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第七节 幂函数
一、基础知识
1．幂函数的概念
一般地，形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，α为常数．
幂函数的特征
(1)自变量 x 处在幂底数的位置，幂指数 α为常数；
(2)xα的系数为 1；
(3)只有一项．
2．五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性 1 －
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x 1
质 2
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
(－∞，0)减， (－∞，0)和
单调性 增 增 增
(0，＋∞)增 (0，＋∞)减
公共点 (1,1)
二、常用结论
n
对于形如 f(x)＝x (其中 m∈N*，n∈Z，m 与 n 互质)的幂函数：
m
(1)当 n 为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于 y 轴对称；
(2)当 m，n 都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当 m 为偶数时，x>0(或 x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限
及原点处)．
考点一 幂函数的图象与性质
3
[典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数 y＝f(x)的图象经过点(3， 3)，则 f(x)是( )
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A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
n2－3n
(2)已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)x (n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是
减函数，则 n 的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1 或 2
1
3 1
[解析] (1)设 f(x)＝xα，将点(3， 3)代入 f(x)＝xα，解得 α＝ ，所以 f(x)＝x 3 ，可知函
3
数 f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选 C.
n2－3n
(2)∵幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)x 在(0，＋∞)上是减函数，
2
n ＋2n－2＝1，
∴ ∴n＝1，
2 n －3n<0，
－
又 n＝1 时，f(x)＝x 2 的图象关于 y 轴对称，故 n＝1.
[答案] (1)C (2)B
[解题技法] 幂函数 y＝xα的主要性质及解题策略
(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．
(2)当 α>0 时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当 α<0 时，
幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．
(3)当 α为奇数时，幂函数为奇函数；当 α为偶数时，幂函数为偶函数．
(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数
的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．
[题组训练]
1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( )
－4 －A．y＝x B．y＝x 1
1
C．y＝x2 D．y＝x 3
－ －
解析：选 A 函数 y＝x 4 为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数 y＝x 1为奇
函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数 y＝x2 为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；
1
函数 y＝x 3 为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
2.[口诀第2、3、4句]已知当 x∈(0,1)时，函数 y＝xp 的图象在直线 y＝x 的上方，则 p 的
取值范围是________．
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解析：当 p>0 时，根据题意知 p<1，所以 0合题意；当 p<0 时，函数 y＝xp 的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上
所述，p 的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
考点二 比较幂值大小
2 2 1
1 1 1
[典例] 若 a＝ 3 3 3 2 ，b＝ 5 ，c＝ 2 ，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．aC．b2 2 2
1 1 1
[解析] 因为 y＝x 3 在第一象限内是增函数，所以 a＝ 3 3 x 2 >b＝ 5 ，因为 y＝ 2 是
2 1
1 1减函数，所以 a＝ 3 [答案] D
[题组训练]
2 3 2
3 2 2
1．若 a＝ 5 5 5 5 ，b＝ 5 ，c＝ 5 ，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
2 2 2
3 2 2
解析：选 B 因为 y＝x 5 在第一象限内为增函数，所以 a＝ 5 5 >c＝
5
5 ，因为 y＝ 5
2 3
x是减函数，所以 c＝
2 25
5 >b＝
5
5 ，所以 a>c>b.
1 1
2．若(a＋1) 2 <(3－2a) 2 ，则实数 a 的取值范围是________．
1
解析：易知函数 y＝x 2 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
a＋1≥0，
2
所以 3－2a≥0， 解得－1≤a< . 3 a＋1<3－2a，
答案：
2
－1，
3
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[课时跟踪检测]
1．若幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则 f(8)的值为( )
A．4 B. 2
C．2 2 D．1
1
解析：选 C 设 f(x)＝xn，由条件知 f(4)＝2，所以 2＝4n，n＝ ，
2
1 1
所以 f(x)＝x 2 ，f(8)＝8 2 ＝2 2.
2．若幂函数 f(x)＝xk在(0，＋∞)上是减函数，则 k 可能是( )
A．1 B．2
1
C. D．－1
2
解析：选 D 由幂函数的性质得 k<0，故选 D.
＋
3．已知幂函数 f(x)＝(m2－3m＋3)xm 1 为偶函数，则 m＝( )
A．1 B．2
C．1 或 2 D．3
解析：选 A ∵函数 f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即 m2－3m＋2＝0，解得 m＝1
或 m＝2.当 m＝1 时，幂函数 f(x)＝x2 为偶函数，满足条件；当 m＝2 时，幂函数 f(x)＝x3为
奇函数，不满足条件．故选 A.
1 x2
4．(2018·邢台期末)已知幂函数 f(x)的图象过点 2， 4 ，则函数 g(x)＝f(x)＋ 的最小值为4
( )
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：选 A 设幂函数 f(x)＝xα.
1 1∵f(x)的图象过点 2， 4 ，∴2
α＝ ，解得 α＝－2.
4
－
∴函数 f(x)＝x 2，其中 x≠0.
x2 2－ x
∴函数 g(x)＝f(x)＋ ＝x 2＋
4 4
1 x2 1 x2
＝ 2＋ ≥2 2· ＝1， x 4 x 4
当且仅当 x＝± 2时，g(x)取得最小值 1.
2
－ 3m－m
5．(2019·安徽名校联考)幂函数 y＝x|m 1|与 y＝x (m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，
则满足条件的整数 m 的值为( )
A．0 B．1 和 2
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C．2 D．0 和 3
|m－1|>0，

