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第五节 函数的图象
一、基础知识
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线．
2．函数图象的变换
(1)平移变换
a>0，右移a个单位
①y＝f(x)的图象――――――――→y＝f(x－a)的图象；
a<0，左移|a|个单位
b>0，上移b个单位
②y＝f(x)的图象――――――――→y＝f(x)＋b 的图象．
b<0，下移|b|个单位
“左加右减，上加下减”，左加右减只针对 x 本身，与 x 的系数,无关，上加下减指的
是在 f(x)整体上加减.
(2)对称变换
关于x轴对称
①y＝f(x)的图象―――――→y＝－f(x)的图象；
关于y轴对称
②y＝f(x)的图象―――――→y＝f(－x)的图象；
关于原点对称
③y＝f(x)的图象――――――→y＝－f(－x)的图象；
关于直线y＝x对称
④y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象―――――――→y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
1
a>1，横坐标缩短为原来的 纵坐标不变
①y＝f(x)的图象―――――――――――――1―a ―――――→y＝f(ax)的图象．
0a
a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变
②y＝f(x)的图象――――――――――――――――――――→y＝af(x)的图象．
0(4)翻折变换
x轴下方部分翻折到上方
①y＝f(x)的图象 ――→ y＝|f(x)|的图象；
x轴及上方部分不变
y轴右侧部分翻折到左侧
②y＝f(x)的图象 ――→ y＝f(|x|)的图象．
原y轴左侧部分去掉，右侧不变
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二、常用结论
1．函数图象自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x) 函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称；
(2)函数 y＝f(x)的图象关于 x＝a 对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋
x)；
(3)若函数 y＝f(x)的定义域为 R，且有 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x
a＋b
＝ 对称．
2
2．函数图象自身的中心对称
(1)f(－x)＝－f(x) 函数 y＝f(x)的图象关于原点对称；
(2)函数 y＝f(x)的图象关于(a,0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(x)＝－f(2a－x) f(－x)＝－
f(2a＋x)；
(3)函数 y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－
x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
b－a
(1)函数 y＝f(a＋x)与 y＝f(b－x)的图象关于直线 x＝ 对称(由 a＋x＝b－x 得对称轴方
2
程)；
(2)函数 y＝f(x)与 y＝f(2a－x)的图象关于直线 x＝a 对称；
(3)函数 y＝f(x)与 y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数 y＝f(x)与 y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
考点一 作函数的图象
[典例] 作出下列函数的图象．
－2x＋3，x≤1，
(1)y＝
－x2＋4x－2，x>1；
＋
(2)y＝2x 2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
[解] (1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．
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(2)y＝2x
＋2 的图象是由 y＝2x的图象向左平移 2 个单位长度得到的，其图象如图②所示．
x2 －2x－1，x≥0，
(3)y＝ 其图象如图③所示．
x2 ＋2x－1，x<0，
[变透练清]
1 －
1.[变条件]若本例(2)变为 y＝ x 2 2 ，试作出其图象．
1 － 1
解：y＝ x 2 2 的图象是由 y＝
x
2 的图象向右平移 2 个单位长度得到的，其图象如图
所示．
2.[变条件]若本例(3)变为 y＝|x2－2x－1|，试作出其图象．
x2－2x－1，x≥1＋ 2或x≤1－ 2，
解：y＝ 其图象如图所示．
－x2＋2x＋1，1－ 2第 83页/共1004页
考点二 函数图象的识辨
－
ex－e x
[例 1] (2018·全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝ 2 的图象大致为( ) x
－
[解析] ∵y＝ex－e x是奇函数，y＝x2 是偶函数，
－
ex－e x
∴f(x)＝ 2 是奇函数，图象关于原点对称，排除 A 选项； x
1
当 x＝1 时，f(1)＝e－ >0，排除 D 选项；
e
1 1 1
又 e>2，∴ < ，∴e－ >1，排除 C 选项．故选 B.
e 2 e
[答案] B
[例 2] 已知定义在区间[0,4]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则 y＝－f(2－x)的图象为
( )
[解析] 法一：先作出函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴的对称图象，得到 y＝f(－x)的图象；
然后将 y＝f(－x)的图象向右平移 2 个单位，得到 y＝f(2－x)的图象；
再作 y＝f(2－x)的图象关于 x 轴的对称图象，得到 y＝－f(2－x)的图象．故选 D.
法二：先作出函数 y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到 y＝－f(－x)的图象；然后
将 y＝－f(－x)的图象向右平移 2 个单位，得到 y＝－f(2－x)的图象．故选 D.
