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第八节 指数式、对数式的运算
一、基础知识
1.指数与指数运算
(1)根式的性质
n n
①( a)n＝a(a 使 a有意义)．
n
②当 n 是奇数时， an＝a；
n a，a≥0，
当 n 是偶数时， an＝|a|＝
－a，a<0.
(2)分数指数幂的意义
分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．
m
n
①a n ＝ am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
m
1 1
②a n ＝ *m ＝ (a>0，m，n∈N ，且 n>1)．
n
a n am
③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质
＋
①ar·as＝ar s(a>0，r，s∈Q)；
ar r－② s＝a s(a>0，r，s∈Q)； a
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于 0，否则不能用性质来运算．
(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．
2．对数的概念及运算性质
一般地，如果 a(a>0，且 a≠1)的 b 次幂等于 N，就是 ab＝N，那么，数 b 就叫做以 a
为底 N 的对数，记作：logaN＝b.
指数、对数之间的关系
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(1)对数的性质
①负数和零没有对数；
②1 的对数是零；
③底数的对数等于1.
(2)对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
M
②loga ＝log M－log N； N a a
③loga(Nn)＝nlogaN(n∈R)．
二、常用结论
1．换底公式的变形
1
(1)logab·logba＝1，即 logab＝ (a，b 均大于 0 且不等于 1)； logba
n
(2)log namb ＝ logab(a，b 均大于 0 且不等于 1，m≠0，n∈R)； m
logaM logbM
(3)logNM＝ ＝ (a，b，N 均大于 0 且不等于 1，M >0)． logaN logbN
2．换底公式的推广
logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c 均大于 0 且不等于 1，d>0)．
3．对数恒等式
log
a a
N
＝N(a>0 且 a≠1，N>0)．
考点一 指数幂的化简与求值
[典例] 化简下列各式：
1
(1)
3 0 － 12 ＋2 2· 2 2 5 4 －(0.01)
0.5；
1 2 1
5 1
3 －(2) a ·b 2· －
－
－3a 2 b 1 ÷(4a
3 ·b 3) 2 .
6
1 1
1 4 1 1 2 1 1 1 16[解] (1)原式＝1＋ × 2 2
4 9 － 100 ＝1＋ × － ＝1＋ － ＝ . 4 3 10 6 10 15
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1 2 1 1 1 3 1 3
5 5 －3 5
5 1
(2)原式＝－ a 6 b ÷(4a 3
－
·b 3) 2
－
＝－ a 6 b 3÷(a 3 b 2 )＝－ a 2 ·b 2 ＝－ · 3＝ 2 4 4 4 ab
5 ab
－ 2 . 4ab
[解题技法] 指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假
分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来
解答．
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
[题组训练]
1．若实数 a>0，则下列等式成立的是( )
－ － 1
A．(－2) 2＝4 B．2a 3＝
2a3
1
1
C．(－2)0＝－1 D．(a 4 )4＝
a
－
解析：选 D 对于 A，(－2) 2
1 － 2
＝ ，故 A 错误；对于 B，2a 3＝ ，故 B 错误；对于 C，
4 a3
1
1
(－2)0＝1，故 C 错误；对于 D，(a 4 )4＝ ，故 D 正确．
a
2 1
1 2 2
2．化简 4a 3 ·b 3 ÷ － a 3 b 3 的结果为( )
3
2a 8a
A．－ B．－
3b b
6a
C．－ D．－6ab
b
2 1 1 2