解析：选 C 由题意可得 3m－m2>0， 解得 m＝2. m∈Z，
4 2 1
6．已知 a＝3 5 ，b＝4 5 ，c＝12 5 ，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．bC．c1 1 1 1
解析：选 C 因为 a＝81 5 ，b＝16 5 ，c＝12 5 ，由幂函数 y＝x 5 在(0，＋∞)上为增函数，
知 a>b>c，故选 C.
7．设 x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则 x，y，z 的大小关系为( )
A．xC．y解析：选 A 由函数 y＝0.3x在 R 上单调递减，可得 y>z.由函数 y＝x0.3在(0，＋∞)上单
调递增，可得 x2
m －4m＋2
8．已知幂函数 f(x)＝(m－1)2x 在(0，＋∞)上单调递增，函数 g(x)＝2x－k，当 x
∈[1,2)时，记 f(x)，g(x)的值域分别为集合 A，B，若 A∪B＝A，则实数 k 的取值范围是( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
－
解析：选 D ∵f(x)是幂函数，∴(m－1)2＝1，解得 m＝2 或 m＝0.若 m＝2，则 f(x)＝x
2 在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．若 m＝0，则 f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，满足
条件，即 f(x)＝x2.当 x∈[1,2)时，f(x)∈[1,4)，即 A＝[1,4)；当 x∈[1,2)时，g(x)∈[2－k,4－k)，
即 B＝[2－k,4－k)．∵A∪B＝A，∴B A，∴2－k≥1 且 4－k≤4，解得 0≤k≤1.
f(9) 1
9．若 f(x)是幂函数，且满足 ＝2，则 f ＝________.
f(3) 9
f(9) 9α 1 1 1 1 1 1
解析：设 f(x)＝xα，∵ ＝ ＝3αα ＝2，∴f 9 ＝
α＝ 2α 9 3 ＝ 2α＝ 2＝ . f(3) 3 3 2 4
1
答案：
4
10．已知函数 f(x)＝(m2－m－5)xm 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数 m 的
值是________．
解析：由 f(x)＝(m2－m－5)xm 是幂函数 m2－m－5＝1 m＝－2 或 m＝3.又 f(x)在(0，
＋∞)上是增函数，所以 m＝3.
答案：3
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1
－
11．当 0＜x＜1 时，f(x)＝x2，g(x)＝x 2 ，h(x)＝x 2，则 f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是
________________．
解析：分别作出 y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)的图象如图所示，可知 h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案：h(x)＞g(x)＞f(x)
1

12．(2019·银川模拟)已知幂函数 f(x)＝x 2 ，若 f(a＋1)________．
1
解析：由题意得，幂函数 f(x)＝x－ 的定义域为(0，＋∞)，且函数 f(x)在(0，＋∞)上单
2
a＋1>10－2a，

调递减，由 f(a＋1)0， 解得 3 10－2a>0，
答案：(3,5)
( 2m ＋m)－1
13．已知幂函数 f(x)＝x (m∈N*)的图象经过点(2， 2)．
(1)试确定 m 的值；
(2)求满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围．
解：(1)∵幂函数 f(x)的图象经过点(2， 2)，
1
( 2＋ )－1 ( 2＋ )－1m m 2 m m∴ 2＝2 ，即 2 ＝2 .
∴m2＋m＝2，解得 m＝1 或 m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
1
(2)由(1)知 f(x)＝x 2 ，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
2－a≥0，
3
由 f(2－a)>f(a－1)，得 a－1≥0， 解得 1≤a< .
2
2－a>a－1，
3
∴a 的取值范围为 1， 2 .
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