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第六节 二次函数
一、基础知识
1．二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图象与性质
二次函数系数的特征
(1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数 a 的正负决定图象的开口方向及开口大小；
b
(2)－ 的值决定图象对称轴的位置；
2a
(3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点；
(4)b2－4ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数．
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
4ac－b
2 4ac－b2
值域 ，＋∞ －∞，
4a 4a
在
b b
－ ，＋∞ －∞，－
2a 上单调递增；在 在 2a 上单调递增；在
单调性
b b－∞，－ － ，＋∞
2a 上单调递减 2a 上单调递减
奇偶性 当 b＝0 时为偶函数，当 b≠0 时为非奇非偶函数
b 4ac－b2
顶点 － ，
2a 4a
b
对称性 图象关于直线 x＝－ 成轴对称图形
2a
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二、常用结论
1．一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且 Δ<0”．
(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且 Δ<0”．
2．二次函数在闭区间上的最值
设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]．
b
(1)当－ ≤m 时，最小值为 f(m)，最大值为 f(n)；
2a
b m＋n b
(2)当 m<－ ≤ 时，最小值为 f －
2a 2 2a ，最大值为 f(n)；
m＋n b b
(3)当 <－ ≤n 时，最小值为 f － 2a ，最大值为 f(m)； 2 2a
b
(4)当－ >n 时，最小值为 f(n)，最大值为 f(m)．
2a
考点一 求二次函数的解析式
求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其
方法也不同.
[典例] 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此
二次函数的解析式．
[解] 法一：利用二次函数的一般式
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
4a＋2b＋c＝－1，
a＝－4，a－b＋c＝－1，
由题意得 解得 b＝4，4ac－b2 ＝ ＝8， c 7.4a
故所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：利用二次函数的顶点式
设 f(x)＝a(x－m)2＋n.
2＋(－1) 1
∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为 x＝ ＝ .
2 2
1
∴m＝ ，又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8，
2
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1
∴y＝f(x)＝a x－ 2 2 ＋8.
1∵f(2)＝－1，∴a 2－ 2 2 ＋8＝－1，解得 a＝－4，
1
∴f(x)＝－4 x－ 2 2 ＋8＝－4x
2＋4x＋7.
法三：利用零点式
由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1，
故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即 f(x)＝ax2－ax－2a－1.
4a(－2a－1)－a2
又函数有最大值 ymax＝8，即 ＝8. 4a
解得 a＝－4 或 a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[题组训练]
1．已知二次函数 f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解
析式为 f(x)＝________.
解析：法一：设所求解析式为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
1
b
－ ＝－ a＝ ， 2， 92a
2 4
由已知得 4ac－b 解得＝－1， b＝ ，9
4a
a＋b＋c＝0， 5 c＝－ ，9
1 2 4 5所以所求解析式为 f(x)＝ x ＋ x－ .
9 9 9
法二：设所求解析式为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
1
b a＝ ，9
－ ＝－2，2a 4
依题意得 解得 b＝ ，－ 4a 2b＋c＝－1， 9 a＋b＋c＝0， 5 c＝－ ，9
1 4 5
所以所求解析式为 f(x)＝ x2＋ x－ .
9 9 9
法三：设所求解析式为 f(x)＝a(x－h)2＋k.
由已知得 f(x)＝a(x＋2)2－1，
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1
将点(1,0)代入，得 a＝ ，
9
1
所以 f(x)＝ (x＋2)2－1，
9
1 4 5
即 f(x)＝ x2＋ x－ .
9 9 9
1 4 5
答案： x2＋ x－
9 9 9
2．已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 x
∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，则函数的解析式 f(x)＝____________.
解析：∵f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立，
∴f(x)的对称轴为 x＝2.
又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2，
∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3.
设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象经过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)，
即 f(x)＝x2－4x＋3.
