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第二节 两直线的位置关系
一、基础知识
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1∥l2 k1＝k2.
②当直线 l1，l2 不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线 l1，l2 的斜率存在，
设为 k1，k2，则有 l1⊥l2 k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组
A1x＋B1y＋C1＝0，
的解．
A2x＋B2y＋C2＝0
3．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ (x2－x )21 ＋(y －y )22 1 .
(2)点到直线的距离公式
|Ax0＋By0＋C|
点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ .
A2＋B2
(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0
|C1－C2|
间的距离 d＝ .
A2＋B2
二、常用结论
(1)与直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为：
①垂直：Bx－Ay＋m＝0；
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②平行：Ax＋By＋n＝0.
(2)与对称问题相关的四个结论：
①点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
②点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x,2b－y)．
③点(x，y)关于直线 y＝x 的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x 的对称点为(－y，－x)．
④点(x，y)关于直线 x＋y＝k 的对称点为(k－y，k－x)，关于直线 x－y＝k 的对称点为(k
＋y，x－k)．
考点一 两条直线的位置关系
[典例] 已知两直线 l1：mx＋8y＋n＝0 和 l2：2x＋my－1＝0，试确定 m，n 的值，使
(1)l1 与 l2 相交于点 P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且 l1 在 y 轴上的截距为－1.
m2 －8＋n＝0，
[解] (1)由题意得
2m－m－1＝0，
m＝1，
解得
n＝7.
即 m＝1，n＝7 时，l1 与 l2 相交于点 P(m，－1)．
m2 －16＝0，
(2)∵l1∥l2，∴
－m－2n≠0，
m＝4， m＝－4，
解得
n≠－2

或
n≠2.
即 m＝4，n≠－2 或 m＝－4，n≠2 时，l1∥l2.
(3)当且仅当 2m＋8m＝0，
即 m＝0 时，l1⊥l2.
n
又－ ＝－1，∴n＝8.
8
即 m＝0，n＝8 时，l1⊥l2，且 l1 在 y 轴上的截距为－1.
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[解题技法]
1．．由一般式确定两直线位置关系的方法
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)
直线方程
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
l1 与 l2 垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0
A1 B1 C1
l1 与 l2 平行的充分条件 ＝ ≠ (A2B2C2≠0) A2 B2 C2
A1 B1
l1 与 l2 相交的充分条件 ≠ (AA B 2B2≠0) 2 2
A1 B1 C1
l1 与 l2 重合的充分条件 ＝ ＝ (A2B C ≠0) A B 2 22 2 C2
[题组训练]
1．已知直线 4x＋my－6＝0 与直线 5x－2y＋n＝0 垂直，垂足为(t,1)，则 n 的值为( )
A．7 B．9
C．11 D．－7
解析：选 A 由直线 4x＋my－6＝0 与直线 5x－2y＋n＝0 垂直得，20－2m＝0，m＝10.
直线 4x＋10y－6＝0 过点(t,1)，所以 4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线 5x－2y＋n＝0
上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.
2．(2019·保定五校联考)直线 l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”
是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 C 由 l1∥l2 得－m(m－1)＝1×(－2)，得 m＝2 或 m＝－1，经验证，当 m＝－
1 时，直线 l1与 l2 重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选 C.
考点二 距离问题
[典例] (1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x－y－3＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0
(2)若两平行直线 l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与 l2：2x＋ny－6＝0 之间的距离是 5，则 m
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＋n＝( )
A．0 B．1
C．－2 D．－1
[解析] (1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线为过点 P(2,1)且与 OP 垂直的直线，
1－0 1
因为直线 OP 的斜率为 ＝ ，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为 2x＋y－5
2－0 2
＝0.
(2)因为 l1，l2 平行，所以 1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得 n＝－4，m≠－3，
|m＋3|
所以直线 l2：x－2y－3＝0.又 l1，l2之间的距离是 5，所以 ＝ 5，解得 m＝2 或 m＝
1＋4
－8(舍去)，所以 m＋n＝－2，故选 C.
[答案] (1)A (2)C
[解题技法]
1．点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
2．两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的
距离．
(2)利用两平行线间的距离公式．
[题组训练]
1．已知点 P(2，m)到直线 2x－y＋3＝0 的距离不小于 2 5，则实数 m 的取值范围是
________________．
|2×2－m＋3|
解析：由题意得，点 P 到直线的距离为 ≥2 5，即|m－7|≥10，解得 m≥17
22＋12
或 m≤－3，所以实数 m 的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．
答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)
2．如果直线 l1：ax＋(1－b)y＋5＝0 和直线 l2：(1＋a)x－y－b＝0 都平行于直线 l3：x－
2y＋3＝0，则 l1，l2 之间的距离为________．
1
解析：因为 l1∥l3，所以－2a－(1－b)＝0，同理－2(1＋a)＋1＝0，解得 a＝－ ，b＝0，2
|－10－0|
因此 l1：x－2y－10＝0，l2：x－2y＝0，d＝ ＝2 5.
