资源简介

第九节 指数函数
一、基础知识
1．指数函数的概念
函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a
是底数．
＋
形如 y＝kax，y＝ax k(k∈R 且 k≠0，a>0 且 a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函
数．
2．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0图象
定义域为 R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0,1)
性
当 x>0 时，恒有 y>1； 当 x>0 时，恒有 0质
当 x<0 时，恒有 01
在定义域 R 上为增函数 在定义域 R 上为减函数
指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1）的图象和性质与 a 的取值有关，应分 a>1 与 0注意
研究.
二、常用结论
指数函数图象的特点
1
(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)， －1， a ，依据这三点的坐标可得到指数函数
的大致图象．
1
(2)函数 y＝ax与 y＝ x a (a>0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．
(3)底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当 a>1 时，指数函数的图
第 118页/共1004页
象“上升”；当 0考点一 指数函数的图象及应用
－
[典例] (1)函数 f(x)＝21 x的大致图象为( )
(2)若函数 y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则 k 的取值范围为________．
－ 1
[解析] (1)函数 f(x)＝21 x＝2× x 2 ，单调递减且过点(0,2)，选项 A 中的图象符合要求．
(2)函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x的图象向下平移一个单位
后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图
象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，
所以 k 的取值范围为(－∞，0]．
[答案] (1)A (2)(－∞，0]
[变透练清]
1.[变条件
－
]本例(1)中的函数 f(x)变为：f(x)＝2|x 1|，则 f(x)的大致图象为( )
－
解析：选 B f(x)＝2|x 1|的图象是由 y＝2|x|的图象向右平移一个单位得到，结合选项知 B
正确．
2.[变条件]本例(2)变为：若函数 f(x)＝ |3x－1|－k 有一个零点，则 k 的取值范围为
________．
解析：函数 f(x)有一个零点，即 y＝|3x－1|与 y＝k 有一个交点，由
典例(2)得 y＝|3x－1|的图象如图所示，
故当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有唯一
的交点，所以函数 f(x)有一个零点．
答案：{0}∪[1，＋∞)
－
3．若函数 y＝21 x＋m 的图象不经过第一象限，求 m 的取值范围．
－ 1 － 1 －
解：y＝21 x＋m＝ x 1 2 ＋m，函数 y＝
x 1
2 的图象如图所示，
第 119页/共1004页
则要使其图象不经过第一象限，
则 m≤－2.
故 m 的取值范围为(－∞，－2]．
考点二 指数函数的性质及应用
考法(一) 比较指数式的大小
4 2 1
[典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知 a＝2 3 ，b＝4 5 ，c＝25 3 ，则( )
A．bC．b4 2 4
[解析] 因为 a＝2 3 ，b＝4 5 ＝2 5 ，由函数 y＝2x在 R 上为增函数知，b4 2 1 2 2
又因为 a＝2 3 ＝4 3 ，c＝25 3 ＝5 3 ，由函数 y＝x 3 在(0，＋∞)上为增函数知，a综上得 b[答案] A
考法(二) 解简单的指数方程或不等式
[典例] (2019·西安质检)若偶函数 f(x)满足 f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式 f(x－2)>0 的解
集为________．
[解析] ∵f(x)为偶函数，
－
当 x＜0 时，－x>0，则 f(x)＝f(－x)＝2 x－4.
2
x－4， x≥0，
∴f(x)＝ －
2
x－4，x＜0，
x－2≥0， x－2＜0，
当 f(x－2)＞0 时，有 － 或 － ＋
x 2 2 －4＞0 x 2 2 －4＞0，
解得 x＞4 或 x＜0.
∴不等式的解集为{x|x>4 或 x<0}．
[答案] {x|x>4 或 x<0}
[解题技法]
简单的指数方程或不等式问题的求解策略
(1)af(x)＝ag(x) f(x)＝g(x)．
(2)af(x)>ag(x)，当 a>1 时，等价于 f(x)>g(x)；当 0(3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取
值范围，并在必要时进行分类讨论．
考法(三) 指数型函数性质的综合问题
第 120页/共1004页
1 2ax －4x＋3
[典例] 已知函数 f(x)＝ 3 .
(1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；
(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值．
1 － 2x －4x＋3
[解] (1)当 a＝－1 时，f(x)＝ 3 ，
令 g(x)＝－x2－4x＋3，由于 g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