答案：x2－4x＋3
考点二 二次函数的图象与性质
考法(一) 二次函数图象的识别
[典例] 若一次函数 y＝ax＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y＝ax2＋bx
的图象只可能是( )
[解析] 因为一次函数 y＝ax＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以 a<0，b<0，所以
b
二次函数的图象开口向下，对称轴方程 x＝－ <0，只有选项 C 适合．
2a
[答案] C
考法(二) 二次函数的单调性与最值问题
[典例] (1)已知函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在 x∈[0,1]时，有最大值 2，则 a 的值为
________．
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(2)设二次函数 f(x)＝ax2－2ax＋c 在区间[0,1]上单调递减，且 f(m)≤f(0)，则实数 m 的取
值范围是________．
[解析] (1)函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为 x＝a.
当 a<0 时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
所以 1－a＝2，所以 a＝－1.
当 0≤a≤1 时，f(x)max＝a2－a＋1，
所以 a2－a＋1＝2，所以 a2－a－1＝0，
1± 5
所以 a＝ (舍去)．
2
当 a>1 时，f(x)max＝f(1)＝a，所以 a＝2.
综上可知，a＝－1 或 a＝2.
(2)依题意 a≠0，二次函数 f(x)＝ax2－2ax＋c 图象的对称轴是直线 x＝1，因为函数 f(x)
在区间[0,1]上单调递减，所以 a>0，即函数图象的开口向上，所以 f(0)＝f(2)，则当 f(m)≤f(0)
时，有 0≤m≤2.
[答案] (1)－1 或 2 (2)[0,2]
[解题技法]
1．二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和
中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
2．二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的
位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转
化到同一单调区间上比较．
考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题
[典例] (1)已知函数 f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)<0 成立，
则实数 m 的取值范围是________；
(2)已知函数 f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则 k 的取值范围为
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________．
[解析] (1)作出二次函数 f(x)的草图如图所示，对于任意 x∈[m，m＋
1]，都有 f(x)<0，
f(m)<0，
则有
f(m＋1)<0，
m
2＋m2－1<0，
即
(m＋1)2＋m(m＋1)－1<0，
2
解得－ 2
(2)由题意得 x2＋x＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．
设 g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
则 g(x)在[－3，－1]上递减．
∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k<1.故 k 的取值范围为(－∞，1)．
[答案]
2
(1) － ，0 (2)(－∞，1)
2
[解题技法]
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已
分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
[题组训练]
1．(2019·杭州模拟)已知 f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2 在[0,1]内的最大值为－5，则 a 的值
为( )
5 5
A. B．1 或
4 4
5 5
C．－1 或 D．－5 或
4 4
a
解析：选 D f(x)＝－4 x－ 2
a
2 －4a，对称轴为直线 x＝ . 2
a
①当 ≥1，即 a≥2 时，f(x)在[0,1]上单调递增，
2
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.
令－4－a2＝－5，得 a＝±1(舍去)．
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a a
②当 0< <1，即 02 max
＝f 2 ＝－4a.
5
令－4a＝－5，得 a＝ .
4
a
③当 ≤0，即 a≤0 时，f(x)在[0,1]上单调递减，
2
∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.
令－4a－a2＝－5，得 a＝－5 或 a＝1(舍去)．
5
综上所述，a＝ 或－5.
4
7
2．若函数 y＝x2－3x＋4 的定义域为[0，m]，值域为 ，4 4 ，则 m 的取值范围为( )
3
A．(0,4] B. ，4 2
3 3
C. ，3 ，＋∞ 2 D. 2
3 7
解析：选 C y＝x2－3x＋4＝ x－ 2 2 ＋ 的定义域为[0，m]，显然，在 x＝0 时，y＝4，4
又值域为
7 3
，4
4 ，根据二次函数图象的对称性知 ≤m≤3，故选 C. 2
3．已知函数 f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上 f(x)≤8 恒成立，则 a 的最大值
为________．
解析：令 ax
1
＝t，因为 a>1，x∈[－1,1]，所以 ≤t≤a，原函数化为 g(t)＝t2＋3t－2，显
a
1
然 g(t)在 ，a a 上单调递增，所以 f(x)≤8 恒成立，即 g(t) ＝g(a)≤8 恒成立，所以有 a
2
max ＋
3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又 a>1，所以 a 的最大值为 2.
