(x)的部分图象如图所示．由图
可知，f(x)的一个周期为 4，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)
＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
1
(2)当 x∈ 0， 2 时，由 f(x)＝log 1 (1－x)可知，f(x)单调递增且 f(x)>0，又函数 f(x)为奇
2
1 3 3
函数，所以 f(x)在区间 － ，0 2 上也单调递增，且 f(x)<0.由 f
x＋
2 ＝f(x)知，函数的周期为 ，2
3
所以在区间 1， 2 上，函数 f(x)单调递增且 f(x)<0.
[答案] (1)C (2)D
[解题技法]
(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在 x＝0 处有定义，
则一定有 f(0)＝0；偶函数一定有 f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．
(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区
间，再利用奇偶性和单调性求解．
[题组训练]
1．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正
确的是( )
A．0C．f(1)<0解析：选 C 由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，得 f(0)＝0.
由 f(x＋2)＝－f(x)，
得 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
故函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数，
所以 f(3)＝f(－1)．
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又 f(x)在[0,2)上单调递减，
所以函数 f(x)在(－2,2)上单调递减，
所以 f(－1)>f(0)>f(1)，
即 f(1)<02．已知函数 y＝f(x)的定义域为 R，且满足下列三个条件：①对任意的 x1，x2∈[4,8]，
f(x1)－f(x2)
当 x10 恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若 a＝f(6)，
x1－x2
b＝f(11)，c＝f(17)，则 a，b，c 的大小关系正确的是( )
A．aC．a解析：选 B 由①知函数 f(x)在区间[4,8]上单调递增．由②知 f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
所以函数 f(x)的周期为 8，所以 b＝f(11)＝f(3)，c＝f(17)＝f(2×8＋1)＝f(1)．由③可知 f(x)的
图象关于直线 x＝4 对称，所以 b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．因为函数 f(x)在区间[4,8]
上单调递增，所以 f(5)[课时跟踪检测]
A 级
1．(2019·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
－
A．y＝ex＋e x B．y＝ln(|x|＋1)
sin x 1
C．y＝ D．y＝x－
|x| x
解析：选 D 选项 A，B 显然是偶函数，排除；选项 C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不
1 1
是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－ 是奇函数，且 y＝x和 y＝－ 在(0， ＋
x x
1
∞)上均为增函数，故 y＝x－ 在(0，＋∞)上为增函数，所以选项 D 正确．
x
1
2．下列函数中，与函数 y＝ x－2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是( ) 2
1
A．y＝cos x B．y＝x
3
1 －x
2，x≥0，
C．y＝ D．y＝
x 2 x ，x<0
1
解析：选 D 函数 y＝ x－2x 为奇函数，且在 R 上单调递减．函数 y＝cos x2
1
是偶函数，且在 R 上不单调．函数 y＝x 是奇函数，但在 R 上单调递增．函数 y
3
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－x21 ，x≥0，
＝ 的定义域是{x|x≠0}，不是 R.画出函数 y＝ 的大致图象如图所示，可知该x x2，x<0
函数是奇函数，且在 R 上单调递减．故选 D.
5 5
3．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有 f x＋ 2 ＋f(x)＝0，当－ ≤x≤0 时，f(x)＝2
x＋a，则
4
f(16)的值为( )
1 1
A. B．－
2 2
3 3
C. D．－
2 2
解析：选 A 由 f
5 5
x＋
2 ＋f(x)＝0，得 f(x)＝－f
x＋
2 ＝f(x＋5)，
∴f(x)是以 5 为周期的周期函数，
∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)．
∵f(x)是 R 上的奇函数，
∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1.
5
∴当－ ≤x≤0 时，f(x)＝2x－1，
4
－ 1
∴f(－1)＝2 1－1＝－ ，
2
1 1
∴f(1)＝ ，∴f(16)＝ .
2 2
4．已知函数 f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上( )
A．有最大值 4 B．有最小值－4
C．有最大值－3 D．有最小值－3
解析：选 B 法一：根据题意作出 y＝f(x)的简图，由图知，选 B.
法二：当 x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得 f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，
∴－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上，f(x)min＝－4，f(x)max＝3，
故选 B.
5．(2018·惠州一调)已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在(－∞，0]上是减函数，且 f(1)＝2，
则不等式 f(log2x)>2 的解集为( )
1
A．(2，＋∞) B. 0， 2 ∪(2，＋∞)
2
C. 0， ∪( 2，＋∞) D．( 2，＋∞)
2
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解析：选 B 因为 f(x)是 R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，
所以 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
1
所以 f(log2x)>2＝f(1) f(|log2x|)>f(1) |log2x|>1 log2x>1 或 log2x<－1 x>2 或 06．(2019·合肥调研)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，
则有( )
3 1
A．f 1
2 4
4
1 1 3
B．f － 4
2
C．f
3 11
－
2 4 4
1 3 1
D．f － 4 解析：选 C 因为 f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为 4，
3 1 1
作出 f(x)的草图，如图，由图可知 f － 2 5
7．设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f(x)＝2x(1－x)，则 f － 2 ＝________.