1而 y＝ t 3 在 R 上单调递减，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数 f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
1
(2)令 g(x)＝ax2－4x＋3，则 f(x)＝ g(x) 3 ，
由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值－1，
a>0，
因此必有 2 3a－4
g a ＝ ＝－1， a
解得 a＝1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.
[解题技法] 与指数函数有关的复合函数的单调性
形如函数 y＝af(x)的单调性，它的单调区间与 f(x)的单调区间有关：
(1)若 a>1，函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 y＝af(x)的单调增(减)区间；
(2)若 0减”．
[题组训练]
1 2x ＋2 x－11．函数 y＝ 2 的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0,4] D．[4，＋∞)
1
解析：选 C 设 t＝x2＋2x－1，则 y＝ t 2 .
1
因为 0< <1，
2
1所以 y＝ t 2 为关于 t 的减函数．
因为 t＝(x＋1)2－2≥－2，
1 1 －
所以 0第 121页/共1004页
故所求函数的值域为(0,4]．
2．设 a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．aC．b解析：选C 因为函数 y＝0.6x在R上单调递减，所以 b＝0.61.51，
所以 b－
3．(2018·河南八市第一次测评)设函数 f(x)＝x2 a 与 g(x)＝ax(a>1 且 a≠2)在区间(0，＋
1
∞)上具有不同的单调性，则 M＝(a－1)0.2与 N＝ 0.1 a 的大小关系是( )
A．M＝N B．M≤N
C．MN
－
解析：选 D 因为 f(x)＝x2 a 与 g(x)＝ax(a>1 且 a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调
1
性，所以 a>2，所以 M＝(a－1)0.2>1，N＝ 0.1 a <1，所以 M >N.
x 4 ，x≥0，
4．已知实数 a≠1，函数 f(x)＝ － 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的值为________． 2a x ，x<0，
－ 1 1
解析：当 a<1 时，41 a＝21，所以 a＝ ；当 a>1 时，代入可知不成立．所以 a 的值为 .
2 2
1
答案：
2
[课时跟踪检测]
A 级
1．函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
解析：选 A 因为函数 f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有 A 满足上述两
个性质．
－
2．(2019·贵阳监测)已知函数 f(x)＝4＋2ax 1 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5) D．(5,0)
解析：选 A 由于函数 y＝ax的图象过定点(0,1)，当 x＝1 时，f(x)＝4＋2＝6，故函数 f(x)
－
＝4＋2ax 1 的图象恒过定点 P(1,6)．
第 122页/共1004页
3．已知 a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：选 A 由 0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知 0.40.2＞0.40.6，即 b＞c；
因为 a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以 a＞b.综上，a＞b＞c.
1 2x x
4．(2019·南宁调研)函数 f(x)＝ 2 的单调递增区间是( )
1
A. －∞，
1
0，
2 B. 2
C.
1 1
，＋∞
2 D.
，1
2
1
解析：选 D 令 x－x2≥0，得 0≤x≤1，所以函数 f(x)的定义域为[0,1]，因为 y＝ t 2 是
1
减函数，所以函数 f(x)的增区间就是函数 y＝－x2＋x 在[0,1]上的减区间 ，1 2 ，故选 D.
5.函数 f(x)＝ax
－b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0x－ －解析：选 D 由 f(x)＝a b的图象可以观察出函数 f(x)＝ax b 在定义域上
－
单调递减，所以 0左平移得到的，所以 b<0.
－
1－2
x，x≥0，
6．已知函数 f(x)＝ 则函数 f(x)是( ) 2x－1，x<0，
A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增
B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
－ －
解析：选 C 易知 f(0)＝0，当 x>0 时，f(x)＝1－2 x，－f(x)＝2 x－1，此时－x<0，则
－
f(－x)＝2 x－1＝－f(x)；当 x<0 时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则 f(－x)＝1－
－
2 (
－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数 f(x)是奇函数，且单调递增，故选 C.
1
7．(2018·深圳摸底)已知 a＝
1
3.3，b＝ 3.9 3 3 ，则 a________b．(填“<”或“>”)
解析：因为函数 y＝
1 1 1x
3 为减函数，所以
3.3 3.9
3 > 3 ，即 a>b.
答案：>
1 1
8．函数 y＝ x－ x 4 2 ＋1 在[－3,2]上的值域是________．
