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第九章 平面解析几何
第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
一、基础知识
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，
x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线
l 的倾斜角.
(2)规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.
(3)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
π
(1)定义式：直线 l 的倾斜角为 α α≠ 2 ，则斜率 k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，
y2－y1
且 x1≠x2，则 l 的斜率 k＝ .
x2－x1
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于 x 轴的直线
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于 x 轴的直线
y－y x－x 不含直线 x＝x1(x1≠x2)和直线1 1
两点式 ＝
y2－y1 x2－x1 y＝y1(y1≠y2)
x y 不含垂直于坐标轴和过原点
＋ ＝1
截距式 a b 的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用
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二、常用结论
特殊直线的方程
(1)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 x 轴的方程为 x＝x1；
(2)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 y 轴的方程为 y＝y1；
(3)y 轴的方程为 x＝0；
(4)x 轴的方程为 y＝0.
考点一 直线的倾斜角与斜率
π π
[典例] (1)直线 2xcos α－y－3＝0 α∈ ， 6 3 的倾斜角的取值范围是( )
A.
π π
，
π π
，
6 3 B. 4 3
π π
C. ，
π 2π
，
4 2 D. 4 3
(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率
的取值范围为________．
[解析] (1)直线 2xcos α－y－3＝0 的斜率 k＝2cos α，
π π 1 3
因为 α∈ ， 6 3 ，所以 ≤cos α≤ ， 2 2
因此 k＝2·cos α∈[1， 3 ]．
设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3 ]．
π π
又 θ∈[0，π)，所以 θ∈ ， 4 3 ，
π π
即倾斜角的取值范围是 ， 4 3 .
(2) 设 PA 与 PB 的倾斜角分别为 α，β，直线 PA 的斜率是 kAP＝1，直线 PB 的斜率是 kBP
＝－ 3，当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角由
α增至 90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．
当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角由 90°增至 β，斜
率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．
故直线 l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．
[答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)
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[变透练清]
1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点 A(cos θ，sin2 θ)，B(0,1)，则直
线 AB 的倾斜角 α的取值范围是________．
sin2θ－1
解析：由题意知 cos θ≠0，则斜率 k＝tan α＝ ＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直
cos θ－0
π 3π线 AB 的倾斜角的取值范围是 0， ∪ ，π 4 4 .
答案：
π
0， ∪
3π
，π
4 4
2.(变条件)若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，则直线 l 斜率的取值范围
为________．
解析：设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＝0.
∵A，B 两点在直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上，
∴(2k－1＋k)(－ 3＋k)≤0，
1
即(3k－1)(k－ 3)≤0，解得 ≤k≤ 3.
3
1
即直线 l 的斜率的取值范围是 ， 3 3 .
1答案： ， 3 3
3．若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则 a 的值为________．
5－3 a－3
解析：因为 kAC＝ ＝1，kAB＝ ＝a－3.由于 A，B，C 三点共线，所以 a－3＝1，
6－4 5－4
即 a＝4.
答案：4
考点二 直线的方程
[典例] (1)若直线经过点 A(－5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍，则
该直线的方程为________________．
(2)若直线经过点 A(－ 3，3)，且倾斜角为直线 3x＋y＋1＝0 的倾斜角的一半，则该直
线的方程为________________．
(3)在△ABC 中，已知 A(5，－2)，B(7,3)，且 AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x
轴上，则直线 MN 的方程为________________．
[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为 y＝kx，将(－5,2)代入 y
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2 2
＝kx 中，得 k＝－ ，此时，直线方程为 y＝－ x，即 2x＋5y＝0.
5 5
②当横截距、纵截距都不为零时，
x y
设所求直线方程为 ＋ ＝1，
2a a
1
将(－5,2)代入所设方程，解得 a＝－ ，此时，直线方程为 x＋2y＋1＝0.
2
综上所述，所求直线方程为 x＋2y＋1＝0 或 2x＋5y＝0.
(2)由 3x＋y＋1＝0 得此直线的斜率为－ 3，所以倾斜角为 120°，从而所求直线的倾斜
角为 60°，故所求直线的斜率为 3.
又直线过点 A(－ 3，3)，所以所求直线方程为 y－3＝ 3(x＋ 3)，即 3x－y＋6＝0.
5＋x0 y0－2 7＋x0 y0＋3设 (3) C(x0，y0)，则 M ， ，N ， . 2 2 2 2
5＋x0
因为点 M 在 y 轴上，所以 ＝0，所以 x0＝－5. 2
y0＋3
因为点 N 在 x 轴上，所以 ＝0，
2
所以 y0＝－3，即 C(－5，－3)，
5所以 M 0，－ 2 ，N(1,0)，
x y
所以直线 MN 的方程为 ＋ ＝1，
1 5
－
2
即 5x－2y－5＝0.