－ 6a
解析：选 C 原式＝－ 3 36a b 3 3 ＝－6ab 1＝－ .
b
2 1
3 27 －
3．计算：－ 2＋ － 3 ＋(0.002) 2 2 8 ＝________.
2 1
2 3 1
解析：原式＝－ 2＋ － 3 3 2 3 2 ＋ 500
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4 4
＝－ ＋ ＋10 5＝10 5.
9 9
答案：10 5
考点二 对数式的化简与求值
[典例] 计算下列各式：
lg 2＋lg 5－lg 8
(1) ；(2)log 3·log 8＋( 3)log 4.
lg 50－ 2 3 3lg 40
2×5 5
lg lg
8 4
[解] (1)原式＝ ＝ ＝1.
50 5
lg lg
40 4
1
lg 3 3lg 2 log3 4
2 log 2(2)原式＝ · ＋3 ＝3＋3 3 ＝3＋2＝5.
lg 2 lg 3
[题组训练]
1．(log29)·(log34)＝( )
1 1
A． B．
4 2
C．2 D．4
lg 9 lg 4 2lg 3·2lg 2
解析：选 D 法一：原式＝ · ＝ ＝4.
lg 2 lg 3 lg 2·lg 3
log24
法二：原式＝2log23· ＝2×2＝4. log23
1
1
2．计算： lg －lg 25 4 ÷100
2 ＝________.
1
1 1 －
解析：原式＝lg × 2 4 25 ×100 ＝lg 10
2×10＝－2×10＝－20.
答案：－20
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝log2(x2＋a)．若 f(3)＝1，则 a＝________.
解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)且 f(3)＝1，
∴1＝log2(9＋a)，
∴9＋a＝2，∴a＝－7.
答案：－7
1 2
log2 10 log 2
4．计算：log5[4 2 －(3 3) 3 －7 7 ]＝________.
3 2
log 10
解析：原式＝log5[2 2 －(3 2 ) 3 －2]＝log5(10－3－2)＝log55＝1.
答案：1
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[课时跟踪检测]
1 －
1．设 ＝log 3，则 3x－3 x2 的值为( ) x
8 3
A. B.
3 2
5 7
C. D.
2 3
1 － 1 3
解析：选 B 由 ＝log 3，得 3x2 ＝2，∴3x－3 x＝2－ ＝ . x 2 2
1 1
2 1 1 5
2．化简 (－6a 2 b 3 )÷ 2a 3 b 2 －3a 6 b 6 的结果为( )
A．－4a B．4a
C．11a D．4ab
2 1 1 1 1 5
+ +
解析：选 B 原式＝[2×(－6)÷(－3)]a 3 2 6 b 2 3 6 ＝4ab0＝4a.
5 4
3．(log 9)(log 2)＋log ＋log 2 3 a a a 5 (a>0，且 a≠1)的值为( ) 4
A．2 B．3
C．4 D．5
5 4
解析：选 B 原式＝(2log23)(log32)＋log a × a 4 5 ＝2×1＋logaa＝3.
a2
4．设 a>0，将 表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
3
a· a2
1 5
A．a 2 B．a 6
7 3
C．a 6 D．a 2
a2
5 7
a2 a2 a2 2-
解析：选 C ＝ ＝ ＝ ＝a 65 ＝a
6 .
2 5
3
a· a2 a·a 3 a 3 a
6
P
5．如果 2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ(a>0，且 a≠1)，那么 的值为( ) Q
1
A. B．4
4
C．1 D．4 或 1
解析：选 B 由 2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ，得 log 2a(P－2Q) ＝loga(PQ)．由对数运算
P
性质得(P－2Q)2＝PQ，即 P2－5PQ＋4Q2＝0，所以 P＝Q(舍去)或 P＝4Q，解得 ＝4.
Q
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6．若 lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则 x 的值等于( )
1
A．1 B．0 或
8
1
C. D．log23 8
解析：选 D 由题意知 lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，由对数的运算性质得 2(2x＋5)＝(2x
＋1)2，即(2x)2－9＝0,2x＝3，x＝log23.
log2x，x>0， 1
7．已知函数 f(x)＝ － 则 f(f(1))＋f log 3 2 的值是( ) x 3 ＋1，x≤0，
A．2 B．3
C．4 D．5
1
1 1 -log3 log 2
解析：选 D ∵log3 <0，由题意得 f(f(1))＋f log 3 2 ＝f(log21)＋3
2 ＋1＝f(0)＋3 3
2
＋1＝30＋1＋2＋1＝5.
1 1
8．设 2a＝5b＝m，且 ＋ ＝2，则 m 等于( )
a b
A. 10 B．10
C．20 D．100
解析：选 A 由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m，
1 1
所以 ＋ ＝logm2＋log 5＝loga b m m10.
1 1
因为 ＋ ＝2，所以 logm10＝2. a b
所以 m2＝10，所以 m＝ 10.
9．已知 4a＝2，lg x＝a，则 x＝________.
1 1
解析：由 4a＝2，得 a＝ ，又因为 lg x＝a＝ ，
2 2
1
所以 x＝10 2 ＝ 10.
答案： 10
1
- 5log9
10．计算：9 2 ＝________.
1 1
- 5log9
2 2 - log
5 1 3
解析：9 ＝9 ×9 9 ＝3× ＝ .
5 5
3
答案：
5
2 1 1 1

－
(a 3 ·b 1) 2 ·a 2 ·b 3
11．化简： ＝________.
6
a·b5
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1 1 1 1

3 2 2 3 1 1 1 1 1 5a ·b ·a ·b + 1
解析：原式＝ 3 2 6 2 3 61 5 ＝a ·b ＝ . a
a 6 ·b 6
1
答案：
a
1
12．已知指数函数 y＝f(x)，对数函数 y＝g(x)和幂函数 y＝h(x)的图象都过点 P ，2 2 ，
如果 f(x1)＝g(x2)＝h(x3)＝4，那么 x1＋x2＋x3＝________.
1
1
解析：令 f(x)＝ax(a>0,且 a≠1)，g(x)＝logbx(b>0,且 b≠1)，h(x)＝xc，则 f 2 2 ＝a ＝2，
1g
1 1 1 2
2 ＝log
c
b ＝－logb2＝2，h 2 ＝ 2 ＝2，∴a＝4，b＝ ，c＝－1，∴f(x1)＝4x1＝4 x2 2 1＝
1 1 3
1，同理，x2＝ ，x ＝ .∴x ＋x ＋x ＝ . 4 3 4 1 2 3 2
3
答案：
2
13．化简下列各式：
2
7 － 10 - 37
(1) 2 0.5 2 2 3 0 9 ＋0.1 ＋ 27 －3π ＋ ； 48
3 7 3
2 －3 － －(2) a · a ÷ a 3· a 1；
2 3
lg 3＋ lg 9＋ lg 27－lg 3
5 5
(3) .
lg 81－lg 27
1 2
25 1 64 37 5 9 37解：(1)原式＝ 2 9 ＋ 2＋
3
0.1 27 －3＋ ＝ ＋100＋ －3＋ ＝100. 48 3 16 48
3 7 3 3 3 1 3 7 3 1 7 1 8 4

(2)原式＝ a 2 ·a 2 ÷ a 2 ·a 2 ＝ a 2 ÷ a 2 ＝a 6 ÷a 6 ＝a 6 ＝a 3 .
4 9 1 4 9 1
lg 3＋ lg 3＋ lg 3－ lg 3 1＋ ＋ －
5 10 2 5 10 2 lg 3 11
(3)法一：原式＝ ＝ ＝ .
4lg 3－3lg 3 (4－3)lg 3 5
2 1 3 1 11

lg(3×9 5 ×27 2 5 ×3 2 ) lg 3 5 11
法二：原式＝ ＝ ＝ .
81 lg 3 5
lg
27
第 117页/共1004页

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