答案：2
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2019·重庆三校联考)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋1 的图象的对称轴方程是 x＝1，并
且过点 P(－1,7)，则 a，b 的值分别是( )
A．2,4 B．－2,4
C．2，－4 D．－2，－4
b
解析：选 C ∵y＝ax2＋bx＋1 的图象的对称轴是 x＝1，∴－ ＝1. ①
2a
又图象过点 P(－1,7)，∴a－b＋1＝7，即 a－b＝6. ②
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由①②可得 a＝2，b＝－4.
2．已知函数 f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若 f(x)有最小值－2，则 a 的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
解析：选 D 函数 f(x)＝－x2＋4x＋a 的对称轴为直线 x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x
＋a 在[0,1]上单调递增，则当 x＝0 时，f(x)的最小值为 f(0)＝a＝－2.
3．一次函数 y＝ax＋b 与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )
解析：选 C 若 a>0，则一次函数 y＝ax＋b 为增函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象
开口向上，故可排除 A；若 a<0，一次函数 y＝ax＋b 为减函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的
b
图象开口向下，故可排除 D；对于选项 B，看直线可知 a>0，b>0，从而－ <0，而二次函
2a
数的对称轴在 y 轴的右侧，故可排除 B.故选 C.
4．已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
b
解析：选 A 由 f(0)＝f(4)，得 f(x)＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为 x＝－ ＝2，∴4a＋b
2a
＝0，又 f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是 a>0，故选 A.
5．若关于 x 的不等式 x2－4x－2－a>0 在区间(1,4)内有解，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
解析：选 A 不等式 x2－4x－2－a>0 在区间(1,4)内有解等价于 a<(x2－4x－2)max，
令 f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以 f(x)6．已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋3，若 y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数 a 的取值
范围为________．
解析：由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－a，
所以要使 f(x)在[－4,6]上是单调函数，
应有－a≤－4 或－a≥6，即 a≤－6 或 a≥4.
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
3
7．已知二次函数 y＝f(x)的顶点坐标为 － ，49 2 ，且方程 f(x)＝0 的两个实根之差等于
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7，则此二次函数的解析式是________．
3
解析：设 f(x)＝a x＋ 2 2 ＋49(a≠0)，
3
方程 a x＋ 2 2 ＋49＝0 的两个实根分别为 x1，x2，
49
则|x1－x2|＝2 － ＝7， a
所以 a＝－4，所以 f(x)＝－4x2－12x＋40.
答案：f(x)＝－4x2－12x＋40
8．(2018·浙江名校协作体考试)y＝ 2ax2＋4x＋a－1的值域为[0，＋∞)，则 a 的取值范
围是________．
解析：当 a＝0 时，y＝ 4x－1，值域为[0，＋∞)，满足条件；当 a≠0 时，要使 y＝
2a>0，
2ax2＋4x＋a－1的值域为[0，＋∞)，只需
Δ＝16－8a(a－1)≥0， 解得 00≤a≤2.
答案：[0,2]
9．求函数 f(x)＝－x(x－a)在 x∈[－1,1]上的最大值．
a a2 a a a a
解：函数 f(x)＝－ x－ 2 2 ＋ 的图象的对称轴为 x＝ ，应分 <－1，－1≤ ≤1， >1，4 2 2 2 2
即 a<－2，－2≤a≤2 和 a>2 三种情形讨论．
(1)当 a<－2 时，由图①可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)．
a a2
(2)当－2≤a≤2 时，由图②可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f 2 ＝ . 4
(3)当 a>2 时，由图③可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f(1)＝a－1.