第 123页/共1004页
1 1解析：令 t＝ x 2 ，由 x∈[－3,2]，得 t∈
，8
4 .
1 3 1
则 y＝t2－t＋1＝ t－ 2＋ ，8 2 4 t∈ 4 .
1 3
当 t＝ 时，ymin＝ ；当 t＝8 时，ymax＝57. 2 4
3
故所求函数的值域是 ，57 4 .
答案：
3
，57
4
9．已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0，且 a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则 a＋b＝________.
－
a
1＋b＝－1，
解析：当 a>1 时，函数 f(x)＝ax＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得
a0 ＋b＝0
－
a
1＋b＝0，
无解．当 0 a0 ＋b＝－1，
1 a＝ ，
2
3
所以 a＋b＝－ .
2
b＝－2，
3
答案：－
2
10．已知函数 f(x)＝a|x
＋1|(a＞0，且 a≠1)的值域为[1，＋∞)，则 f(－4)与 f(1)的大小关系
是________．
＋
解析：因为|x＋1|≥0，函数 f(x)＝a|x 1|(a＞0，且 a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以 a＞1.
＋
由于函数 f(x)＝a|x 1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线 x＝－1 对称，则函数
f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故 f(1)＝f(－3)，f(－4)＞f(1)．
答案：f(－4)＞f(1)
1
11．已知函数 f(x)＝ ax 2 ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)．
(1)求 a 的值；
－
(2)若 g(x)＝4 x－2，且 g(x)＝f(x)，求满足条件的 x 的值．
1解：(1)由已知得
－a
2 ＝2，解得 a＝1.
1
(2)由(1)知 f(x)＝ x 2 ，
－ 1
又 g(x)＝f(x)，则 4 x－2＝ x 2 ，
∴
1 x－
1 x
4 2 －2＝0，
1令 x 2 2 ＝t，则 t>0，t －t－2＝0，
第 124页/共1004页
即(t－2)(t＋1)＝0，
1
又 t>0，故 t＝2，即 x 2 ＝2，解得 x＝－1，
故满足条件的 x 的值为－1.
2
12．已知函数 f(x)＝ |x|
－a
3 .
(1)求 f(x)的单调区间；
9
(2)若 f(x)的最大值是 ，求 a 的值．
4
2
解：(1)令 t＝|x|－a，则 f(x)＝ t 3 ，不论 a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋
∞)上单调递增，
2
又 y＝ t 3 在 R 上单调递减，
所以 f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是[0，＋∞)．
9 9 2 －
(2)由于 f(x)的最大值是 ，且 ＝ 2
4 4 3 ，
所以 g(x)＝|x|－a 应该有最小值－2，
从而 a＝2.
B 级
1
1．(2019·郴州质检)已知函数 f(x)＝ex－ x，其中 e 是自然对数的底数，则关于 x 的不等e
式 f(2x－1)＋f(－x－1)>0 的解集为( )
A.
4
－∞，－
3 ∪(2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C.
4
－∞，
3 ∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)
1
解析：选 B 函数 f(x)＝ex－ x的定义域为 R， e
－
∵f(－x)＝e x
1 1
－ －x＝ x－e
x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式 f(2x－1)＋f(－x－1)>0
e e
等价于 f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证 f(x)是 R 上的单调递增函数，∴2x－1>x＋1，解
得 x>2，∴不等式 f(2x－1)＋f(－x－1)>0 的解集为(2，＋∞)．
2．已知 a>0，且 a≠1，若函数 y＝|ax－2|与 y＝3a 的图象有两个交点，则实数 a 的取值
第 125页/共1004页
范围是________．
解析：①当 02
－2|(03
②当 a>1 时，作出函数 y＝|ax－2|的图象如图(2)，若直线 y＝3a 与函数 y＝|ax－2|(a>1)
的图象有两个交点，则由图象可知 0<3a<2，此时无解．
2
所以实数 a 的取值范围是 0， 3 .
2答案： 0， 3
1 1
3．已知函数 f(x)＝ x ＋ 3 a －1 2
x (a＞0，且 a≠1)．

(1)讨论 f(x)的奇偶性；
(2)求 a 的取值范围，使 f(x)＞0 在定义域上恒成立．
解：(1)由于 ax－1≠0，则 ax≠1，得 x≠0，
所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意 x，有
1 1 ax 1 1 1
f(－x)＝ ＋ 3－x ＋ 3 －1－ ＋a －1 2 (－x) ＝ (－x) ＝ (－x)
3
1－ax 2 ax－1 2
1 1＝ ＋ 3
ax－1 2
x ＝f(x)，

∴函数 f(x)为偶函数．
(2)由(1)知 f(x)为偶函数，
∴只需讨论 x＞0 时的情况．当 x＞0 时，要使 f(x)＞0，
1 1则 ＋ 3
ax－1 2
x ＞0，

1 1 ax＋1
即 x ＋ ＞0，即 x ＞0，则 a
x＞1.
a －1 2 2(a －1)
又∵x＞0，∴a＞1.
∴当 a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
第 126页/共1004页

展开更多......

收起↑