12＋(－2)2
答案：2 5
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考点三 对称问题
[典例] 已知直线 l：2x－3y＋1＝0，点 A(－1，－2)．
(1)求点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标；
(2)求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程．
[解] (1)设 A′(x，y)，再由已知得
y＋2 2 33
× ＝－1，＋ 3 x＝－ ，x 1 13
解得
x－1 y－2 4
2× －3× ＋1＝0， y＝ ， 2 2 13
33 4所以 A′ － ， 13 13 .
(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在 m′上．设
a＋2 b＋0
2× －3× ＋1＝0，2 2 6 30对称点为 M′(a，b)，则 解得 M′ ， 13 13 .设 m 与 l 的交b－0 2 × ＝－1，a－2 3
2x－3y＋1＝0，
点为 N，则由 得 N(4,3)．又因为 m′经过点 N(4,3)，所以由两点式得直线
3x－2y－6＝0，
m′方程为 9x－46y＋102＝0.
[变透练清]
1.(变结论)在本例条件下，则直线 l 关于点 A(－1，－2)对称的直线 l′的方程为
________________．
解析：法一：在 l：2x－3y＋1＝0 上任取两点，
如 M(1,1)，N(4,3)，
则 M，N 关于点 A 的对称点 M′，N′均在直线 l′上．
易知 M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，
由两点式可得 l′的方程为 2x－3y－9＝0.
法二：设 P(x，y)为 l′上任意一点，
则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为
P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线 l 上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即 2x－3y－9＝0.
答案：2x－3y－9＝0
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2．(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点 M(－3,4)，被直线 l：x－y＋3＝0 反射，
反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解析：设点 M(－3,4)关于直线 l：x－y＋3＝0 的对称点为 M′(a，b)，则反射光线所在
b－4
＝－1，a－(－3)
直线过点 M′，所以
－3＋a b＋4
－ ＋3＝0， 解得 a＝1，b＝0.又反射光线经过点 N(2,6)，2 2
y－0 x－1
所以所求直线的方程为 ＝ ，即 6x－y－6＝0.
6－0 2－1
答案：6x－y－6＝0
[解题技法]
1．中心对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于点对称
x＝2a－x1，
若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 进而求 y＝2b－y1
解．
(2)直线关于点对称
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由
两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程；
③轨迹法，设对称直线上任一点 M(x，y)，其关于已知点的对称点在已知直线上．
2．轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称
若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 对称，
x1＋x 2
y1＋y2
A× ＋B× ＋C＝0，2 2
由方程组 可得到点P1关于 l对称的点 P2的坐标(x2，y2－y1 A
×
－
B ＝－1， x2－x1
y2)(其中 B≠0，x1≠x2)．
(2)直线关于直线的对称
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是
已知直线与对称轴平行．
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[课时跟踪检测]
1．过点(1,0)且与直线 x－2y－2＝0 垂直的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
1
解析：选 C 因为直线 x－2y－2＝0 的斜率为 ，
2
所以所求直线的斜率 k＝－2.
所以所求直线的方程为 y－0＝－2(x－1)，
即 2x＋y－2＝0.
2．已知直线 l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0 和 l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若 l1⊥l2，则 a＝( )
1 1
A．2 或 B. 或－1
2 3
1
C. D．－1
3
1
解析：选 B 因为直线 l1⊥l2，所以 2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得 a＝ 或－1. 3
3．若点 P 在直线 3x＋y－5＝0 上，且 P 到直线 x－y－1＝0 的距离为 2，则点 P 的坐
标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
|x－5＋3x－1|
解析：选 C 设 P(x,5－3x)，则 d＝ ＝ 2，化简得|4x－6|＝2，即 4x－6＝±2，
12＋(－1)2
解得 x＝1 或 x＝2，故 P(1，2)或(2，－1)．
4．(2018·揭阳一模)若直线 l1：x－3y＋2＝0 与直线 l2：mx－y＋b＝0 关于 x 轴对称，则
m＋b＝( )
1
A. B．－1
3
1
C．－ D．1
3
解析：选 B 直线 l1：x－3y＋2＝0 关于 x 轴对称的直线为 x＋3y＋2＝0.由题意知 m≠0.
y b
因为 mx－y＋b＝0，即 x－ ＋ ＝0，且直线 l1 与 l2关于 x 轴对称， m m
1 1
－ ＝3，m m＝－ ，3
所以有 解得 b 2
＝2， m b＝－ ， 3
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1 2
则 m＋b＝－ ＋ － 3 ＝－1. 3
5．点 A(1,3)关于直线 y＝kx＋b 对称的点是 B(－2,1)，则直线 y＝kx＋b 在 x 轴上的截距
是( )
3 5
A．－ B.
2 4
6 5
C．－ D.