－(a＋1)，a<－2，
a2
综上可知，f(x)max＝ ，－2≤a≤2，4
a－1，a>2.
10．已知二次函数 f(x)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且 f(0)＝1.
(1)求 f(x)的解析式；
(2)当 x∈[－1,1]时，函数 y＝f(x)的图象恒在函数 y＝2x＋m 的图象的上方，求实数 m 的
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取值范围．
解：(1)设 f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
由 f(x＋1)－f(x)＝2x，得 2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2 且 a＋b＝0，解得 a＝1，b＝－1，
因此 f(x)的解析式为 f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当 x∈[－1,1]时，y＝f(x)的图象恒在 y＝2x＋m 的图象上方，
所以在[－1,1]上，x2－x＋1>2x＋m 恒成立；
即 x2－3x＋1>m 在区间[－1,1]上恒成立．
3 5
所以令 g(x)＝x2－3x＋1＝ x－ 2 2 － ， 4
因为 g(x)在[－1,1]上的最小值为 g(1)＝－1，
所以 m<－1.故实数 m 的取值范围为(－∞，－1)．
B 级
1.如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，
对称轴为 x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正确的是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析：选 B 因为图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac>0，即 b2>4ac，①正确；
b
对称轴为 x＝－1，即－ ＝－1,2a－b＝0，②错误；
2a
结合图象，当 x＝－1 时，y>0，即 a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a.
又函数图象开口向下，所以 a<0，所以 5a<2a，即 5a1
2．已知 y＝f(x)是偶函数，当 x>0 时，f(x)＝(x－1)2，若当 x∈ －2，－ 2 时，n≤f(x)≤m
恒成立，则 m－n 的最小值为( )
1 1
A. B.
3 2
3
C. D．1
4
1
解析：选 D 当 x<0 时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因为 x∈ －2，－ 2 ，所以 f(x)min
＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以 m≥1，n≤0，m－n≥1.所以 m－n 的最小值是 1.
3．已知函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
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(1)当 a＝2，x∈[－2,3]时，求函数 f(x)的值域；
(2)若函数 f(x)在[－1,3]上的最大值为 1，求实数 a 的值．
解：(1)当 a＝2 时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
3
对称轴为 x＝－ ∈[－2,3]，
2
3 9 9 21
∴f(x) min＝f － 2 ＝ － －3＝－ ， 4 2 4
f(x)max＝f(3)＝15，
21
∴函数 f(x)的值域为 － ，15 4 .
2a－1
(2)∵函数 f(x)的对称轴为 x＝－ .
2
2a－1 1
①当－ ≤1，即 a≥－ 时，
2 2
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
1
∴6a＋3＝1，即 a＝－ ，满足题意；
3
2a－1 1
②当－ ＞1，即 a＜－ 时，
2 2
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即 a＝－1，满足题意．
1
综上可知，a＝－ 或－1.
3
4．求函数 y＝x2－2x－1 在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值．
解：函数 y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2 的图象的对称轴是直线 x＝1，顶
点坐标是(1，－2)，函数图象如图所示，对 t 进行讨论如下：
(1)当对称轴在闭区间右边，即当 t＋1<1，即 t<0 时，函数在区间[t，
t＋1]上单调递减，f(x) 2max＝f(t)＝t －2t－1.
(2)当对称轴在闭区间内时，0≤t≤1，有两种情况：
1
①当 t＋1－1≤1－t，即 0≤t≤ 时，
2
f(x) ＝f(t)＝t2max －2t－1；
1
②当 t＋1－1>1－t，即 2
f(x)max＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)－1＝t2－2.
(3)当对称轴在闭区间左侧，即当 t>1 时，函数在区间[t，t＋1]上单调递增，
f(x)max＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)－1＝t2－2.
1 1
综上所述，t≤ 时，所求最大值为 t2－2t－1；t> 时，所求最大值为 t2－2.
2 2
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