[答案] (1)x＋2y＋1＝0 或 2x＋5y＝0
(2) 3x－y＋6＝0 (3)5x－2y－5＝0
[题组训练]
2
1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是 的直线方程是________________．
2
π 3π
解析：由题知，倾斜角为 或 ，所以斜率为 1 或－1，直线方程为 y－2＝x－1 或 y－2
4 4
＝－(x－1)，即 x－y＋1＝0 或 x＋y－3＝0.
答案：x－y＋1＝0 或 x＋y－3＝0
2．过点 P(6，－2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程为
________________．
x y 6 －2
解析：设直线方程的截距式为 ＋ ＝1，则 ＋ ＝1，解得 a＝2 或 a＝1，则直
a＋1 a a＋1 a
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x y x y
线的方程是 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1，即 2x＋3y－6＝0 或 x＋2y－2＝0.
2＋1 2 1＋1 1
答案：2x＋3y－6＝0 或 x＋2y－2＝0
考点三 直线方程的综合应用
[典例] 已知直线 l 过点 M(2,1)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交于 A，B 两点，O 为
―→ ―→
坐标原点，求当| MA |·| MB |取得最小值时直线 l 的方程．
x y
[解] 设 A(a,0)，B(0，b)，则 a＞0，b＞0，直线 l 的方程为 ＋ ＝1，
a b
2 1
所以 ＋ ＝1.
a b
―→ ―→ ―→ ―→
| MA |·| MB |＝－MA ·MB＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
2 1
＝(2a＋b) ＋ a b －5
2b 2a
＝ ＋ ≥4，
a b
当且仅当 a＝b＝3 时取等号，此时直线 l 的方程为 x＋y－3＝0.
[解题技法]
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不
等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性
质或基本不等式求解．
[题组训练]
1．若直线 ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在 x 轴，y 轴上的截距之和的最小
值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选 C ∵直线 ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，
1 1
∴a＋b＝ab，即 ＋ ＝1，
a b
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1 1
∴a＋b＝(a＋b) ＋ a b
b a b a
＝2＋ ＋ ≥2＋2 ·＝4，
a b a b
当且仅当 a＝b＝2 时上式等号成立．
∴直线在 x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为 4.
2．已知直线 l：x－my＋ 3m＝0 上存在点 M 满足与 A(－1,0)，B(1,0)两点连线的斜率
kMA 与 kMB 之积为 3，则实数 m 的取值范围是( )
A．[－ 6， 6 ]
6 6
B. －∞，－ ∪ ，＋∞
6 6
6 6
C. －∞，－ ∪

，＋∞
6 6
2 2
D. － ，
2 2
y y
解析：选 C 设 M(x，y)，由 k ·k 2 2MA MB＝3，得 · ＝3，即 y ＝3x －3.
x＋1 x－1
x－my＋ 3m＝0， 1 2 3
联立 得 2－3 2 m x ＋ x＋6＝0(m≠0)， y2＝3x2－3， m
2 3 12 1 6 6则 Δ＝ －24 －3 m2 ≥0，即 m
2≥ ，解得 m≤－ 或 m≥ .
m 6 6 6
6 6
∴实数 m 的取值范围是 －∞，－ ∪ ，＋∞ .
6 6
[课时跟踪检测]
1．(2019·合肥模拟)直线 l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0 的斜率是( )
3
A. B. 3
3
3
C．－ 3 D．－
3
sin 30° 3
解析：选 A 设直线 l 的斜率为 k，则 k＝－ ＝ .
cos 150° 3
2．倾斜角为 120°，在 x 轴上的截距为－1 的直线方程是( )
A. 3x－y＋1＝0 B. 3x－y－ 3＝0
C. 3x＋y－ 3＝0 D. 3x＋y＋ 3＝0
解析：选 D 由于倾斜角为 120°，故斜率 k＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程
为 y＝－ 3(x＋1)，即 3x＋y＋ 3＝0.
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3．已知△ABC 的三个顶点坐标为 A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M 为 AB 的中点，N 为 AC
的中点，则中位线 MN 所在直线的方程为( )
A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0
C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0
y－4 x－2
解析：选 C 由题知 M(2,4)，N(3,2)，则中位线 MN 所在直线的方程为 ＝ ，整
2－4 3－2
理得 2x＋y－8＝0.