[答案] D
[解题技法]
1．函数图象与解析式之间的 4 种对应关系
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下
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位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间
上单调性一致，偶函数的图象关于 y 轴对称，在对称的区间上单调性相反；
(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点．
2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点
(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；
(2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换．
3．借助动点探究函数图象
解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以
静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．
[题组训练]
x
2，x≥0

1．(2019 郑州调研)已知函数 f(x)＝ 1 ，g(x)＝－f(－x)，则函数 g(x)的图象是
，x<0 x
( )
－x
2，x≤0，

解析：选 D 法一：由题设得函数 g(x)＝－f(－x)＝ 1 据此可画出该函数
，x>0， x
的图象，如题图选项 D 中图象．故选 D.
法二：先画出函数 f(x)的图象，如图 1 所示，再根据函数 f(x)与－f(－x)的图象关于坐标
原点对称，即可画出函数－f(－x)，即 g(x)的图象，如图 2 所示．故选 D.
2.如图，不规则四边形 ABCD 中，AB 和 CD 是线段，AD 和 BC 是圆
弧，直线 l⊥AB 交 AB 于 E，当 l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点)时，
把四边形 ABCD 分成两部分，设 AE＝x，左侧部分的面积为 y，则 y 关于
x 的图象大致是( )
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解析：选 C 当 l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了 D 点后面积
保持匀速增加，图象呈直线变化，过了 C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选 C.
考点三 函数图象的应用
考法(一) 研究函数的性质
[典例] 已知函数 f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
x2 －2x，x≥0，
[解析] 将函数 f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值得 f(x)＝
2
－x －2x，x<0，
画出函数 f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，
故函数 f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
[答案] C
[解题技法] 利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
考法(二) 在不等式中的应用
[典例] 若不等式(x－1)20，且 a≠1)在 x∈(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范
围为( )
2
A．(1,2] B. ，1
2
C．(1， 2) D．( 2，2)
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[解析] 要使当 x∈(1,2)时，不等式(x－1)2数 y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在 y＝logax 的图象的下方即可．
当 01 时，如图，要使 x∈(1,2)时，y
＝(x－1)2 的图象在 y＝logax 的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即
loga2≥1，解得 1[答案] A
[解题技法]
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象
的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．
[题组训练]
f(x)－f(－x)
1．设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(1)＝0，则不等式 <0 的解集为
x
( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选 D 因为 f(x)为奇函数，
f(x)－f(－x) f(x)
所以不等式 <0 可化为 <0，
x x
即 xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．
所以 xf(x)<0 的解集为(－1,0)∪(0,1)．
a，a≥b，
2．对 a，b∈R，记 max{a，b}＝ 函数 f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最 b，a小值是________．
解析：函数 f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，
3
由图象可得，其最小值为 .
2
3
答案：
2
x
log 2 － 2 ，x≤－1，
3．已知函数 f(x)＝ 若 f(x)在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，1 2 4 2 － x ＋ x＋ ，x>－1，3 3 3
则实数 m 的取值范围为________．
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x
解析：作出函数 f(x)的图象，当 x≤－1 时，函数 f(x)＝log 2 － 2 单调递减，且最小值为
x 1 4 2
f(－1)＝－1，则令 log 2 － 2 ＝2，解得 x＝－8；当 x>－1 时，函数 f(x)＝－ x
2＋ x＋ 在(－
3 3 3
2
1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为 f(2)＝2，又 f(4)＝ <2，f(－1)＝－1，
3
故所求实数 m 的取值范围为[－8，－1]．
答案：[－8，－1]
[课时跟踪检测]
A 级
1．为了得到函数 y＝2x－2 的图象，可以把函数 y＝2x 的图象上所有的点( )
A．向右平行移动 2 个单位长度
B．向右平行移动 1 个单位长度
C．向左平行移动 2 个单位长度
D．向左平行移动 1 个单位长度
解析：选 B 因为 y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数 y＝2x 的图象上所有的点向右平
移 1 个单位长度，即可得到 y＝2(x－1)＝2x－2 的图象．
2．若函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
解析：选 C 要想由 y＝f(x)的图象得到 y＝－f(x＋1)的图象，需要先将 y＝f(x)的图象关
于 x 轴对称得到 y＝－f(x)的图象，然后向左平移 1 个单位长度得到 y＝－f(x＋1)的图象，根
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据上述步骤可知 C 正确．
3．(2018·浙江高考)函数 y＝2|x|sin 2x 的图象可能是( )
解析：选 D 由 y＝2|x|sin 2x 知函数的定义域为 R，
令 f(x)＝2|x|sin 2x，
－
则 f(－x)＝2| x|sin(－2x)＝－2|x|sin 2x.
∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．
∴f(x)的图象关于原点对称，故排除 A、B.
kπ
令 f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得 x＝ (k∈Z)，
2
π
∴当 k＝1 时，x＝ ，故排除 C，选 D.
2
14．下列函数 y＝f(x)图象中，满足 f 4 ＞f(3)＞f(2)的只可能是( )
1 1
解析：选 D 因为 f 4 ＞f(3)＞f(2)，所以函数 f(x)有增有减，排除 A、B.在 C 中，f

4 ＜
1
f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即 f 4 ＜f(3)，排除 C，选 D.