5 5
解析：f － － ＋2
1
－
1 1
2 ＝f 2 ＝f 2 ＝－f 2 ＝－ . 2
1
答案：－
2
8．(2018·合肥二模)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当 x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x
＋1)，则函数 f(x)在[1,2]上的解析式是________________．
解析：令 x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，结合题意可得 f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)，
令 x∈[1,2]，则 x－2∈[－1,0]，故 f(x)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)．
故函数 f(x)在[1,2]上的解析式是 f(x)＝log2(3－x)．
答案：f(x)＝log2(3－x)
19．已知定义在 R 上的奇函数 y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且 f 2 ＝0，则 f(x)>0 的
解集为_______________．
1
解析：由奇函数 y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且 f 2 ＝0，可知函数 y＝f(x)在(－∞，
1 1 1
0)内单调递增，且 f － 2 ＝0.由 f(x)>0，可得 x> 或－ 第 77页/共1004页
1 1 答案： x －
2 2
10．已知函数 f(x)为偶函数，且函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y＝x 对称，若 g(3)＝2，
则 f(－2)＝________.
解析：因为函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y＝x 对称，且 g(3)＝2，所以 f(2)＝3.因为函
数 f(x)为偶函数，所以 f(－2)＝f(2)＝3.
答案：3
11．设 f(x)是定义域为 R 的周期函数，最小正周期为 2，且 f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0
时，f(x)＝－x.
(1)判断 f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数 f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又 f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．
又 f(x)的定义域为 R，∴f(x)是偶函数．
(2)当 x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则 f(x)＝f(－x)＝x；
从而当 1≤x≤2 时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
－x，x∈[－1，0]，

故 f(x)＝ x，x∈(0，1)，
－x＋2，x∈ [1，2].
12．设函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x.
(1)求 f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4 时，求函数 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积．
解：(1)由 f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，
所以 f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由 f(x)是奇函数且 f(x＋2)＝－f(x)，
得 f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即 f(1＋x)＝f(1－x)．
故函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称．
又当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示．
第 78页/共1004页
当－4≤x≤4 时，设 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，
1
则 S＝4S △OAB＝4× ×2×1 2 ＝4.
B 级
1．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(0)>f(log32)>f(－log23)
B．f(log32)>f(0)>f(－log23)
C．f(－log23)>f(log32)>f(0)
D．f(－log23)>f(0)>f(log32)
解析：选 C ∵log23>log22＝1＝log33>log32>0，且函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(log23)>f(log32)>f(0)，又函数 f(x)为偶函数，∴f(log23)＝f(－log23)，
∴f(－log23)>f(log32)>f(0)．
2．定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＋f(x＋2)＝0，且 f(4－x)＝f(x)．现有以下三种
叙述：
①8 是函数 f(x)的一个周期；
②f(x)的图象关于直线 x＝2 对称；
③f(x)是偶函数．
其中正确的序号是________．
解析：由 f(x)＋f(x＋2)＝0，得 f(x＋2)＝－f(x)，
则 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即 4 是 f(x)的一个周期，8 也是 f(x)的一个周期，故①正确；
由 f(4－x)＝f(x)，得 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，故②正确；
由 f(4－x)＝f(x)与 f(x＋4)＝f(x)，
得 f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，
即函数 f(x)为偶函数，故③正确．
答案：①②③
3．设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x＝1 对称，对任意 x ，x ∈
1
1 2 0， 2 ，
都有 f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)．
1 1
(1)设 f(1)＝2，求 f 2 ，f 4 ；
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(2)证明：f(x)是周期函数．
1 x x
解：(1)由 f(x1＋x2)＝f(x 1)·f(x2)，x1，x2∈ 0， 2 ，知 f(x)＝f

2 ·f 2 ≥0，x∈[0,1]．
1 1 1 1 1
∵f(1)＝f ＋ ＝f 2 2 2 ·f
2
2 ＝ f 2 ，f(1)＝2，
1
1
∴f 2 ＝2
2 .
1
1 1 1 1 1 1 1
∵f ＋ 2 2 2 ＝f 4 4 ＝f 4 ·f 4 ＝ f 4 ，f 2 ＝2 ，
1
1
∴f 4 ＝2
4 .
(2)证明：依题设，y＝f(x)关于直线 x＝1 对称，
∴f(x)＝f(2－x)．
又∵f(－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(2－x)，∴f(x)＝f(2＋x)，
∴f(x)是定义在 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期．
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