1
4．方程 y＝ax－ 表示的直线可能是( )
a
1
解析：选 C 当 a＞0 时，直线的斜率 k＝a＞0，在 y 轴上的截距 b＝－ ＜0，各选项都
a
1
不符合此条件；当 a＜0 时，直线的斜率 k＝a＜0，在 y 轴上的截距 b＝－ ＞0，只有选项 C
a
符合此条件．故选 C.
5．在等腰三角形 MON 中，MO＝MN，点 O(0,0)，M(－1,3)，点 N 在 x 轴的负半轴上，
则直线 MN 的方程为( )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：选 C 因为 MO＝MN，所以直线 MN 的斜率与直线 MO 的斜率互为相反数，所
以 kMN＝－kMO＝3，所以直线 MN 的方程为 y－3＝3(x＋1)，即 3x－y＋6＝0，选 C.
6．若直线 mx＋ny＋3＝0 在 y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线 3x－y＝3 3的
倾斜角的 2 倍，则( )
A．m＝－ 3，n＝1 B．m＝－ 3，n＝－3
C．m＝ 3，n＝－3 D．m＝ 3，n＝1
3 3
解析：选 D 对于直线 mx＋ny＋3＝0，令 x＝0 得 y＝－ ，即－ ＝－3，n＝1.
n n
因为 3x－y＝3 3的斜率为 60°，直线 mx＋ny＋3＝0 的倾斜角是直线 3x－y＝3 3的 2
m
倍，所以直线 mx＋ny＋3＝0 的倾斜角为 120°，即－ ＝－ 3，m＝ 3.
n
1
7．当 0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
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k
x＝ ，
kx－y＝k－1， k－1
解析：选 B 由 得 ky－x＝2k 2k－1
y＝ . k－1
1 k 2k－1
又∵00，
2 k－1 k－1
故直线 l1：kx－y＝k－1 与直线 l2：ky－x＝2k 的交点在第二象限．
8．若直线 l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B，则当△AOB
的面积取最小值时直线 l 的方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．x－2y＋8＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＋8＝0
2＋4k
2＋4k － ＜0，解析：选 B 由 l 的方程，得 A － ，0 ，B(0,2＋4k)．依题意得 k 解
k
2＋4k＞0，
1 1 2＋4k 1 (2＋4k)
2 1 4 1
得 k＞0.因为 S＝ |OA|·|OB|＝ ·|2＋4k|＝ · ＝ 16k＋ ＋16 ≥ (2×8＋16)＝
2 2 k 2 k 2 k 2
4 1
16，当且仅当 16k＝ ，即 k＝ 时等号成立．此时 l 的方程为 x－2y＋8＝0.
k 2
9．以 A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边 AB 上的高所在的直线方程是
________________．
1
解析：由 A，B 两点得 kAB＝ ，则边 AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程2
是 y－4＝－2(x－5)，即 2x＋y－14＝0.
答案：2x＋y－14＝0
10．已知直线 l 过点(1,0)，且倾斜角为直线 l0：x－2y－2＝0 的倾斜角的 2 倍，则直线 l
的方程为________________．
解析：由题意可设直线 l0，l 的倾斜角分别为 α，2α，
1 1
因为直线 l0：x－2y－2＝0 的斜率为 ，则 tan α＝ ， 2 2
1
2×
2tan α 2 4
所以直线 l 的斜率 k＝tan 2α＝ ＝ ＝ ，
1－tan2α
1－
1 32
2
4
所以由点斜式可得直线 l 的方程为 y－0＝ (x－1)，
3
即 4x－3y－4＝0.
答案：4x－3y－4＝0
11．直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范
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围是________________．
解析：由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y－2＝k(x－1)，直线 l 在 x 轴上
2 2 1
的截距为 1－ ，令－3<1－ <3，解不等式得 k> 或 k<－1.
k k 2
1
答案：(－∞，－1)∪ ，＋∞ 2
12．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b 为直线 y＝－2x＋b 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y＝－2x
＋b 过点 A(－1,0)和点 B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值
范围是[－2,2]．
答案：[－2,2]
13．已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的
方程：
(1)过定点 A(－3,4)；
1
(2)斜率为 .
6
4
解：(1)设直线 l 的方程为 y＝k(x＋3)＋4，它在 x 轴，y 轴上的截距分别是－ －3,3k＋4，
k
4由已知，得(3k＋4) ＋3 k ＝±6，
2 8
解得 k1＝－ 或 k2＝－ . 3 3
故直线 l 的方程为 2x＋3y－6＝0 或 8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，
1
则直线 l 的方程为 y＝ x＋b，它在 x 轴上的截距是－6b，
6
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线 l 的方程为 x－6y＋6＝0 或 x－6y－6＝0.
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