5.已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是( )
ln|x| ex
A．f(x)＝ B．f(x)＝
x x
1 1
C．f(x)＝ 2－1 D．f(x)＝x－ x x
1
解析：选 A 由函数图象可知，函数 f(x)为奇函数，应排除 B、C.若函数为 f(x)＝x－ ，
x
则 x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除 D.
6．已知函数 y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，则函数 y＝f(x)的图象关于 x 轴的对称图形一定
过点________．
解析：因为函数 y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，所以函数 y＝f(x)的图象一定过点(4,2)，所
以函数 y＝f(x)的图象关于 x 轴的对称图形一定过点(4，－2)．
答案：(4，－2)
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7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线
的一部分组成，则 f(x)的解析式为________．
解析：当－1≤x≤0 时，设解析式为 f(x)＝kx＋b(k≠0)，
－k＋b＝0， k＝1，
则 得 b＝1， b＝1.
∴当－1≤x≤0 时，f(x)＝x＋1.
当 x＞0 时，设解析式为 f(x)＝a(x－2)2－1(a≠0)，
∵图象过点(4,0)，
1
∴0＝a(4－2)2－1，∴a＝ .
4
x＋1，－1≤x≤0，
故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝ 1
(x－2)
2－1，x＞0.
4
x＋1，－1≤x≤0，
答案：f(x)＝ 1
(x－2)2 －1，x＞0 4
8．如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)≥log2(x＋1)的解集为________．
解析：令 y＝log2(x＋1)，作出函数 y＝log2(x＋1)图象如图所示．
x＋y＝2， x＝1，
由 得
y＝log2(x＋1) y＝1.
∴结合图象知不等式 f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1答案：{x|－19．画出下列函数的图象．
(1)y＝eln x；
(2)y＝|x－2|·(x＋1)．
解：(1)因为函数的定义域为{x|x>0}且 y＝eln x＝x(x>0)，
所以其图象如图所示．
(2)当 x≥2，即 x－2≥0 时，
1
y＝(x－2)(x＋1)＝x2
9
－x－2＝ x－ 2 2 － ； 4
当 x<2，即 x－2<0 时，
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1 9
y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－ x－ 2 2 ＋ . 4
1 9
x－ 2 2 － ，x≥2，4
所以 y＝
1－ x－ 2
9
2 ＋ ，x<2. 4
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象
如图所示)．
2
3－x ，x∈[－1，2]，
10．已知函数 f(x)＝
x－3，x∈(2，5].
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象；
(2)写出 f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值．
解：(1)函数 f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知，函数 f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．
(3)由图象知当 x＝2 时，f(x)min＝f(2)＝－1，
当 x＝0 时，f(x)max＝f(0)＝3.
B 级
1．若函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式 xf(x)>0 在 (－
1,3)上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选 C 作出函数 f(x)的图象如图所示．
当 x∈(－1,0)时，由 xf(x)>0 得 x∈(－1,0)；
当 x∈(0,1)时，由 xf(x)>0 得 x∈ ；
当 x∈(1,3)时，由 xf(x)>0 得 x∈(1,3)．
故 x∈(－1,0)∪(1,3)．
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2．(2019·山西四校联考)已知函数 f(x)＝|x2－1|，若 0围是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(1， 2) D．(1,2)
解析：选 C 作出函数 f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所
示，作出直线 y＝1，交 f(x)的图象于点 B，由 x2－1＝1 可得 xB＝ 2，结
合函数图象可得 b 的取值范围是(1， 2)．
1
3．已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)＝x＋ ＋2 的图象关于点 A(0,1)对称．
x
(1)求 f(x)的解析式；
a
(2)若 g(x)＝f(x)＋ ，且 g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数 a 的取值范围．
x
解：(1)设 f(x)图象上任一点 P(x，y)，则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(－x,2－y)在 h(x)
的图象上，
1 1
即 2－y＝－x－ ＋2，∴y＝f(x)＝x＋ (x≠0)．
x x
a a＋1 a＋1
(2)g(x)＝f(x)＋ ＝x＋ ，∴g′(x)＝1－ 2 . x x x
a＋1
∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－ 2 ≤0 在(0,2]上恒成立，即 a＋1≥x2在(0,2]上恒成立， x
∴a＋1≥4，即 a≥3，故实数 a 的取值范围是[3，＋∞)．
4．若关于 x 的不等式 4ax－1<3x－4(a>0，且 a≠1)对于任意的 x>2 恒成立，求 a 的取值
范围．
－ － 3
解：不等式 4ax 1<3x－4 等价于 ax 1< x－1.
4
－ 3
令 f(x)＝ax 1，g(x)＝ x－1，
4
当 a>1 时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；
当 0当 x≥2 时，f(2)≤g(2)，
2－ 3即 a 1≤ ×2－1，
4
1 1
解得 a≤ ，所以 a 的取值范围是 0，
2 2 .
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