5 6
3－1
3·k＝－1， k＝－ ，
1＋2 2
解析：选 D 由题意，知 解得
1 5
2＝k· － 2 ＋b， b＝ . 4
3 5 5 2
∴直线方程为 y＝－ x＋ ，它在 x 轴上的截距为－ × －
5
3 ＝ .故选 D. 2 4 4 6
6．(2019·成都五校联考)已知 A，B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且|PA|＝|PB|，
若直线 PA 的方程为 x－y＋1＝0，则直线 PB 的方程是( )
A．2x＋y－7＝0 B．x＋y－5＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x－y－1＝0
解析：选 B 由|PA|＝|PB|得点 P 一定在线段 AB 的垂直平分线上，根据直线 PA 的方程
为 x－y＋1＝0，可得 A(－1,0)，将 x＝2 代入直线 x－y＋1＝0，得 y＝3，所以 P(2，3)，所
以 B(5,0)，所以直线 PB 的方程是 x＋y－5＝0，选 B.
7．若动点 A，B 分别在直线 l1：x＋y－7＝0 和 l2：x＋y－5＝0 上移动，则 AB 的中点 M
到原点的距离的最小值为( )
A．3 2 B．2 2
C．3 3 D．4 2
解析：选 A 依题意知 AB 的中点 M 的集合为与直线 l1：x＋y－7＝0 和 l2：x＋y－5＝0
距离都相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点 M 所在直线
|m＋7| |m＋5|
的方程为 l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得 ＝ |m＋7|＝|m＋5| m＝
2 2
|－6|
－6，即 l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为 ＝3 2.
2
8．已知点 A(1,3)，B(5，－2)，在 x 轴上有一点 P，若|AP|－|BP|最大，则 P 点坐标为( )
A．(3.4,0) B．(13,0)
C．(5,0) D．(－13,0)
解析：选 B 作出 A 点关于 x 轴的对称点 A′(1，－3)，则 A′B 所在直线方程为 x－4y
－13＝0.令 y＝0 得 x＝13，所以点 P 的坐标为(13,0)．
9．经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋5
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＝0 垂直的直线 l 的方程为________．
x－2y＋4＝0，
解析：由方程组 得 x＝0，y＝2，即 P(0,2)．因为 l⊥l3，所以直线 l 的 x＋y－2＝0
4 4
斜率 k＝－ ，所以直线 l 的方程为 y－2＝－ x，即 4x＋3y－6＝0.
3 3
答案：4x＋3y－6＝0
10．已知点 P1(2,3)，P2(－4,5)和 A(－1,2)，则过点 A 且与点 P1，P2 距离相等的直线方
程为________．
3－5 1
解析：当直线与点 P1，P2的连线所在的直线平行时，由直线 P1P2 的斜率 k＝ ＝－ ，
2＋4 3
1
得所求直线的方程为 y－2＝－ (x＋1)，即 x＋3y－5＝0.当直线过线段 P1P2的中点时，因为3
线段 P1P2 的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为 x＝－1.综上所述，所求直线方程为 x＋3y
－5＝0 或 x＝－1.
答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1
11．直线 x－2y＋1＝0 关于直线 x＝1 对称的直线方程是________．
解析：由题意得直线 x－2y＋1＝0 与直线 x＝1 的交点坐标为(1,1)．又直线 x－2y＋1＝0
y－0 x－3
上的点(－1,0)关于直线 x＝1 的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得 ＝ ，
1－0 1－3
即 x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
12．过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2x＋y－8＝0 和 l2：x－3y＋10＝0 截得的线段
被点 P 平分，则直线 l 的方程为________．
解析：设 l1与 l 的交点为 A(a,8－2a)，
则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(－a,2a－6)在 l2 上，把 B 点坐标代入 l2的方程
得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l 上，
所以由两点式得直线 l 的方程为 x＋4y－4＝0.
答案：x＋4y－4＝0
13．已知△ABC 的三个顶点是 A(1,1)，B(－1,3)，C(3,4)．
(1)求 BC 边的高所在直线 l1 的方程；
(2)若直线 l2过 C 点，且 A，B 到直线 l2 的距离相等，求直线 l2的方程．
4－3 1 1
解：(1)因为 kBC＝ ＝ ，又直线 l1 与 BC 垂直，所以直线 l 的斜率 k＝－ ＝－4，
3＋1 4 1 kBC
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所以直线 l1的方程是 y＝－4(x－1)＋1，即 4x＋y－5＝0.
(2)因为直线 l2 过 C 点且 A，B 到直线 l2 的距离相等，
所以直线 l2与 AB 平行或过 AB 的中点 M，
3－1
因为 kAB＝ ＝－1，所以直线 l2 的方程是 y＝－(x－3)＋4，即 x＋y－7＝0. －1－1
因为 AB 的中点 M 的坐标为(0,2)，
4－2 2
所以 kCM＝ ＝ ，所以直线 l2 的方程是
3－0 3
2
y＝ (x－3)＋4，即 2x－3y＋6＝0.
3
综上，直线 l2 的方程是 x＋y－7＝0 或 2x－3y＋6＝0.
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